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2016年3月份文科数学月考试题老师卷


2016 年 3 月份文科数学月考试题

1. (2015?高考全国卷Ⅱ, 文)若 a 为实数, 且 2+ai1+i=3+i, 则 a 等于( D ) A.-4 B.-3 C.3 D.4

2.(2015· 高考湖北卷)已知变量 x 和 y 满足关系 y=-0.1x+1,变量 y 与 z 正相 关.下列结论中正确的是( C )

A.x 与 y 正相关,x 与 z 负相关 B.x 与 y 正相关,x 与 z 正相关 C.x 与 y 负相关,x 与 z 负相关 D.x 与 y 负相关,x 与 z 正相关 3.(2015· 高考安徽卷,理)设 i 是虚数单位,则复数 位于( B ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2i 在复平面内所对应的点 1-i

4.设 a,b∈R,且 a≠b,a+b=2,则必有( B ) a2+b2 a2+b2 a2+b2 a2+b2 A.1≤ab≤ 2 B.ab<1< 2 C.ab< 2 <1 D. 2 <ab<1 5.(2015· 高考全国卷Ⅰ,理)设复数 z 满足 A.1 B. 2 C. 3 1+z =i,则|z|=( 1-z D.2 A )

- 6.(2015· 高考广东卷,理)若复数 z=i(3-2i)(i 是虚数单位),则 z 的虚部是 (A ) B.3 C.2i D.-2 )

A.-3

1 1 1 7. 设 x, y, z 都是正实数, a=x+y, b=y+ z , c=z+ x, 则 a, b, c 三个数( C A.至少有一个不大于 2 2 B.都小于 2C.至少有一个不小于 2

D.都大于

8.某产品在某零售摊位的零售价 x(单位:元)与每天的销售量 y(单位:个)的统 ^x+a ^中的b ^=-4,据此模型 计资料如下表所示:由上表可得回归直线方程^ y=b

预测零售价为 15 元时,每天的销售量为( C x y A.51 个 B.50 个 16 50 17 34 18 41

) 19 31 D.48 个

C.49 个

9.通过随机询问 110 性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联 表: 男 爱好 不爱好 总计
2

女 20 30 50

总计 60 50 110

40 20 60

n?ad-bc?2 由K = ,算得 K2≈7.8 附表: ?a+b??c+d??a+c??b+d? P(K2≥k0) k0 0.050 3.841 ) 0.010 6.635 0.001 10.828

参照附表,得到的正确结论是( C

A.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有 关” B.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无 关” C.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 10、在判断两个变量 y 与 x 是否相关时,选择了 4 个不同的模型,它们的相关指数 R2 分别为:模型 1 的相关指数 R2 为 0.98,模型 2 的相关指数 R2 为 0.80,模型 3 的相关指 数 R2 为 0.50,模型 4 的相关指数 R2 为 0.25.其中拟合效果最好的模型是( A ) A.模型 1 C.模型 3 B.模型 2 D.模型 4

11、(2014· 高考全国卷Ⅱ)设复数 z1,z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1

=2+i,则 z1z2= A、5 B、-5

( C、-2

) D、 2 )

12.若 a>0,b>0,则下列不等式中不成立的是( D A.a2+b2≥2ab
二、填空题

1 1 1 1 B.a+b≥2 ab C.a2+b2≥2(a+b)2 D.a+b< (a≠b) a-b
1 ? mi 的实部和虚部互为相反数,则实数 m= 1 ? 2i

13.如果复数 z ?

-3

14. 已知变量 x, y 具有线性相关关系, 测量(x, y)的一组数据如下: (0,1), (1,2), (2,4), (3,5),其回归方程为 y=1.4x+a,则 a 的值是________.0.9

15.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看作是一个 正六边形,下图一组蜂巢的截面图中,第一个图有 1 个蜂巢,第二个图有 7 个 蜂巢,第三个图有 19 个蜂巢,按此规律,以 f(n)表示第 n 幅图的蜂巢总数,则 f(4)=________,f(n)=________.

解析:f(4)=4+5+6+7+6+5+4=37,f(n)=n+(n+1)+?+(2n-1)+?+ (n+1)+n=2× n[n+?2n-1?] -(2n-1)=3n2-3n+1.答案:37 2 3n2-3n+1

16.为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系,现随机抽取 50 名 学生,得到如下 2×2 列联表: 理科 男 女
2 2

文科 10 20

13 7

已 知 P(K ≥3.841)≈0.05 , P(K ≥5.024)≈0.025. 根 据 表 中 数 据 , 得 到 k =

50×?13×20-10×7? ≈4.844 , 则 认 为 “ 选 修 文 科 与 性 别 有 关 系 ” 出 错 的 可 能 性 为 23×27×20×30
2

________.0.05

三、解答题 17.(本小题满分 10 分)已知△ABC 的三边 a,b,c 的倒数成等差数列,求证∠ B 为锐角. 证明:方法一(分析法) B= 要证明∠B 为锐角,只需证 cos B>0,又因为 cos

a2+c2-b2 2 2 2 2 2 2 2ac ,所以只需证明 a +c -b >0,即 a +c >b . 因为 a2+c2≥2ac,所以只需证明 2ac>b2. 2 1 1 由已知b=a+ c, 即 2ac=b(a+c), 所以只需证明 b(a+c)>b2, 即只需证明 a+c>b.而 a+c>b 显然成立,所以∠B 为锐角. 2 1 1 a+c 方法二(综合法) 由题意: = + = , b a c ac 则 b= 2ac ,∴b(a+c)=2ac. a+c

∵a+c>b, ∴b(a+c)=2ac>b2. a2+c2-b2 2ac-b2 ∴cos B= 2ac ≥ 2ac >0. 又∵0<∠B<π, π ∴0<∠B<2,即∠B 为锐角. 18.(本小题满分 12 分)计算下列各题: 1+i 7 1 1 (1) i ( 2+ 2i)5+( )4+( ); 1+i 1-i

(2)(-

2+2i 8 3 1 12 - i) +( ). 2 2 1- 3i

1+i 7 1 1 解:(1) i ( 2+ 2i)5+( )4+( ) 1+i 1-i ? 1 ? =-i· ( 2)5· [(1+i)2]2· (1+i)+??1+i?2?2+i7 ? ? 1 =16 2(-1+i)-4-i 1 =-16 2+4+(16 2-1)i. ? 1+i ? 2+2i 8 3 1 12 3 1 12 ? 12 8 3? (2)(- 2 -2i) +( ) =(-i) · - 2 -2i +?1 ? - i 1- 3i ?2 2 ? 1 3 [?1+i?2]4· - 2 2i 1 3 12 =(-2+ 2 i) + 1 3 [2- 2 i3]3 ? 1 3 ? =?- + i3?4+(-8+8 3i) ? 2 2 ? =1-8+8 3i=-7+8 3i. 19.(本小题满分 12 分) 20. (本小题满分 12 分)(2014· 高考辽宁卷)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习 惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示: 喜欢甜品 南方学生 北方学生 合计 60 10 70 不喜欢甜品 20 10 30 合计 80 20 100

(1)根据表中数据, 问是否有 95%的把握认为 “南方学生和北方学生在选用甜品 的饮食习惯方面有差异” ; (2)已知在被调查的北方学生中有 5 名数学系的学生,其中 2 名喜欢甜品,现在 从这 5 名学生中随机抽取 3 人,求至多有 1 人喜欢甜品的概率.

n?ad-bc?2 附:K = , ?a+b??c+d??a+c??b+d?
2

P(K2≥k0) k0 n?ad-bc?2 K= ?a+b??c+d??a+c??b+d?
2

0.100 2.706

0.050 3.841

0.010 6.635

解:(1)将 2×2 列联表中的数据代入公式计算,得



100×?60×10-20×10?2 100 = 21 ≈4.762. 70×30×80×20

由于 4.762>3.841,所以有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用 甜品的饮食习惯方面有差异” (2)从 5 名数学系学生中任取 3 人的一切可能结果所组成的基本事件空间 Ω ={(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a2,b3),(a1,b1,b2),(a1,b1,b3),(a1, b2,b3),(a2,b1,b2),(a2,b1,b3),(a2,b2,b3),(b1,b2,b3)}, 其中 ai 表示喜欢甜品的学生,i=1,2,bj 表示不喜欢甜品的学生,j=1,2,3. Ω 由 10 个基本事件组成,且这些基本事件的出现是等可能的. 用 A 表示“3 人中至多有 1 人喜欢甜品”这一事件,则 A={(a1,b1,b2), (a1,b1,b3),(a1,b2,b3),(a2,b1,b2),(a2,b1,b3),(a2,b2,b3),(b1,b2, b3)}. 7 事件 A 由 7 个基本事件组成,因而 P(A)=10. 21.(本小题满分 12 分)已知 z=1+i,(1)设 ω=z2+3- z -4,求 ω. z2+az+b (2)如果 2 =1-i,求实数 a,b 的值. z -z+1 解:(1)∵z=1+i, ∴ω=z2+3- z -4=(1+i)2+3(1-i)-4=-1-i. z2+az+b ?1+i?2+a?1+i?+b (2)由 2 =1-i,把 z=1+i 代入,得 =1-i, z -z+1 ?1+i?2-?1+i?+1 即 ?a+b?+?a+2?i =1-i, i

∴(a+b)+(a+2)i=(1-i)i=1+i. ?a+2=1, ∴? ?a+b=1. ?a=-1, 解得? ?b=2. 22.(本小题满分 12 分)(1)求复数 z=1+cos α+isin α(π<α<2π)的模. 1 (2)如果 log2(m+n)-(m2-3m)i>-1,试求自然数 m,n. α 解:(1)|z|= ?1+cos α?2+?sin α?2= 2+2cos α=-2cos 2. 1 (2)因为 log2(m+n)-(m2-3m)i>-1, m2-3m=0① ? ? 1 所以式子 log2(m+n)-(m2-3m)i 是实数,从而有? 1 log ?m+n?>-1② ? ? 2 由①得 m=0 或 m=3, 当 m=0 时代入②得 n<2. 又因为 m+n>0,所以 n=1; 当 m=3 时代入②得 n<-1 与 n 是自然数矛盾, 综上可得 m=0,n=1. 22、(本小题满分 12 分) 若数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2SnSn-1 1 =0(n≥2),a1=2.
?1? (1)求证:?S ?成等差数列; ? n?

(2)求数列{an}的通项公式. (1)证明:当 n≥2 时,由 an+2SnSn-1=0, 1 1 得 Sn-Sn-1=-2SnSn-1,所以S - =2, n Sn-1

?1? 1 1 又 = =2,故?S ?是首项为 2,公差为 2 的等差数列. S1 a1 ? n?

1 1 (2)解:由(1)可得S =2n,∴Sn=2n,
n

1 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-

1 1 = , 2?n-1? 2n-2n2

1 ? ?2 ?n=1?, 对 n=1 不成立,所以 a =? 1 ? ?2n-2n ?n≥2?.
n
2

21.(本小题满分 12 分)一台机器由于使用时间较长,但还可以用,它按不同的转速 生产出来的某机械零件有一些会有缺点, 每小时生产有缺点零件的多少随机器运转的速度 而变化,下表为抽样试验结果. 转速 x(rad/s) 每小时生产有缺点 的零件数 y(件) (1)画出散点图. (2)如果 y 与 x 有线性相关关系,求线性回归方程. (3)若实际生产中,允许每小时的产品中有缺点的零件最多为 10 件,那么机器的运转 速度应控制在什么范围内? 解:(1)画出散点图,如图. 16 11 14 9 12 8 8 5

4 4 - - (2) x =12.5, y =8.25, ?xiyi=438, ?x2 i =660, i=1 i=1

^ 所以b=

i=1

?xiyi-4 x ·y ?xi2-4 x 2
4

4

-- 438-4×12.5×8.25 = ≈0.7286, 660-4×12.52



i=1

^ - ^- a= y -b x ≈8.25-0.7286×12.5=-0.8575. ^ 所以线性回归方程为y=0.7286x-0.8575. ^ (3)要使y≤10,则 0.7286x-0.8575≤10, x≤14.9019. 所以机器的转速应控制在 15 rad/s 以下.


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