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高中数学选修2-2公开课课件1.6 微积分基本定理


1.6 微积分基本定理 引入1 你能求出下列各式的值吗?不妨试试. 1.? 4dx= 1 3 8 2. ? xdx= 0 a 1 2 a 2 3. ? 3 0 3 5 9 2 ? 4. 9 ? x dx = (2 ? x) dx= 4 2 ?0 2 引入2 一个做变速直线运动的物体的运动规律s= s(t).由导数的概念可以知道,它在任意时刻t的速 度v(t)=s′(t).设这个物体在时间段(a,b)内的位移 为s,你能分别用s(t),v(t)来表示s吗?从中你能发 现导数和定积分的内在联系吗? 1.探究变速直线运动物体的速度与位移的关系. 2.了解微积分基本定理的含义.(难点) 3.正确运用基本定理计算简单的定积分. (重点) 探究点1 导数和定积分的关系 从定积分角度来看:如果物体运动的速度函数 为v=v(t),那么在时间区间[a,b]内物体的位移s可 以用定积分表示为 s ? ? v (t )dt . a b 另一方面,从导数角度来看:如果已知该变 速直线运动的路程函数为s=s(t),则在时间区间 [a,b]内物体的位移为s(b)–s(a),所以又有 ? 是说,定积分 b a v (t )d t ? s (b ) ? s ( a ). 由于 s' ( t ) ? v ( t ) ,即s(t)是v(t)的原函数,这就 ? b a v (t )dt 等于被积函数v(t)的原函 数s(t)在区间[a,b]上的增量s(b)–s(a). 如图,一个做变速直线运动的物体的运动规律是y ? y ? t ? , S ? y ?b? ? y ? a ? S ? ?S1 ? ?S2 ? ? ?Si ? ' ? ?Sn 由导数的概念可知,它在任意时刻t的速度为v ? t ? ? y ? t ? , 设这个 b?a ' ? y y ?,tv ?Si ? v ? ? ?t ? y S t,你能分别用 i ?1 ? ?1 内的位移为 物体在时间段 at,ib t ? ? ?t ? 表示S吗? i ?1 ??t n ? ? y ' ? ? B ?Si ? hi y ? y ?t ? hn ?Sn y ?b? S ? tan ?DPC ? ?t ? y ?ti?1 ? ??t P ' D hi C ?Si ?S2 ?S1 h2 y(a) y ?a ? O A h1 at ) t1 a( 0 t2 ? t i ?1 t i ?? t t n ?1 b( btn ) 探究点2 S ? ? S1 ?? S2 ? 微积分基本定理 y S = y(b) - y(a) ?? Si ? ?? Sn y ?b ? Δ Si ≈ v ?ti-1 ?Δ t = y'?ti-1 ?Δ t b-a = y'?ti-1 ? n n n→∞ i=1 n ' y ? y ?t ? S = lim ? v ?ti-1 ? Δ t = lim ? y ?ti-1 ?Δ t n→∞ i=1 y ?a ? ? ? v ? t ?dt ? ? y ? t ? dt a b ' a b S? ? b y ' ?t ?dt ? y ?b ? ? y ?a ? a 微积分基本定理: 如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F'(x)= f(x),那么 b ? a f ( x )dx ? F (b ) ? F ( a ) 这个结论叫做微积分基本定理(fu

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