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数学(文)一轮教学案:第二章第9讲 函数模型及函数的综合应用 Word版含解析


第 9 讲 函数模型及函数的综合应用 考纲展示 命题探究 考点一 函数的实际应用 1 常见的函数模型 函数模型 一次函数型 二次函数型 指数函数型 对数函数型 幂函数型 函数解析式 f(x)=ax+b(a,b 为常数,a≠0) f(x)=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0) f(x)=bax+c(a,b,c 为常数,a>0 且 a≠1,b≠0) f(x)=blogax+c(a,b,c 为常数,a>0 且 a≠1,b≠0) f(x)=axn+b(a,b 为常数,a≠0) 2 指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质 函数 性质 在(0, +∞)上的 增减性 增长速度 图象的变化 值的比较 y=ax(a>1) 单调递增 越来越快 现为与 y 轴平行 y=logax(a>1) 单调递增 越来越慢 现为与 x 轴平行 y=xn(n>0) 单调递增 相对平稳 有不同 随 x 的增大逐渐表 随 x 的增大逐渐表 随 n 值变化而各 存在一个 x0,当 x>x0 时,有 logax<xn<ax 3 解决应用问题的基本步骤 (1)审题:弄清题意,分析条件和结论,理顺数量关系,恰当选 择模型; (2)建模:将文字语言、图形(或数表)等转化为数学语言,利用数 学知识建立相应的数学模型,将实际问题化为数学问题; (3)求解:求解数学问题,得出数学结论; (4)还原:将利用数学知识和方法得出的结论,还原为实际问题 的答案. 注意点 解决函数应用题常见错误 (1)不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面. (2)在求解过程中忽略实际问题对参变量的限制条件. 1.思维辨析 (1)函数 y=2x 的函数值比 y=x2 的函数值大.( (2)幂函数增长比直线增长更快.( 大的实际问题中.( ) ) ) ) ) (3)指数函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较 (4)美缘公司 2013 年上市的一种化妆品,由于脱销,在 2014 年 曾提价 25%,2015 年想要恢复成原价,则应降价 25%.( 存积压降价,若按九折出售,则每件还能获利. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√ ) B.4 小时 D.2 小时 ( (5)某种商品进价为每件 100 元,按进价增加 25%出售,后因库 2.某种细胞,每 15 分钟分裂一次(1→2)这种细胞由 1 个分裂成 4096 个需经过( A.12 小时 C.3 小时 答案 解析 C 212=4096, 分裂了 12 次, 12×15(分钟)=180(分钟)=3(小 时),故选 C. 3.某工厂生产某种产品固定成本为 2000 万元,并且每生产一单 位产品,成本增加 10 万元.又知总收入 K 是单位产品数 Q 的函数, 1 K(Q)=40Q-20Q2,则总利润 L(Q)的最大值是________万元. 答案 解析 ? 2500 由已知得 L(Q)=K(Q)-10Q-2000 ? 1 ? ? 1 =?40Q-20Q2?-10Q-2000=-20(Q-300)2+2500, 所以当 Q=300 时,L(Q)max=2500(万元). [考法综述] 对函数应用问题的考查多以二次函数、指数函 数、分段函数为模型,考查学生处理问题,建立函数模型的能力.此 类问题多以选择题、填空题形式出现,也有解答题.属于中高档题. 命题法 函数模型在实际问题中的应用 典例 某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图),为降 低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部 分

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