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高一数学必修一第一章集合教案知识点及练习

不仅仅是提分专家

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教学 课题

集合

1 集合的含义与性质;子集与空集的概念;能利用 Venn 图表达集合间的关系;

本节 2 集合的性质及表示方法;理解空集的含义;

重点

3 交集与并集的概念,数形结合的思想;理解交集与并集的概念、符号之间的区别与联系 4 全集、补集的概念,数形结合的思想;理解补集可以看成是集合的一种“减法运算”

1. 了解集合的含义,体会元素与集合之间的关系;知道常用数集及其专用记号;了解集合中

元素的确定性. 互异性. 无序性;掌握集合的表示方法

教学

2.了解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;理解子集、真子集、空集的概 念;能利用 Venn 图表达集合间的关系,体会直观图示对理解抽象概念的作用

目标 3,理解交集与并集的概念;掌握交集与并集的区别与联系;会求两个已知集合的交集和并集,

并能正确应用它们解决一些简单问题

4.解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;能用 Venn 图表达集合的关

系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用;

第一部分:集合的含义

知识梳理

1.元素与集合的概念

(1)把

统称为元素,通常用________________________表示。

(2)把_________________ ___ __叫做集合(简称为集),通常用______ ______表示。

2.集合中元素的特性

(1)确定性:给定集合,它的元素必须是____________。

(2)互异性:一个给定集合中的元素是_____

_______。

(3)无序性:集合中的元素是_____________________如?a,b,c? 与?c,b, a? 是同一集合。

3.集合相等 只要_____________________________________就称这两个集合是相等的。 4、集合分类 根据集合所含元素个数不同,可把集合分为如下几类: (1)把不含任何元素的集合叫做空集,记

第1 页

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(2)含有有限个元素的集合叫做有限集 (3)含有无穷个元素的集合叫做无限集 5.元素与集合之间的关系
(1)如果 a 是集合 A 的元素,就说__________________,记作__________________. (2)如果 a 不是集合 A 的元素,就说________________,记作__________________.
6.常用数集及表示符号 名称 非负整数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 (自然数集) 符号
7.集合的表示方法 集合除了用自然语言描述外,还可以用__________和__________表示。
把集合的元素__________出来,并用大括号"? ?" 括起来表示集合
列举法 的方法。

描述法 用________________

______________表示集合的方法。

例题分析 用符号“∈”或“?”填空: (1)1________N,0________N,-3________N,0.5________N, 2________N; (2)1________Z,0________Z,-3________Z,0.5________Z, 2________Z; (3)1________Q,0________Q,-3________Q,0.5________Q, 2________Q; (4)1________R,0________R,-3________R,0.5________R, 2________R.

经典例题:
例 1:用列举法表示下列集合: (1)小于10 的所有自然数组成的集合;

(2)方程 x2 ? x 的所有实数根组成的集合;

(3)由1 ~ 20 以内的所有素数组成的集合.

素数:

第2 页

例 2.试分别用列举法和描述法表示下列集合: (1)方程 x2 ? 2 ? 0 的所有实数根组成的集合;

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(2)由大于10 小于 20 的所有整数组成的集合.

例 3.若所有形如 3a+ 2b(a∈Z,b∈Z)的数组成集合 A,请判断 6-2 2是不是集合 A 的元素?

例 4.已知集合 A={x∈R|ax2-3x+1=0,a∈R},若 A 中的元素最多只有一个,求 a 的取值范围。

(探究题)下面三个集合:
? ? ? ? ? ? ① x | y ? x2 ? 2 ,② y | y ? x2 ? 2 ,③ (x, y) | y ? x2 ? 2
(1)它们是不是相同的集合? (2)试用文字语言叙述各集合的含义.

【变式训练】

1.判断下列各组对象能否构成一个集合

(1)2,3,4

(2)(2,3),(3,4) (3)身材较高的人

(4) 所有的偶数

(5)充分小的负数全体

此题的考点为:

2.已知集合 M 中的三个元素 a,b,c 是 ? ABC 的三边长,那么 ? ABC 一定不是( )

A 锐角三角形

B 直角三角形

C 钝角三角形 D 等腰三角形

此题的考点为:

3.在数集{2x, x2 ? x} 中,实数 x 满足的条件是

.

此题的考点为:

3.下列集合中表示相等集合的是(



(A) M ? ??3,2??, N ? ??2,3??

(B) M ? ?3,2?, N ? ?2,3?

(C) M ? ??x, y? | x ? y ? 1?, N ? ?y | x ? y ?1? (D) M ? ?1,2?, N ? ??1,2??

5. 集合 M ? ??x, y? | xy ? 0, x ?R, y ?R? 是指(

此题的考点为: )

(A)第一象限内点的集合

(B)第三象限内点的集合

(C)第一、三象限内点的集合

(D)第二、四象限内点的集合

第3 页

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能力提升
? ? 1.已知集合 A ? x | ax2 ? 3x ? 2 ? 0, a ? R 若 A 中只有一个元素,则 a =__________。

? ? 2.若 ?3? a ? 3, 2a ? 4, a2 ? 4 ,求实数 a 的值。

此题的考点为:

3.已知集合

A

?

? ?

x

?

|

15 5? x

?

N

,

x

?

Z

? ? ?

用列举法表示集合

A

为_________________。.

【误区警示】 1.在确定元素中所含字母的值时,一定要将字母的取值代回检验,看是否满足元素的互异性和 题意; 2.用描述法表示集合时,一定要注意代表元素是什么。如:集合{x|y=x2}, {y|y=x2}, {(x,y)|y=x2} 是意义完全不同的三个集合; 3.集合中的元素可以是集合,即集合也可以作为一个集合中的元素。如:A={1,{2,3},4,5},其中 1∈A,2?A, 3?A,{2,3}∈A,4∈A,5∈A。

第二部分:集合间的基本关系
【引入】元素与集合有“属于”、“不属于”的关系;数与数之间有“相等”、“不相等”的关系; 那么集合与集合之间有什么样的关系呢?

看下面各组中两个集合之间有什么关系 (1)A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5} (2)A={菱形}, B={平行四边形} (3)A={x|x>2}, B={x|x>1}

解决下列问题:

1、子集的概念

集合 A 中

元素都是集合 B 中的元素,就说这两个集合有

关系,

称集合 是集合 的子集.即若 x ? A ,就有

.记作 A B 或 B A;读作

.

第4 页

可用 Venn 图表示为:

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举例说明:

2、集合的相等

如果集合 A 是集合 B 的

,即 A B;且集合 B 是集合 A 的

与 B 相等,记作 .可用 Venn 图表示为:

,即 A B,则称集合 A

【思考】与实数中的结论“若 a ? b,且 b ? a ,则有 a ? b ”相类比,你有什么体会?

3、真子集的概念

如果集合 A B,但存在元素 x ? B ,且 x ? A ,则称

,记作 A B,B A.

可用 Venn 图表示为:

4、空集的概念 叫空集,记作 .
你能举几个空集的例子吗?

规定空集是

集合的子集,

集合的真子集.

也就是说:空集不能是空集的真子集

5、子集的有关性质

(1)任何集合是

的子集,即 A A;但是

(2)对于集合 A、B、C,如果 A ? B,且 B ? C,那么 A ? C

类比:若 a ? b,且 b ? c ,则有 a ? c

你还能得出哪些结论?
1:对于集合 A、B、C,如果 A ?? B,且 B ?? C 那么 A ?? C

类比:若 a ? b,且 b ? c ,则有 a ? c 2:对于集合 A、B、C,如果 A ? B,且 B ?? C 那么 A ?? C

类比:若

,且

,则有

3:对于集合 A、B、C,如果 A ?? B,且 B ? C 那么 A ?? C

类比:若

,且

,则有

4:对于集合 A、B、C,如果 A=B, 且 B=C,那么 A=C

类比:若

,且

,则有

【经典例题】 例 1.写出集合{a,b,c}的所有的子集.
第5 页

注意:空集优先

写出集合{a,b,c,d}的所有的子集.

不仅仅是提分专家

注意:空集优先

【总结】集合 A 中有 n 个元素,请总结出它的子集、真子集、非空真子集个数与 n 的关系.

例 2. 设 A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0},若 B ? A,求实数 a 组成的集合.

注意:空集优先 例 3. 已知 A={x∈R|x<-1,或 x>5} ,B={x∈R|a≤x<a+4} .若 A B,求实数 a 的取值范 围.

注意:数轴是解决不等式问题的利器

【思考】

问题 1: 包含关系{a} ? A 与属于关系 a∈A 有什么区别?

答:“∈”表示元素与集合之间的关系,如 1∈N,-1∈Z

“ ? ”表示集合与集合之间的关系,如 N ? Z ? Q ? R

问题 2 :集合 A 是集合 B 的真子集与集合 A 是集合 B 的子集之间有什么区别?

答:A ? B 允许 A=B 或 A ?? B ,而, A ?? B 不允许 A=B

子集

?真子集 ??相等

问题 3: 0 , {0}, ? , { ? } 四者之间有什么关系? 答: 0?{0}, 0? ? ,0?{ ? } , ? ?? {0}, ? ?? { ? }, ? ? { ? }

【变式训练】
1、用适当的符号填空
(1) a __{a,b, c} (2) 0 ___{x x2 ? 0} (3)? ___{x ? R x2 ?1 ? 0} (4){2,1}__{x x2 ? 3x ? 2 ? 0}
2、下列关系正确的是:
(1){a,b}={b,a} (2){a,b} ? {b, a} (3)? ? {?} (4){0} ? ? (5)? ? {0} (6) 0?{0} (7) 0?? (8){1}?{0,1, 2} (9){0,1, 2} ? {0, 2,3} (10){?}?{a} (11)? ? {0,1, 2} (12){?} ? {a} (13)空集是任何一个集合的真子集
(14)任何一个集合必有两个或两个以上的子集
(15)如果集合 B ? A ,那么若有元素不属于 A,则必不属于 B

3、写出集合{1,2,3}的所有的子集,并指出哪些是它的真子集,非空真子集。

第6 页

不仅仅是提分专家

变式:设集合 A ? {x 0 ? x ? 3,且x ?N}的真.子.集.的个数是(

)

同时满足:① M ? {1,2,3,4,5};② a ? M ,则 6 ? a ? M 的非空集合 M 有

个。

题型一:子集的应用 1:已知集合 M 满足{1,2} ? M ? {1,2,3,4,5},写出集合 M。

题型二:集合相等 2:集合 A ? {1, a,b} , B ? {0, a 2 , ab} ,且 A=B,求 a+b。

设 A ? {a, b ,1}, B ? {a2, a ? b,0}, 若 A=B,求 a,b. a

题型三:由集合间关系求参数取值范围
3:已知 A ? {1, 4, a}, B ? {1, a2}, 且 B ? A ,求 A、B 。

已知集合 A ? {1,3}, B ? {x mx ? 3 ? 0},且 B ? A,求 m 的值。

注意:空集优先

已知集合 A={ -1,3,2 m -1} ,集合 B={ 3, m2 } .若 B ? A,则实数 m =



已知 A={x∈R|x2-2x-8=0},B={x∈R|x2+ax+a2-12=0},B ? A,求实数 a 的取值
集合.
注意:空集优先

第三部分:集合的基本运算㈠

【复习引入】

1.已知 A={1,2,3},S={1,2,3,4,5},则 A S;{x|x∈S 且 x ?A}=



2.用适当符号填空: 0 {0}; 0 Φ; Φ {x|x 2 +1=0,x∈R}

{0} {x|x<3 且 x>5}; {x|x>6} {x|x<-2 或 x>5} ; {x|x>-3} {x>2}

观察集合 A,B,C 元素间的关系: (1) A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},C={3,4,5,6,7,8}

第7 页

(2) A={x|x 是有理数},B={x|x 是无理数}, C={x|x 是实数}

不仅仅是提分专家

1、交集定义:

一般地,由



的所有元素所组成的集合,叫做 A 与 B 的交集。

记作:A∩B(读作“A 交 B”)即 A∩B={x∣x∈A,且 x∈B }

注:符号语言为:A∩B={x∣x∈A,且 x∈B }

图示语言为: 请同学们想想交集还有哪些情况,画图表示:(五种)
【注意】
(1) A B 中的任一元素都是集合 A 中的元素,也都是集合 B 中的元素; (2) A B 是由集合 A 与集合 B 的的公共元素组成的; (3)当集合 A 与集合 B 没有公共元素时,不能说集合 A 与集合 B 没有交集,而说 A B ? ?
例 1、设 A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求 A∪B,A∩B.

练习 1: 已知 A={1,3,4,7},B={2,4,7,9}则 A∩B=_______ A={x|x>2},B={x|x<8},则 A∩B= ; A={等腰三角形},B={直角三角形},则 A∩B= 。

【讨论】A∩B 与 A、B、B∩A 的关系?

A∩A=

A∩Ф=

A∩B

A∩B=A ?

A∩B=B ?

B∩A

2.并集的定义

一般地,由



的所有元素所组成的集合,叫做 A,B 的并集.

记作:A∪B(读作"A 并 B"),即 A∪B={x|x∈A,或 x∈B}).

注:符号语言为:A∪B={x|x∈A,或 x∈B})

图示语言为:

第8 页

例 2.2.设 A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3},求 A∪B,A∩B.

不仅仅是提分专家

.A={x|x<5},B={x|x>0},C={x|x≥10},则 A∩B,B∪C,A∩B∩C 分别是什么?

练习 2: ( 1 ).已知 A={1,3,4,7},B={2,4,7,9}则 A∪B=___

____

( 2 ).设 A={x|x>3},B={x|x<8},

A∩B=___

__

A∪B=___

__

(3)设 A={x|-3<x<4},B={x|0<x<7},

A∩B=___

__

A∪B=___

__

3、交集、并集之间的关系
(1)如下图,得到 A B ? A ? B ? A.(2)如下图,得到 A B ? A ? A ? B

A

B

B

A

A B?A

A B?A

补充例题 1:已知集合 M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},那么集合 M∩N 为( )

A.x=3,y=-1

B.(3,-1)

C.{3,-1}

D.{(3,-1)}

已知集合 M={x|x+y=2},N={y|y= x2},那么 M∩N 为

补充例题 2:已知 A={x|x2-px+15=0},B={x|x2-ax-b=0},且 A∪B={2,3,5},A∩B={3},求 p,a,b 的值。

已知 A={x|x2+ax+b=0},B={x|x2+cx+15=0},且 A∪B={3,5},A∩B={3},求 a,b, c 的值。

【变式训练】

1.集合 M={1,2,3},N={-1,5,6,7},则 M∪N=____

____.M∩N=________.

2.集合 P={1,2,3,m},M={m2,3},P∪M={1,2,3,m},则 m=_________.

第9 页

3.满足 A∪B={0,2}的集合 A 与 B 的组数为

()

A.2

B.5

C.7

D.9

4.设集合 A={1,2},则满足 A∪B={1,2,3}的集合 B 的个数是 ( )

A.1

B.3

C.4

D.8

5.设 A={x|2x-4<2},B={x|2x-4>0},求 A∪B,A∩B.

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6.设 A={-4,2,a-1,a2},B={9,a-5,1-a},已知 A∩B={9},求 a.

7.设集合 A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R},若 A∩B=B,求 a 的值.

8.设集合 A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R},若 A∪B=B,求 a 的值.

9.已知非空集合 A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22},则能使 A ? (A∩B)成立的所有 a 值的集合是什
么?
10.已知集合 A={x|-2≤x≤5},集合 B={x|m+1≤x≤2m-1},且 A∪B=A,试求实数 m 的取值范围.

第 10 页

第四部分:集合的基本运算(二)

【自主探究】

全集:含有我们所研究问题中所涉及的

练习:求不等式组

?x ??x

? ?

5 2

的整数解

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组成的集合,通常记作 U。

求不等式组

?x ??x

? ?

5 2

的解

【说明】全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念。

补集:如果 A 是全集 U 的一个子集,由_______________________________构成的集合,叫做 A 在 U
中的补集,记作________,读作_________. 符号表示:A ? U,则 CU A ? {x | x ?U ,且x ? A}。 补集的 Venn 图表示:

【说明】补集的概念必须要有全集的限制

练习:U={2,3,4},A={4,3},B=φ ,则 CU A =

, CU B =



设 U={x|x<8,且 x∈N},A={x|(x-2)(x-4)(x-5)=0},则 CU A = ;

设 U={三角形},A={锐角三角形},则 CU A = 。

例:U={x|x<13,且 x∈N},A={8 的正约数},B={12 的正约数},求 CU A 、 CU B 。

设 U=R,A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3},求 A∩B、A∪B、 CU A 、 CU B 。

4.探究:结合图示分析,下面的一些集合运算基本结论。 A∩B=B∩A, A∩B ? A, A∩B ? B, A∩φ =φ ;
第 11 页

A∪B=B∪A, A∪B ? A, A∪B ? B, A∪φ =A;
A∩ CU A =φ , A∪ CU A =S, CU ( CU A )=A

不仅仅是提分专家

【变式训练】

1.已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},M={1,3,5,7},N={5,6,7},则 U(M∪N)=( )

A.{5,7}

B.{2,4}

C.{2,4,8}

D.{1,3,5,6,7}

2.已知 U={x|-1≤x≤3},A={x|-1<x<3},B={x|x2-2x-3=0},

C={x|-1≤x<3},则下列关系正确的是 ( )

A. UA=B

B. UB=C

C. ( UB) ? C

D. A ? C

3. 设 U=Z,A={1,3,5,7,9},B={1,2,3,4,5},则图中阴影部分表示的集合是 ( )

A. {1,3,5} B. {1,2,3,4,5}

C. {7,9} D. {2,4}

4.已知集合 A={x|x<a},B={x|1<x<2},且 A∪( RB)=R,则实数 a 的范围是 ( )

A. a≤2 B. a<1

C. a≥2 D. a>2

5. 如果 S={x∈N|x<6},A={1,2,3},B={2,4,5},那么( SA)∪( SB)=

.

6.已知 U={x∈N|x≦10},A={小于 10 的正奇数},B={小于 11 的质数},则 CU A= 、CU B= 。

7.已知 A={x|x≤1 或 x>3},B={x|x>2},则( RA)∪B=

.

8.已知集合 A={0,2,4,6}, C U A={-1,-3,1,3},C U B={-1,0,2},则 B= 。 ( 解法:Venn 图法)

9.集合 S={x|x≤10,且 x∈N*},A S,B S,且 A∩B={4,5},( SB)∩A={1,2,3}, ( SA)∩( SB)={6,7,8},求集合 A 和 B.
10.集合 A={x|x≤-2 或 x≥3},B={x|a<x<b},若 A∩B= ? ,A∪B=R,求实数 a,b.
11.定义 A—B={x|x∈A,且 x? B},若 M={1,2,3,4,5},N={2,4,8},则 N—M= 。

第 12 页


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