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江苏省常州市武进区2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷


常州市教育学会学生学业水平监测

高一数学试题

2016.1

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卡 相应的位置上)
1、已知集合 A ? {?1,0}, 集合 B ? ?0,1, x ? 2?,且 A ? B ? ?0,?1? ,则实数 x 的值 为 ▲ .

2、已知函数 f ( x ) ? sin(?x ? 则? ? ▲ .

?
6

)(? ? 0) 图象上相邻两条对称轴之间的距离为

? , 2

3、已知向量 a ? ?x ? 1,1?, b ? ?? 1, x ? 1? ,若 a ∥ b ,则实数 x 的取值是 4、函数 f ( x) ?

▲ .

.

1 x?3

? loga ( x ? 2)(a ? 0且a ? 1) 的定义域为




5、已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? 2 ,若 f (?2) ? 4 ,则 f (2) ?

.

6、把函数 y ? sin x 图象上所有点的纵坐标变为原来的 2 倍,且横坐标保持不变,得到图象

? 单位得到图象 C 2 ,最后把图象 C 2 沿着 y 轴向上 4 平移一个单位得到图象 C3 ,则图象 C3 的函数表达式为 ▲ .
C1 ,再把图象 C1 沿着 x 轴向右平移
7、函数 y ? 4 x ? 1 ? 2x 的值域为 8、已知向量 m , n 的夹角为 ▲ . ▲ .

3? ,且 m ? 1 , n ? 2 ,则 3m ? n ? 4

9、已知函数 f ( x) ? loga x ? 2(a ? 0且a ? 1) 的图象恒过定点 A ,若点 A 也在函数

f ( x) ? b x ?1 ? 7(b ? 0且b ? 1) 的图象上,则实数 b ?
sin(? ? ? ) ? cos(2? ? ? ) ? sin(



.

10、已知 f (? ) ?

3? ??) 31? 2 ) 的值为 ,则 f ( ? ? 3 cos(?? ? ? ) ? cos( ? ? ) 2



.

11、已知函数 f ( x) ? 2 ? x ? k 有唯一的零点为 x0 ,且其中的 k 为整数,若 x0 ? (0,1) ,
x

则整数 k ?



.

12、设奇函数 f ( x) 在 (0,??) 上为增函数,且 f (2) ? 0 ,则不等式 为 ▲ .

f ( x) ? 0 的解集 x

13、已知正方形 ABCD 的边长为 2 ,点 P 为对角线 AC 上任取的一点, 则 ( AP ? BD) ? ( PB ? PD) 的最大值为 14、已知函数 f ? x ? ? ▲ ..

x ?1 ? x ?1 ,函数 g ? x ? ? ax2 ? 2x ? 1 .若方程 f ( x) ? g ( x) 恰好有 2 2
▲ ..

个不相等的实数根,则实数 a 的取值范围为

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分。请在答题卡指定区域 内作答,解答时 ....... 应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15、 (本题满分 14 分)

? x 2 ? 3x ? 4 的定义域为 A ,函数 y ? lg( x2 ? 1) 的值域为 B , 非空集合 C ? ?x m ? 1 ? x ? 2m ? 1?,全集为实数集 R .
设函数 y ? ⑴ 求集合 A ? B 和集合 CR B ; ⑵ 若 A ? C ? A ,求实数 m 的取值范围.

16、 (本题满分 14 分) 已知 cos ? ?

3 8 , cos(? ? ? ) ? , ? , ? 均为锐角, 5 17

⑴ 求 sin 2? 的值;
⑵ 求 cos ? 的值;

17、 (本题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? a ? b ,其中向量 a ? (2 cosx,?2 sinx) , b ? (3cos x, 3 cos x) ,其中

x?R. ⑴ 求函数 y ? f ( x) 的最大值及此时 x 取值的集合;
⑵ 求函数 f ( x ) 的单调增区间和图象对称中心点的坐标.

18、 (本题满分 16 分)

某商品在 30 天内(包括 30 天)每件的交易价格 p (元)与时间 t (天)组成有序数对

(t , p ) ,点 (t , p ) 落在下图中的两条线段上.该商品在 30 天内(包括 30 天)的日交易
量 Q (万件)与时间 t (天)的部分数据如下表所示:
6 5 4 3 2 1

P(元)

第t 天

4 36

10 30

16 24

22 18

Q (万件)

O

10

20

30

t(天)

⑴ 根据提供的图象,写出该商品每件的交易价格 p (元)与时间 t (天)所满足的函数 关系式; ⑵ 根据表中数据确定日交易量 Q (万件)与时间 t (天)的一次函数关系式;
⑶ 用 y (万元)表示该商品日交易额,写出 y 关于 t 的函数关系式,并求出这 30 天中第 几天日交易额最大,最大值为多少?

19、 (本题满分 16 分)

已知函数 f ( x) ? ax2 ? | x | ?2a ?1 ( a 为实常数). ⑴ 当 a ? 0 时,求不等式 f (log2 x) ? 2 ? 0 的解集; ⑵ 当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的最大值; ⑶ 若 a ? 0 ,设 f ( x) 在区间 [1, 2] 的最小值为 g (a ) ,求 g (a ) 的表达式.

20、 (本题满分 16 分)

已知关于 x 的函数 g ( x) ? mx2 ? 2mx ? n(m ? 0) 在区间 ?0,3? 上的最大值为 4, 最小 值为 0 . 设 f ( x ) ?

g ( x) . x

⑴ 求函数 f ( x) 的解析式;

⑵ 若不等式 f (2x ) ? k ? 2x ? 0 在 x ? ?? 1,2? 上恒成立,求实数 k 的取值范围;
⑶ 若关于 x 的方程 f ( 2 x ? 1) ? 取值范围.

2t ? 3t ? 0 有三个不相等的实数根,求实数 t 的 2 ?1
x

高一数学期末质量调研 数学试题参考答案 2016.1
一.填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1、 ? 3 , 5、 ? 8 , 8、 17 , 12、 (?2,0) ? ?0,2? , 2、 2 , 6、 y ? 2 sin( x ? 9、 3 , 13、 1 , 3、 0 , 4、 (3,??) , 7、 ?? ?,4? , 11、 2 ,

?
4

) ? 1, 1 , 2

10、 ?

14、 ? ??,0 ? ? 0, 9 , 4

? ?

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分。请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文 ....... 字说明、证明过程或演算步骤) 15、 (本题满分 14 分) 解: (1)∵函数 y ?

? x 2 ? 3x ? 4 的定义域为 A ,

2 ∴ A ? x ? x ? 3 x ? 4 ? 0 ? x ? 4 ? x ? 1 ……………………………2 分

?

? ?

?

∵ x ? 1 ? 1 ,∴ lg( x 2 ? 1) ? lg1 ? 0
2

即函数 y ? lg( x 2 ? 1) 的值域为 B ? y y ? 0 ……………………………4 分 则集合 A ? B ? x 0 ? x ? 1

?

?

?

? ? ?

……………………………6 分 ……………………………8 分 …………………………10 分 ……………………………12 分

又∵全集为实数集 R ,∴ CR B ? x x ? 0 (2)∵ A ? C ? A ,∴ C ? A 则?

?m ? 1 ? ?4 ,即 ? 3 ? m ? 1 ?2m ? 1 ? 1

又要使集合 C ? x m ? 1 ? x ? 2m ? 1 为非空集合, 则必须 m ? 1 ? 2m ? 1 ,即 m ? 0 也即所求实数 m 的取值范围为 ?0,1? 。 16、 (本题满分 14 分) 解: (1)∵ cos ? ? ……………………………13 分 …………………………………14 分

?

?

3 ,且 ? 为锐角, 5

4 , ………………………………… 3 分 5 24 即 sin 2? ? 2 sin ? cos ? ? , …………………………………7 分 25 8 (2)∵ cos( ? ? ? ) ? ,且 ? , ? 均为锐角, 17 ∴0 ?? ? ? ?? , 15 2 即 sin(? ? ? ) ? 1 ? cos (? ? ? ) ? , …………………………………10 分 17 则 cos? ? cos?(? ? ? ) ? ? ? ? cos(? ? ? ) cos? ? sin(? ? ? ) sin ? , 8 3 15 4 84 ? ? ? ? ? …………………………………14 分 17 5 17 5 85
∴ sin ? ? 1 ? cos ? ?
2

17、 (本题满分 14 分) 解: (1) f ( x) ? a ? b ? 6 cos2 x ? 2 3 sin x cos x

? 3 cos2 x ? 3 sin 2 x ? 3 ? 2 3 (
? 2 3 cos( 2 x ?
则当 cos( 2 x ? 也即 x ? k? ?

3 1 cos2 x ? sin 2 x) ? 3 2 2
……………………………4 分

?
6

)?3

?
6

) ? 1 时,即 2 x ?

?
6

? 2k? ,

?

12

(k ? Z ) 时,函数 f ( x) 的最大值为 2 3 ? 3 ,

此时 x 取值的集合为 ? x x ? k? ?

? ?

? (k ? Z )? 12 ?

?

……………………………………8 分

(2)∵要求函数 f ( x) ? 2 3 cos( 2 x ? ∴ 2k? ? ? ? 2 x ?

?
6

) ? 3 的单调增区间,

5? 11? ? x ? k? ? (k ? Z ) , 6 12 12 5? 11? , k? ? )( 其中 k ? Z ) ……………11 分 也即函数 f ( x) 的单调增区间为 (k? ? 12 12

?

? 2k? ? 2? ,即 k? ?

又令 f ( x) ? 3 ,则 cos( 2 x ? 即 2x ?

?

?
6

? k? ?

?
2

6

) ? 0, k? ? ? (k ? Z ) , 2 6
………………………13 分 ………………………14 分

,也即 x ?

则图像对称中心点的坐标为 ( 18、 (本题满分 16 分)

k? ? ? ,3)( 其中 k ? Z ) 2 6

,t ? Z ) , 解: (1)由题意可设第一条线段的函数关系式为: P 1 (t ) ? k1t ? b 1 (0 ? t ? 20

1 ? ?2 ? b1 ?k1 ? 把 (0,2), (20,6) 分别代入上式得 ? , 解得 ? 5, ?6 ? 20k1 ? b1 ? ?b1 ? 2 t ? 2(0 ? t ? 20, t ? Z ) , 即P ……………………………………3 分 1 (t ) ? 5 设第二条线段的函数关系式为: P 2 (t ) ? k2t ? b2 (20 ? t ? 30, t ? Z ) , 1 ? ?5 ? 30 k 2 ? b2 ?k 2 ? ? , 解得 ? 把 (20,6),(30,5) 分别代入上式得 ? 10 , ?6 ? 20 k 2 ? b2 ? ?b2 ? 8 t ? 8(20 ? t ? 30, t ? Z ) , 即 P2 (t ) ? ? ……………………………………6 分 10 ?t ? 5 ? 2(0 ? t ? 20, t ? Z ) ? 则所求 p (元)与时间 t (天)的函数关系式为 P(t ) ? ? …7 分 t ?? ? 8(20 ? t ? 30, t ? Z ) ? ? 10
(2)∵日交易量 Q (万件)是时间 t (天)的一次函数, ∴可设 Q(t ) ? kt ? b(0 ? t ? 30, t ? Z ) , 把 (4,36), (10,30) 分别代入上式得 ?

?k ? ?1 ?36 ? 4k ? b , 解得 ? , 则日交易量 Q (万件) ?b ? 40 ?30 ? 10k ? b
………………10 分

与时间 t (天)函数关系式为 Q(t ) ? ?t ? 40(0 ? t ? 30, t ? Z )

(3)由题意可得商品日交易额 y (万元)与时间 t (天)的函数关系式为:

? t ( ? 2) ? (?t ? 40)(0 ? t ? 20, t ? Z ) ? ?5 y (t ) ? P(t ) ? Q(t ) ? ? …………………12 分 t ?(? ? 8) ? (?t ? 40)(20 ? x ? 30, t ? Z ) ? ? 10 1 2 ①当 0 ? t ? 20, t ? Z 时, y (t ) ? ? (t ? 15) ? 125 , 5 则当 t ? 15 时, y(t )max ? 125 ……………………………………14 分
②当 20 ? t ? 30, t ? Z 时, y (t ) ? 则当 t ? 20 时, y(t )max ? 120 综上所述可知第 15 天日交易额最大,且最大值为 125 万元 19、 (本题满分 16 分) 解: (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? ? x ? 1, ……………………………………2 分 …………………16 分

1 (t ? 60) 2 ? 40 , 10

则不等式 f (log2 x) ? 2 ? 0 可化为: ? log2 x ? 1 ? 2 ? 0 , ……………………4 分 即 log2 x ? 1,解之得:

1 ? x? 2, 2

则所求不等式 f (log2 x) ? 2 ? 0 的解集为 ? ,2? 2

?1 ? ? ?

…………………………6 分

1 1 ? a ( x ? ) 2 ? 2a ? 1 ? ( x ? 0) ? ? 2a 4a 2 (2)当 a ? 0 时, f ( x) ? ax ? | x | ?2a ?1 ? ? , ?a( x ? 1 ) 2 ? 2a ? 1 ? 1 ( x ? 0) ? 2a 4a ?
由函数的图象可知:当 x ? 0 时, f ( x)max ? f (0) ? 2a ? 1 (3)当 x ? ? 1,2? 时, f ( x) ? ax ? x ? 2a ? 1 ? a( x ?
2

………10 分

1 2 8a 2 ? 4a ? 1 ) ? (a ? 0) 2a 4a
………12 分

①当

1 1 ? 1 时,即 a ? 时,此时 x ? 1 时, f ( x)min ? f (1) ? 3a ? 2 2a 2

②当 1 ?

1 1 1 1 1 8a 2 ? 4a ? 1 ? 2 时, 即 ? a ? 时, 即x ? 时, f ( x) min ? f ( ) ? 2a 4 2 2a 2a 4a
…………………………………14 分

③当

1 1 ? 2 时,即 0 ? a ? 时,此时 x ? 2 时, f ( x)min ? f (2) ? 6a ? 3 2a 4

1 ? ?3a ? 2(a ? 2 ) ? 2 1 ? 8a ? 4a ? 1 1 综上所述可得 g (a) ? ? ( ? a ? ) …………………………………16 分 4a 4 2 ? 1 ? ?6a ? 3(0 ? a ? 4 ) ?
20、 (本题满分 16 分) 解: (1)∵ g ( x) ? mx ? 2mx ? n ? m( x ? 1) ? n ? m(m ? 0) , x ? ?0,3?,
2 2

∴当 x ? 1 时, g ( x)min ? g (1) ? n ? m ? 0 , 当 x ? 3 时, g ( x)max ? g (3) ? 3m ? n ? 4 , 解得: m ? n ? 1 ,即 f ( x) ?
x x

………………………2 分 ………………………4 分 ………………………5 分

g ( x) 1 ? x ? ? 2( x ? 0) x x

(2)不等式 f (2 ) ? k ? 2 ? 0 在 x ? ?? 1,2? 上恒成立, 即2 ?
x

1 ? 2 ? k ? 2 x ? 0 在 x ? ?? 1,2? 上恒成立, 2x

上式可化为 k ? ( 令s ?

1 2 1 ) ? 2( x ) ? 1 在 x ? ?? 1,2? 上恒成立, ………………………7 分 x 2 2

1 ?1 ? ,∵ x ? ?? 1,2? ,∴ s ? ? ,2? , x 2 ?4 ?

则 k ? s 2 ? 2s ? 1 ? (s ? 1)2 在 s ? ? ,2? 上恒成立, 4 又∵当 s ? 1 时, (s 2 ? 2s ? 1)min ? 0 ∴ k ? 0 ,即所求实数 k 的取值范围为 ?? ?,0? (3)方程 f ( 2 x ? 1) ?
2

?1 ? ? ?

…………………………………10 分

2t 1 2t x ,即 ? 3 t ? 0 2 ? 1 ? ? 2 ? ? 3t ? 0 , 2x ? 1 2x ? 1 2x ? 1
x x

可化为: 2 ? 1 ? (3t ? 2) 2 ? 1 ? (2t ? 1) ? 0( 2 ? 1 ? 0) ,
x
x 2 令 r ? 2 ? 1 ,则 r ? (3t ? 2)r ? (2t ? 1) ? 0, r ? (0,??) ,…………………12 分

若关于 x 的方程 f ( 2 x ? 1) ?

2t ? 3t ? 0 有三个不相等的实数根, 2 ?1
x

则关于 r 的方程 r 2 ? (3t ? 2)r ? (2t ? 1) ? 0 必须有两个不相等的实数根 r1 和 r2 , 并且 0 ? r1 ? 1, r2 ? 1 或 0 ? r1 ? 1, r2 ? 1 , 记 h(r ) ? r ? (3t ? 2)r ? (2t ? 1) ? 0, r ? (0,??) ,
2

? ?h(0) ? 2t ? 1 ? 0 ?h(0) ? 2t ? 1 ? 0 ? 则? ①,或 ?h(1) ? ?t ? 0 ② ?h(1) ? ?t ? 0 ? 3t ? 2 ?0 ? ?1 2 ?
解①得: t ? 0 , 解②得:无解,

……………………15 分

综上可知所求实数 t 的取值范围为 ?0,??? …………………………………16 分


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