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山西省太原市山大附中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷


2014-2015 学年山西省太原市山大附中高一(上)期中数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1. (4 分)设全集 U={x∈N+|x<6},集合 A={1,3},B={3,5},则?U(A∪B)=() A.{1,4} B.{1,5} C.{2,4} D.{2,5} 2. (4 分)函数 f(x)= A.(﹣2,1) +lg(x+2)的定义域为() C.[﹣2,1) D.[﹣2,﹣1]

B.(﹣2,1]

3. (4 分)已知 a>0 且 a≠1,下列四组函数中表示相等函数的是() A.y=logax 与 y=(logxa) C. 与 y=x
﹣1

B. y=2x 与 y=logaa
2

2x

D.y=logax 与 y=2logax

4. (4 分)已知函数

,若 f(a)=b,则 f(﹣a)=()

A.b

B . ﹣b

C.

D.

5. (4 分)下列函数中值域为(0,+∞)的是() A. B. C. D.

6. (4 分)已知幂函数 y=f(x)的图象过点(3, A. B. ﹣
x

) ,则 log4f(2)的值为() D.﹣2

C. 2

7. (4 分)在下列区间中,函数 f(x)=e +4x﹣3 的零点所在的区间为() A.(﹣ ,0) B.(0, )
3.3

C. ( , )

D.( , )

8. (4 分)三个数 0.99 ,log3π,log20.8 的大小关系为() 3.3 3.3 A.log3π<0.99 <log20.8 B. log20.8<log3π<0.99 3.3 3.3 C. 0.99 <log20.8 l<og3π D.log20.8<0.99 <log3π 9. (4 分)当 x∈(1,2)时,不等式(x﹣1) <logax 恒成立,则实数 a 的取值范围为() A.(2,3] B.[4,+∞) C.(1,2] D.[2,4)
2

10. (4 分)若函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数,且在(0,+∞)为增函数,又 f(2)=0, 则不等式 ln( )?[xf(x)]<0 的解集为() A.(﹣2,0)∪(2,+∞) ∪(0,2) D. B.(﹣∞,﹣2)∪(0,2) (﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) C. (﹣2,0)

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11. (4 分)函数 f(x)=loga(x+1)+2, (a>0 且 a≠1)必过定点.

12. (4 分)

则 f(f(2) )的值为.

13. (4 分)已知函数 f(x)=e +|x|,若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围是. 14. (4 分)已知函数 f(x)满足:f(p+q)=f(p)?f(q) ,f(1)=2,则: +…+ =.

|x|

15. (4 分)给出下列四个命题: ①函数 y= 为奇函数;

②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点; ③函数 y=2 的值域是(0,+∞) ;
x

④若函数 f(2x)的定义域为[1,2],则函数 f(2 )的定义域为[1,2]; 2 ⑤函数 y=lg(﹣x +2x)的单调递增区间是(0,1]. 其中正确命题的序号是. (填上所有正确命题的序号)

三、解答题(本大题共 5 小题,共 40 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (8 分)计算: (Ⅰ) (Ⅱ)lg
2 2

; 8+e
2ln2



17. (8 分)已知集合 A={x|x ﹣2ax﹣8a ≤0}. (Ⅰ)当 a=1 时,求集合?RA; (Ⅱ)若 a>0,且(﹣1,1)?A,求实数 a 的取值范围.

18. (8 分)已知二次函数 f(x)=﹣x +2ax﹣a 在区间[0,1]上有最大值 2,求实数 a 的值. 19. (8 分)已知函数 f(x)= 是定义在(﹣1,1)上的函数.

2

(Ⅰ)用定义法证明函数 f(x)在(﹣1,1)上是增函数; (Ⅱ)解不等式 f(x﹣1)+f(x)<0. 20. (8 分)已知函数 f(x)=log4(4 +1)+kx(k∈R)是偶函数 (1)求 k 的值; (2)设 g(x)=log4(a?2 ﹣ a) ,若函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个公共点,求实 数 a 的取值范围.
x x

2014-2015 学年山西省太原市山大附中高一(上)期中数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1. (4 分)设全集 U={x∈N+|x<6},集合 A={1,3},B={3,5},则?U(A∪B)=() A.{1,4} B.{1,5} C.{2,4} D.{2,5} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 由全集 U={x∈N+|x<6},可得 U={1,2,3,4,5},然后根据集合混合运算的法则即 可求解. 解答: 解:∵A={1,3},B={3,5}, ∴A∪B={1,3,5}, ∵U={x∈N+|x<6}={1,2,3,4,5}, ∴?U(A∪B)={2,4}, 故选 C. 点评: 本题考查了集合的基本运算,属于基础知识,注意细心运算. 2. (4 分)函数 f(x)= A.(﹣2,1) +lg(x+2)的定义域为() C.[﹣2,1) D.[﹣2,﹣1]

B.(﹣2,1]

考点: 函数的定义域及其求法;对数函数的定义域. 专题: 计算题.

分析: 根据题意可得

,解不等式可得定义域.

解答: 解:根据题意可得 解得﹣2<x≤1 所以函数的定义域为(﹣2,1] 故选 B 点评: 本题考查了求函数的定义域的最基本的类型①分式型:分母不为 0②对数函数:真 数大于 0,求函数定义域的关键是根据条件寻求函数有意义的条件,建立不等式(组) ,进而 解不等式(组) . 3. (4 分)已知 a>0 且 a≠1,下列四组函数中表示相等函数的是() A.y=logax 与 y=(logxa) C. 与 y=x
﹣1

B. y=2x 与 y=logaa
2

2x

D.y=logax 与 y=2logax

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意,判断函数的定义域与对应关系是否相同即可. 解答: 解:A:y=logax 的定义域为(0,+∞) , ﹣1 y=(logxa) 的定义域为(0,1)∪(1,+∞) ; 故不相等; B:y=2x 的定义域为 R, y=logaa =2x 的定义域为 R; 故相等; C: 的定义域为(0,+∞) ,
2x

y=x 的定义域为 R; 故不相等; D:y=2logax 的定义域为(0,+∞) , 2 y=logax 的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞) ; 故不相等. 故选 B. 点评: 本题考查了函数相等的判断,属于基础题.

4. (4 分)已知函数

,若 f(a)=b,则 f(﹣a)=()

A.b

B . ﹣b

C.

D.

考点: 函数奇偶性的性质.

专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数 f(x)的表达式,利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可. 解答: 解:∵函数 ,

∴f(﹣x)=



∴函数 f(x)为奇函数, ∴f(﹣a)=﹣f(a)=﹣b, 故选:B. 点评: 本题主要考查函数值的计算,利用函数特点,判断函数是奇函数是解决本题的关键. 5. (4 分)下列函数中值域为(0,+∞)的是() A. B. C. D.

考点: 函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据 x 的范围、利用基本函数的性质、基本不等式,求出每个函数的值域,从而得 出结论. 解答: 解:∵ ≠0,∴y= ≠1,∴y= 的值域不是(0,+∞) ,故排除 A.

∵x>0 时,y=x+ ≥2, 故 y=x+ (x>0)的值域为[2,+∞) ,不是(0,+∞) ,故排除 B. ∵1﹣x∈R,∴y= >0,故此函数的值域为(0,+∞) ,满足条件.

∵y=x﹣ 在[1,+∞)上是增函数,故它的最小值为 1﹣1=0,故函数的值域为[0,+∞) ,不满 足条件, 故选 C. 点评: 本题主要考查求函数的值域,属于基础题. 6. (4 分)已知幂函数 y=f(x)的图象过点(3, A. B. ﹣ C. 2 ) ,则 log4f(2)的值为() D.﹣2

考点: 幂函数的单调性、奇偶性及其应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 用待定系数法求出幂函数的解析式,计算 log4f(2)的值.

解答: 解:设幂函数 y=f(x)=x , 图象过点(3, ) , α ∴3 = , ∴α= , ∴f(x)= (x≥0) ; = log42= × = ;

α

∴log4f(2)=log4

故选:A. 点评: 本题考查了用待定系数法求出函数的解析式以及利用函数解析式求值的问题,是基 础题. 7. (4 分)在下列区间中,函数 f(x)=e +4x﹣3 的零点所在的区间为() A.(﹣ ,0) B.(0, ) C. ( , ) D.( , )
x

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题. 分析: 分别计算出 f(0) 、f(1) 、f( ) 、f( )的值,判断它们的正负,再结合函数零点 存在性定理,可以得出答案. 0 1 解答: 解:∵f(0)=e ﹣3=﹣2<0 f(1)=e +4﹣3>0 ∴根所在的区间 x0∈(0,1)排除 A 选项 又∵ ∴根所在的区间 x0∈(0, ) ,排除 D 选项 最后计算出 得出选项 C 符合; 故选 C. 点评: e=2.71828…是一个无理数,本题计算中要用到 求. 8. (4 分)三个数 0.99 ,log3π,log20.8 的大小关系为() 3.3 3.3 A.log3π<0.99 <log20.8 B. log20.8<log3π<0.99 3.3 3.3 C. 0.99 <log20.8 l<og3π D.log20.8<0.99 <log3π 考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数函数、指数函数的单调性即可得出.
3.3





等的值,对计算有一定的要

解答: 解:∵0<0.99 <1,log3π>1,log20.8<0, 3.3 ∴log20.8<0.99 <log3π. 故选:D. 点评: 本题考查了对数函数、指数函数的单调性,属于基础题. 9. (4 分)当 x∈(1,2)时,不等式(x﹣1) <logax 恒成立,则实数 a 的取值范围为() A.(2,3] B.[4,+∞) C.(1,2] D.[2,4) 考点: 函数恒成立问题. 专题: 计算题. 分析: 根据二次函数和对数函数的图象和性质,由已知中当 x∈(1,2)时,不等式(x﹣1)
2 2

3.3

<logax 恒成立,则 y=logax 必为增函数,且当 x=2 时的函数值不小于 1,由此构造关于 a 的 不等式,解不等式即可得到答案. 2 解答: 解:∵函数 y=(x﹣1) 在区间(1,2)上单调递增, 2 ∴当 x∈(1,2)时,y=(x﹣1) ∈(0,1) , 2 若不等式(x﹣1) <logax 恒成立, 则 a>1 且 1≤loga2 即 a∈(1,2], 故选 C. 点评: 本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点,其中根据二次函数和对数函数的 图象和性质,结合已知条件构造关于 a 的不等式,是解答本题的关键. 10. (4 分)若函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数,且在(0,+∞)为增函数,又 f(2)=0, 则不等式 ln( )?[xf(x)]<0 的解集为() A.(﹣2,0)∪(2,+∞) ∪(0,2) D. B.(﹣∞,﹣2)∪(0,2) (﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) C. (﹣2,0)

考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数的奇偶性和单调性得到 f(x)在(﹣∞,0)上也是增函数,由不等式 ln( ) ?[xf(x)]<0 得到 xf(x)>0.分类后可得不等式的解集. 解答: 解:∵奇函数的图象关于原点对称,且 f(x)在(0,+∞)为增函数, 则 f(x)在(﹣∞,0)上也是增函数, 又 f(2)=0, ∴f(﹣2)=0. 不等式 ln( )?[xf(x)]<0 同解于 xf(x)>0. 当 x>0 时,有 f(x)>0,得 x>2; 当 x<9 时,有 f(x)<0,得 x<﹣2. ∴不等式 ln( )?[xf(x)]<0 的解集为(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) . 故选:D.

点评: 本题考查了函数奇偶性和单调性的性质,考查了数学转化思想方法和分类讨论的数 学思想方法,是中档题. 二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11. (4 分)函数 f(x)=loga(x+1)+2, (a>0 且 a≠1)必过定点(0,2) . 考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先通过所学知识推断出 f(x)=logax 恒过的点,进而根据图象平移的法则求得答案. 解答: 解:函数 f(x)=logax 恒过(1,0)点, 而函数 f(x)=loga(x+1)+2,是由函数 f(x)=logax 向左平移一个单位后,又向上平移 2 个单位, 故函数 f(x)=loga(x+1)+2 横过(0,2)点. 故答案为: (0,2) . 点评: 本题主要考查了对数函数的图象与性质.解此题,采用数形结合的思想较好.

12. (4 分)

则 f(f(2) )的值为 2.

考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的值. 专题: 计算题. 分析: 本题是一个分段函数, 且是一个复合函数求值型的,故求解本题应先求内层的 f(2) , 再以之作为外层的函数值求复合函数的函数值, 求解过程中应注意自变量的范围选择相应的解 析式求值. 解答: 解:由题意,自变量为 2, 2 故内层函数 f(2)=log3(2 ﹣1)=1<2, 1﹣1 故有 f(1)=2×e =2, 1﹣1 即 f(f(2) )=f(1)=2×e =2, 故答案为 2 点评: 本题的考点分段函数,考查复合函数求值,由于对应法则是分段型的,故求解时应 根据自变量的范围选择合适的解析式,此是分段函数求值的特点. 13. (4 分)已知函数 f(x)=e +|x|,若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围是(1,+∞) . 考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 数形结合;函数的性质及应用. |x| 分析: 根据函数 f(x)=e +|x|的图象可判断 y=k,与 f(x)的图象的有两个不同的交点, 满足的条件. |x| 解答: 解:∵函数 f(x)=e +|x|,作图如下: ∵ 关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根,
|x|

∴y=k,与 f(x)的图象的有两个不同的交点, ∴k>1, 故答案为: (1,+∞) 点评: 本题考查了运用函数的图象解决方程的根的问题,属于中档题,关键是画图象. 14. (4 分)已知函数 f(x)满足:f(p+q)=f(p)?f(q) ,f(1)=2,则: +…+ =2014.

考点: 抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据 f(p+q)=f(p)f(q) ,令 q=1,则有 的项,即可求出结果. 解答: 解:∵函数 f(x)满足 f(p+q)=f(p)?f(q) , ∴令 q=1,则 f(p+1)=f(p)f(1) , ∴ =f(1) , =f(1)=2,然后依次算出所求

又∵f(1)=2, ∴ ∴ ∴ ∴: =2, , ,…, +…+ +…+ , =2+2+…+2=2×1007=2014, =2014.

故答案为:2014. 点评: 本题考查了抽象函数及其应用.解题的关键是进行合理的赋值,利用赋值求解抽象 函数的函数值.考查了根据抽象函数的性质进行灵活变形,合理转化证明的能力,本题对灵活 转化的能力要求较高.属于中档题.

15. (4 分)给出下列四个命题: ①函数 y= 为奇函数;

②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点; ③函数 y=2 的值域是(0,+∞) ;
x

④若函数 f(2x)的定义域为[1,2],则函数 f(2 )的定义域为[1,2]; 2 ⑤函数 y=lg(﹣x +2x)的单调递增区间是(0,1]. 其中正确命题的序号是①④⑤. (填上所有正确命题的序号) 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 阅读型;函数的性质及应用. 分析: ①通过函数的定义域化简,得到 y= ②比如奇函数 y= 的图象,即可判断; ③由定义域和指数函数的值域,即可判断; ④函数的定义域的定义:自变量 x 的取值集合,即可判断; ⑤运用复合函数的单调性:同增异减,注意函数的定义域. 2 解答: 解:①函数首先必须满足 1﹣x ≥0,即﹣1≤x≤1,1≤x+2≤3, 则函数化简为 y= ,定义域为[﹣1,0)∪(0,1],关于原点对称,且 f(﹣x)=﹣f ,再由奇偶性的定义,即可判断;

(x) , 即函数为奇函数,故①对; ②比如奇函数 y= 的图象不过原点,故②错; ③由于 x≠0,则 y≠1,函数 y=2 的值域是(0,1)∪(1,+∞) .故③错;
x

④若函数 f(2x)的定义域为[1,2],则 f(x)的定义域为[2,4],令 2≤2 ≤4,1≤x≤2, x 则函数 f(2 )的定义域为[1,2],故④对; 2 ⑤令 z=2x﹣x (0<x<2) ,则 y=lgz,当 x∈(0,1]时,函数 z 增,同时 y 也是增,故⑤对. 故答案为:①④⑤ 点评: 本题考查函数的性质和运用,考查函数的奇偶性、单调性及运用,以及抽象函数的 定义域问题,是一道易错题. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 40 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (8 分)计算: (Ⅰ) ;

(Ⅱ)lg

8+e

2ln2



考点: 专题: 分析: 解答:

对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 函数的性质及应用. 根据对数的运算法则计算即可. 解: (Ⅰ) = + +10

0﹣100= + (Ⅱ)lg +4= .

=

; 8+e
2ln2

=lg( × ×

)﹣

+4=1﹣

点评: 本题考查了对数的运算法则,培养了学生的计算能力和转化能力,属于基础题 17. (8 分)已知集合 A={x|x ﹣2ax﹣8a ≤0}. (Ⅰ)当 a=1 时,求集合?RA; (Ⅱ)若 a>0,且(﹣1,1)?A,求实数 a 的取值范围. 考点: 一元二次不等式的解法;集合的包含关系判断及应用. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)直接把 a=1 代入 x ﹣2ax﹣8a ≤0,然后求解一元二次不等式化简 A,由补集概 念得答案; 2 2 (Ⅱ)求解不等式 x ﹣2ax﹣8a ≤0 化简 A,然后由(﹣1,1)?A 结合两集合端点值间的关系 列不等式组得答案. 2 2 2 解答: 解: (Ⅰ)当 a=1 时,x ﹣2ax﹣8a ≤0 化为 x ﹣2x﹣8≤0, 解得:﹣2≤x≤4. ∴A={x|﹣2≤x≤4}. ?RA={x|x<﹣2 或 x>4}; 2 2 (Ⅱ)由|x ﹣2ax﹣8a ≤0,且 a>0,得﹣2a≤x≤4a. ∴A={x|﹣2a≤x≤4a}. 由(﹣1,1)?A,得 ,解得 a ∴实数 a 的取值范围是 . .
2 2 2 2

点评: 本题考查了一元二次不等式的解法,考查了集合包含关系的判断与应用,是基础题. 18. (8 分)已知二次函数 f(x)=﹣x +2ax﹣a 在区间[0,1]上有最大值 2,求实数 a 的值. 考点: 二次函数在闭区间上的最值.
2

专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意得,函数 f(x)的对称轴为:x=a,再分对称轴在区间的左侧、右侧、中间三 种情况,分别根据函数在区间[0,1]上有最大值 2,求出实数 a 的值. 2 2 解答: 解:由 f(x)=﹣(x﹣a) +a ﹣a,得函数 f(x)的对称轴为:x=a, ①当 a<0 时,f(x)在[0,1]上递减,根据函数在区间[0,1]上有最大值 2,可得 f(0)=2, 即﹣a=2,∴a=﹣2. ②当 a>1 时,f(x)在[0,1]上递增,根据函数在区间[0,1]上有最大值 2,可得 f(1)=2, 即 a=3. 2 ③当 0≤a≤1 时,f(x)在[0,a]递增,在[a,1]上递减,∴f(a)=2,即 a ﹣a=2,解得:a=2 或﹣1,这与 0≤a≤1 矛盾. 综上,a=﹣2 或 a=3. 点评: 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值,二次函数的性质的应用,体现了分类 讨论的数学思想,属基础题. 19. (8 分)已知函数 f(x)= 是定义在(﹣1,1)上的函数.

(Ⅰ)用定义法证明函数 f(x)在(﹣1,1)上是增函数; (Ⅱ)解不等式 f(x﹣1)+f(x)<0. 考点: 函数单调性的判断与证明;函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)直接利用用定义法证明函数 f(x)在(﹣1,1)上是增函数; (Ⅱ)不等式 f(x﹣1)+f(x)<0 转化为 f(x﹣1)<f(﹣x) .利用函数的单调性列出不等 式组求解即可. 解答: (本小题满分 8 分) 解: (Ⅰ)证明:对于任意的 x1,x2∈(﹣1,1) ,且 x1<x2,则

=

∵﹣1<x1<x2<1,∴ ∴x1x2<1,∴1﹣x1x2>0. ∴f(x1)﹣f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2) . ∴函数 在(﹣1,1)上是增函数.…(4 分)



(Ⅱ)由已知及(Ⅰ)知,f(x)是奇函数且在(﹣1,1)上递增, f(x﹣1)+f(x)<0,f(x﹣1)<﹣f(x) ,f(x﹣1)<f(﹣x)





∴不等式的解集为

.…(8 分) .

点评: 本题考查函数的单调性的应用,单调性的证明,是基本知识的考查. 20. (8 分)已知函数 f(x)=log4(4 +1)+kx(k∈R)是偶函数 (1)求 k 的值; (2)设 g(x)=log4(a?2 ﹣ a) ,若函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个公共点,求实 数 a 的取值范围. 考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据偶函数的定义建立方程关系即可求 k 的值; (2)根据函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个公共点,即可得到结论. x 解答: 解(1)∵函数 f(x)=log4(4 +1)+kx(k∈R) )是偶函数 ∴f(﹣x)=log4(4 +1)﹣kx)=log4( ∴﹣(k+1)=k,则 k=
x
﹣x

x

x

)﹣kx=log4(4 +1)+kx(k∈R)恒成立

x



(2)g(x)=log4(a?2 ﹣ a) , 函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个公共点,即 方程 f(x)=g(x)只有一个解 由已知得 log4(4 +1)
x

x=log4(a?2 ﹣ a) ,

x

∴log4(

)=log4(a?2 ﹣ a) ,

x

方程等价于



设 2 =t,t>0,则(a﹣1)t ﹣
2

x

2

﹣1=0 有一解 ﹣1,

若 a﹣1>0,设 h(t)=(a﹣1)t ﹣ ∵h(0)=﹣1<0,∴恰好有一正解 ∴a>1 满足题意 若 a﹣1=0,即 a=1 时,不满足题意 若 a﹣1<0,即 a<1 时,由

,得 a=﹣3 或 a= ,

当 a=﹣3 时,t= 满足题意 当 a= 时,t=﹣2(舍去) 综上所述实数 a 的取值范围是{a|a>1 或 a=﹣3}. 点评: 本题主要考查函数奇偶性的应用,以及对数的基本运算,考查学生的运算能力,综 合性较强.


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