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不定积分的分部积分法(1)_图文

第四节 不定积分的分部积分法
一、基本内容
问题 ? xe xdx ? ?
解决思路 利用两个函数乘积的求导法则.
设函数u ? u( x)和v ? v( x)具有连续导数,
?uv?? ? u?v ? uv?, uv? ? ?uv?? ? u?v,
? ? ? uv?dx ? uv ? ? u?vdx, udv ? uv ? vdu.
分部积分公式

? ? udv ? uv ? vdu.
例1 求积分 ? x cos xdx .

解(一) 令 u ? cos x, xdx ? 1 dx2 ? dv

? ? ? x cos xdx ?

cos

xd

x2

?

2 x2 cos x ?

x2 sin xdx

22

2

显然,u,v? 选择不当,积分更难进行.

解(二) 令 u ? x, cos xdx ? d sin x ? dv
? x cos xdx? ? xd sin x ? x sin x ? ? sin xdx
? x sin x ? cos x ? C.

? 例2 求积分 x2e xdx.
解 u ? x2 , e xdx ? de x ? dv,

? x2e xdx

? ? ? x 2de x? x2e x ? 2 xe xdx 一次后, x的次数降低.
(再次使用分部积分法)u ? x, e xdx ? dv
? x2e x ? 2( xe x ? e x ) ? C.

总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函
数为u, 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)

例3 求积分 ? x arctan xdx.

解 令 u ? arctan x , xdx ? d x2 ? dv

?

x arctan

xdx?

x2 2

arctan

x

?

?

2 x

2

2

d

(arctan

x)

? ? x2 arctan x ?
2

x2 2

?

1

1 ?x

2

dx

x2

1 x2 ?1?1

? 2 arctan x ? ? 2 ? 1 ? x2 dx

? ? x2 arctan x ?
2

1 2

?

(1

?

1

1 ?x

2

)dx

? x2 arctan x ? 1 ( x ? arctan x) ? C .

2

2

? 例4 求积分 x3 ln xdx.

解 u ? ln x, x3dx ? d x4 ? dv, 4

? ? x3 ln xdx ?

x4 ln xd
4

?

1 4

x4

ln

x

?

1 4

?

x

3dx

? 1 x4 ln x ? 1 x4 ? C .

4

16

总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂

函数和反三角函数的乘积,就考虑设对数函

数或反三角函数为u .

例5 求积分 ? sin(ln x)dx.

解 ? sin(ln x)dx ? xsin(ln x) ? ? xd[sin(ln x)]

?

x sin(ln

x)

?

?

x cos(ln

x)?

1 x

dx

? x sin(lnx) ? ? cos(lnx)dx

? x sin(ln x) ? x cos(ln x) ? ? xd[cos(ln x)]

? x[sin(ln x) ? cos(ln x)] ? ? sin(ln x)dx

??

sin(ln

x)dx?

x [sin(ln 2

x)

?

cos(ln

x)] ?

C.

? 例6 求积分 e x sin xdx.

解 ? e x sin xdx ? ? sin xde x ? e x sin x ? ? e xd(sin x) ? e x sin x ? ? e x cos xdx ? e x sin x ? ? cos xde x ? e x sin x ? (e x cos x ? ? e xd cos x)

? e x (sin x ? cos x) ? ? e x sin xdx 注意循环形式

?

?

e

x

sin

xdx?

ex 2

(sin

x

?

cos

x)

?

C

.

? 例7 求积分 e x sin xdx.
解 ? e x sin xdx ? ? sin xde x ? e x sin x ? ? e xd(sin x)
? ? e x sin x ? ? e x cos xdx ? e x sin x ? e xd sin x ? ? e x sin x ? (e x sin x ? sin xdex )
? ? e x sin xdx
本题也可以先凑 sin xdx ,也要凑两次.

? 例8 求积分 x arctan x dx.
1? x2

? ? 解 ? 1 ? x2 ? ? x , 1? x2

?

?

x

arctan 1? x2

x

dx

?

?

arctan

xd

1? x2

? ? 1 ? x2 arctan x ? 1 ? x2d(arctan x)

? ? 1 ? x2 arctan x ?

1

?

x2

?

1 1? x2

dx

? ? 1 ? x2 arctan x ? 1 dx
1 ? x2 令 x ? tan t

?

1

1 ?

x

2

dx

?

?

? 1 sec2 tdt
1 ? tan2 t

?

sec tdt

? ln | sect ? tant | ?C ? ln | x ? 1? x2 | ?C

?

?

x

arctan 1? x2

x

dx

? 1 ? x2 arctan x ? ln | x ? 1? x2 | ?C.

二、小结
合理选择 u, v?,正确使用分部积分公式
? uv?dx ? uv ? ? u?vdx

思考题解答
注意前后几次所选的 u应为同类型函数.
例 ? e x cos xdx
第一次时若选 u1 ? cos x
? e x cos xdx ? e x cos x ? ? e x sin xdx
第二次时仍应选 u2 ? sin x

作业: P249: 1. (2)(4). 2.