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2018_2019高中数学第3章三角恒等变换3.2第1课时二倍角的三角函数学案苏教版必修4

309 教育网 www.309edu.com 第 1 课时 二倍角的三角函数 学习目标 1.会用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2. 能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用. 知识点 二倍角公式 思考 1 根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式,你能推导出二倍角的正弦、 余弦、正切公式吗? 答案 sin2α =sin(α +α )=sinα cosα +cosα sinα =2sinα cosα ; cos2α =cos(α +α )=cosα cosα -sinα sinα =cos2α -sin2α ; tan2α =tan(α +α )=1-2ttaannα2α . 思考 2 根据同角三角函数的基本关系式 sin2α +cos2α =1,你能否只用 sinα 或 cosα 表 示 cos2α ? 答案 cos2α =cos2α -sin2α =cos2α -(1-cos2α )=2cos2α -1; 或 cos2α =cos2α -sin2α =(1-sin2α )-sin2α =1-2sin2α .梳理 (1)倍角公式 ①sin2α =2sinα cosα .(S2α ) ②cos2α =cos2α -sin2α =1-2sin2α =2cos2α -1.(C2α ) ③tan2α =1-2ttaannα2α .(T2α ) (2)二倍角公式的重要变形——升幂公式 1+cos2α =2cos2α ,1-cos2α =2sin2α , 1+cosα =2cos2α2 ,1-cosα =2sin2α2 . 1.sinα =2sinα2 cosα2 .( √ ) 2.cos4α =cos22α -sin22α .( √ ) 3.对任意角 α ,tan2α =1-2ttaannα2α .( × ) 309 教育资源库 www.309edu.com 309 教育网 www.309edu.com 提示 公式中所含各角应使三角函数有意义.如 α =π4 及 α =π2 ,上式均无意义. 类型一 给角求值 例 1 求下列各式的值: (1)cos72°cos36°;(2)13-23cos215°;(3)1-tatna7n527°5°;(4)sin110°-cos130°. 2sin36°cos36°cos72° 解 (1)cos36°cos72°= 2sin36° =2sin47s2i°n3c6o°s72°=s4isni1n4346° °=4ssiinn3366°°=14. (2)13-23cos215°=-13(2cos215°-1)=-13cos30°=- 3 6. 1-tan275° 1-tan275° 1 (3) tan75° =2· 2tan75° =2·tan150°=-2 3. (4)sin110°-cos130°=coss1i0n°10-°co3ss1i0n°10° =2???21cossi1n01°0°-co2s31s0i°n10°??? =4?sin30°2csosi1n01°0°-ccooss130°0°sin10°?=4ssiinn2200°°=4. 反思与感悟 对于给角求值问题,一般有两类 (1)直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行 转化,一般可以化为特殊角. (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程 中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公 式的形式. 跟踪训练 1 求下列各式的值: (1)cos2π7 cos47π cos6π7 ;(2)sin150°+cos530°. 2sin 2π 7 cos 2π 7 cos 4π 7 cos 6π 7 解 (1)原式= 2sin 2π 7 309 教育资源库 www.309edu.com 309 教育网 www.309edu.com sin 4π 7 cos 4π 7 cos 6π 7 sin 8π 7 cos 6π 7 = 2sin 2π 7 = 4sin 2π 7 sin π 7 cos = 4sin 2π 7 π 7 sin = 8sin 2π 7 2π 7 =18. (2)原式=cossi5n0°50+°co3ssi5n0°50°=2???211cos 50°+ 23sin 50°???=12sin 80° 2sin =1 80° 2×2sin 50°cos 50° 2sin 100° 2sin 80° =4. 类型二 给值求值 例 2 已知 tanα =2. (1)求 tan???α +π4 ???的值; (2)求sin2α sin2α +sinα cosα -cos2α -1的值. 解 (1)tan???α +π4 tanα +tan ???=1-tanα tan π 4 π 4 =1-2+2×1 1=-3. (2)sin2α sin2α +sinα cosα -cos2α -1 =sin2α 2sinα cosα +sinα cosα -2cos2α =tan2α2+tatnaαnα -2=4+2×2-2 2=1. 反思与感悟 (1)条件求值问题常有两种解题途径: ①对题设条件变形,把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢. ②对结论变形,将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢,以便将题设条件代 入结论. (2)一个重要结论:(sin θ ±cosθ )2=1±sin 2θ . 跟踪训练 2 若 tanα =34,则 cos2α +2sin2α =. 答案 64 25 解析 cos2α +2sin 2α =cos2αco+s2α4s+insiαn2cα

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