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01排列组合


一百分教育

全心全意 100 分

任课老师: 殷华璨

授课时间: 月



第 1 课时

排列组合

教学目标: 1.排列 2.组合 教学重点难点:1.排列与组合的定义 2.排列组合的各种计算 教学过程: 1.排列:从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,可以选 择的方法数有:

Am n ? n? n ? 1?? n ? 2?……? n ? m ? 1? ?
规定:0! ? 1

n! ?m ? n? ?n ? m?!

2.组合:从 n 个不同元素中任取 m(m≤n)个元素并组成一组,叫做组合,选择不同组合 的数量有:

Cm n ?

n?n ? 1?……?n ? m ? 1? Am n! n ? ? m m! m!?n ? m?! Am

规定:C 0 n ?1
重要等式: C n ? C n
m n? m m?1 0 1 n n ,C m ? Cm n ? Cn n?1 ,C n ? C n ? …… ? C n ? 2

排列与组合的共同点:各个个体都必须互不相同 排列与组合的区别:排列的是有顺序的,各个位置有顺序区别,但顺序可以随意规定;组合是 没有顺序的,各个位置都相同。 例 1 分析以下情况是排列还是组合,各种情况间有何关系: (1)从 10 名学生中选出 7 人站成一排,选法的总数 (2)从 10 名学生中选出 7 人背书,选法的总数 (3)从 10 名学生中选出 7 人站成 2 排,前排 3 人后排 4 人,选法的总数 (4)从 10 名学生中选出 7 人参加 7 个项目的比赛,每人参加一项,选法的总数; (5)袋子里有 10 个球,1 个黑球 9 个红球,从中随便摸出两个,求各种情况的数量 (6)袋子里有 10 个球,1 个黑球编号 1,9 个红球编号 2-10,从中摸出两个,求各种情况的 数量;

排列组合题目的处理步骤: (1)分清题目类型:个体是否有差异、个体的顺序是否有差异 (2)分辨个体差异:某些个体有特殊的要求,其它个体没有特殊要求 (3)选择解题思路:列出所有可能的情况,对各种情况分别进行计算,再用分类/分步计数原 理将总数算出
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(4)检验、检查 常见的解决排列问题的方法 (1)优限法:优先安排受限制的元素(或位置) ,再安排其他元素(或位置)的方法称为优限 法. (2)间接法:不考虑受限条件的排列总数,减去不符合要求的排列数,得到所求的排列数, 这就是间接法. (3)捆绑法:把要相邻的几个元素看成一个元素,参加排列,主要用来解决相邻问题. (4)插空法:不相邻问题用插空法解决,插空法后安排受限制的元素. 例 2 某医院有内科医生 12 名,外科医生 8 名,现选派 5 名参加赈灾医疗队,其中 (1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加,共有多少种不同选法? (2)甲、乙均不能参加,有多少种选法? (3)甲、乙二人至少有一人参加,有多少种选法? (4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生,有几种选法?

例 3 六本不同的书,按下列条件,各有多少种不同的分法? (1)分给甲、乙、丙三人,每人两本; (2)分为三份,每份两本; (3)分为三份,一份一本,一份两本,一份三本; (4)分给甲、乙、丙三人,一人一本,一人两本,一人三本; (5)分给甲、乙、丙三人,每人至少一本.

例 4 证明: (1) (2) (3)

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高考真题训练 1.(2009 广东卷理)2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿 者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前 两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有 A. 36 种 B. 12 种 C. 18 种 D. 48 种 2. ( 2009 北 京卷文)用数字 1 , 2 , 3 , 4 , 5 组成的无重复数字的四位偶数的个数 为 ( ) A.8 B.24 C.48 D.120 3. (2009 北京卷理)用 0 到 9 这 10 个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 ( ) A.324 B.328 C.360 D.648 4.(2009 全国卷Ⅱ文)甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有 (A)6 种 (B)12 种 (C)24 种 (D)30 种 5.(2009 全国卷Ⅰ理)甲组有 5 名男同学,3 名女同学;乙组有 6 名男同学、2 名女同学。若 从甲、乙两组中各选出 2 名同学,则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有( D ) (A)150 种 (B)180 种 (C)300 种 (D)345 种 6.(2009 湖北卷理)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生, 且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为 A.18 B.24 C .30 D.36 7.(2009 四川卷文)2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生 中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是 A. 60 B. 48 C. 42 D. 36 8. (2009 全国卷Ⅱ理)甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门。则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有 A. 6 种 B. 12 种 C. 30 种 D. 36 种 9.(2009 辽宁卷理)从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队,要求其中 男、女医生都有,则不同的组队方案共有 (A)70 种 (B) 80 种 (C) 100 种 (D)140 种 10.(2009 湖北卷文)从 5 名志愿者中选派 4 人在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每 人一天,要求星期五有一人参加,星期六有两人参加,星期日有一人参加,则不同的选派方法 共有 A.120 种 B.96 种 C.60 种 D.48 种 11.(2009 湖南卷文)某地政府召集 5 家企业的负责人开会,其中甲企业有 2 人到会,其余 4 家企业各有 1 人到会, 会上有 3 人发言, 则这 3 人来自 3 家不同企业的可能情况的种数为 【 B 】 A.14 B.16 C.20 D.48 12.(2009 全国卷Ⅰ文)甲组有 5 名男同学、3 名女同学;乙组有 6 名男同学、2 名女同学, 若从甲、乙两组中各选出 2 名同学,则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 (A)150 种 (B)180 种 (C)300 种 (D)345 种 13.(2009 四川卷文)2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女 生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是 A. 60 B. 48 C. 42 D. 36 14.(2009 陕西卷文)从 1,2,3,4,5,6,7 这七个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成 没有重复数字的四位数,其中奇数的个数为
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(A)432 (B)288 (C) 216 (D)108.(2009 湖南卷理)从 10 名大 15.学生毕业生中选 3 个人担任村长助理,则甲、乙至少有 1 人入选,而丙没有入选的不同选 法的种数有( )种 A 85 B 56 C 49 D 28 16.(2009 四川卷理)3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女 生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是 A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 17. (2009 重庆卷文) 12 个篮球队中有 3 个强队, 将这 12 个队任意分成 3 个组 (每组 4 个队) , 则 3 个强队恰好被分在同一组的概率为( ) 1 3 1 1 A. B. C. D. 4 3 55 55 18.(2009 宁夏海南卷理)7 名志愿者中安排 6 人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每 天安排 3 人,则不同的安排方案共有________________种(用数字作答) 。 19.(2009 天津卷理)用数字 0,1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字的四位数,其中个位、 十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个(用数字作答) 20.(2009 浙江卷理)甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上,若每级台阶最多站 2 人,同一 级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是 (用数字作答) . 21. ( 2009 浙江卷文)有 20 张卡片,每张卡片上分别标有两个连续的自然数 k , k ? 1 ,其中
k ? 0,1, 2,? ,19. 从这 20 张卡片中任取一张, 记事件“该卡片上两个数的各位数字之和 (例如:

若取到标有 9,10 的卡片,则卡片上两个数的各位数字之和为 9 ? 1 ? 0 ? 10 )不小于 14 ”为 A , 则 P( A) ? .

22.(2009 年上海卷理)某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为上海世博会志愿者, 若用随机变量 ? 表示选出的志愿者中女生的人数,则数学期望 E? ____________(结果用最简 分数表示). 23.(2009 重庆卷理)锅中煮有芝麻馅汤圆 6 个,花生馅汤圆 5 个,豆沙馅汤圆 4 个,这三种 汤圆的外部特征完全相同。 从中任意舀取 4 个汤圆, 则每种汤圆都至少取到 1 个的概率为 ( ) 8 25 48 60 A. B. C. D. . 91 91 91 91 24.(2009 重庆卷理)将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的 分配方案有 种(用数字作答) .

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