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二次函数根的分布和最值(好)


二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳
1、一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 根的分布情况
2

设方程 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 的不等两根为 x1 , x2 且 x1 ? x2 ,相应的二次函数为 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c ? 0 ,
2

方程的根即为二次函数图象与 x 轴的交点,它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)

表一: (两根与 0 的大小比较即根的正负情况)
分 布 情 况
两个负根即两根都小于 0 两个正根即两根都大于 0 一正根一负根即一个根小于 0, 一个大于 0 ? x1 ? 0 ? x2 ?

? x1 ? 0, x2 ? 0?

? x1 ? 0, x2 ? 0?

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? ? f ?0? ? 0

? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? ? f ?0? ? 0

f ?0? ? 0

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论 综 合 结 论 ( 不 讨 论

? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? ? f ?0? ? 0

? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? ? f ?0? ? 0

f ?0? ? 0

a

? ??0 ? b ? ?0 ? ? ? 2a ? ?a ? f ? 0 ? ? 0

? ??0 ? b ? ?0 ? ? ? 2a ? ?a ? f ? 0 ? ? 0

a ? f ?0? ? 0



表二: (两根与 k 的大小比较)
分 布 情 况
两根都小于 k 即 两根都大于 k 即 一个根小于 k ,一个大于 k 即

x1 ? k , x2 ? k (??, ??)

x1 ? k , x2 ? k

x1 ? k ? x2

a?0


大 致 图 象 (

k

k

k

得 出 的 结 论

? ??0 ? b ? ?k ?? 2 a ? ? ? f ?k ? ? 0

? ??0 ? b ? ?k ?? 2 a ? ? ? f ?k ? ? 0

f ?k ? ? 0

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? ? f ?k ? ? 0

? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? ? f ?k ? ? 0

f ?k ? ? 0

综 合 结 论 ( 不 讨 论

a

? ??0 ? b ? ?k ? ? ? 2a ? ?a ? f ? k ? ? 0

? ??0 ? b ? ?k ? ? ? 2a ? ?a ? f ? k ? ? 0

a ? f ?k ? ? 0



表三: (根在区间上的分布)
分 布 情 况
两根都在 ?m, n? 内 两根有且仅有一根在 ?m, n? 内 一根在 ?m, n? 内, 另一根在 ? p, q ?

(图象有两种情况,只画了一种) 内, m ? n ? p ? q

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

? ??0 ? ? f ?m? ? 0 ? ? f ?n? ? 0 ? b ?m ? ? ?n 2a ? ?

f ?m? ? f ?n? ? 0

? f ? m? ? 0 ? ? f ? m? f ? n? ? 0 ? f ? n? ? 0 ? 或? ? ? f ? p? f ?q? ? 0 ? f ? p? ? 0 ? ? f ?q? ? 0 ?

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

? ??0 ? ? f ?m? ? 0 ? ? f ?n? ? 0 ? b ?m ? ? ?n 2a ? ?

f ?m? ? f ?n? ? 0

? f ? m? ? 0 ? ? f ? m? f ? n? ? 0 ? f ? n? ? 0 ? 或? ? ? f ? p? f ?q? ? 0 ? f ? p? ? 0 ? ? f ?q? ? 0 ?

综 合 结 论 ( 不 讨 论

——————

f ?m? ? f ?n? ? 0

? f ?m ? f ?n ? ? 0 ? ? ? ? f ? p ? f ?q ? ? 0

a


根在区间上的分布还有一种情况:两根分别在区间 ?m, n? 外,即在区间两侧 x1 ? m, x2 ? n , (图形分别如下) 需满足的条件是

(1) a ? 0 时, ?

? ? f ? m? ? 0 ; ? ? f ? n? ? 0

(2) a ? 0 时, ?

? ? f ? m? ? 0 ? ? f ? n? ? 0

对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明: (1)两根有且仅有一根在 ?m, n? 内有以下特殊情况:

1?

若 f ? m? ? 0 或 f ? n ? ? 0 , 则此时 f ? m? f ? n ? ? 0 不成立, 但对于这种情况是知道了方程有一根为 m 或 n ,
2

可以求出另外一根, 然后可以根据另一根在区间 ?m, n? 内, 从而可以求出参数的值。 如方程 mx ? ? m ? 2? x ? 2 ? 0 在区间 ?1,3? 上有一根,因为 f ?1? ? 0 ,所以 mx2 ? ? m ? 2? x ? 2 ? ? x ?1?? mx ? 2? ,另一根为 得

2 2 ,由1 ? ? 3 m m

2 ? m ? 2 即为所求; 3
方程有且只有一根,且这个根在区间 ?m, n? 内,即 ? ? 0 ,此时由 ? ? 0 可以求出参数的值,然后再将参数

2?

的值带入方程,求出相应的根,检验根是否在给定的区间内,如若不在,舍去相应的参数。如方程

x2 ? 4mx ? 2m ? 6 ? 0 有 且 一 根 在 区 间 ? ?3, 0 ? 内 , 求 m 的 取 值 范 围 。 分 析 : ① 由 f ? ?3? f ? 0? ? 0 即

?14m ?15?? m ? 3? ? 0 得 出 ?3 ? m ? ? 14 ; ② 由 ? ? 0 即 16m2 ? 4 ? 2m ? 6? ? 0 得 出 m ? ?1 或 m ? 2 , 当
m ? ?1 时,根 x ? ?2 ? ? ?3,0? ,即 m ? ?1 满足题意;当 m ?
综上分析,得出 ?3 ? m ? ?

15

3

3 3 时,根 x ? 3 ? ? ?3,0? ,故 m ? 不满足题意; 2 2

15 或 m ? ?1 14

根的分布练习题
例 1、已知二次方程 ? 2m ?1? x ? 2mx ? ? m ?1? ? 0 有一正根和一负根,求实数 m 的取值范围。
2

解:由

? 2m ?1? f ?0? ? 0
2



? 2m ? 1 ?? m ? 1 ??

1 ,从而得 ? ? m ? 1 即为所求的范围。 0 2

例 2、已知方程 2x ? ? m ?1? x ? m ? 0 有两个不等正实根,求实数 m 的取值范围。 解:由

??0 ? ?? m ? 1?2 ? 8m ? 0 ? ? ? ? ? ? m ? 1? ?m ? 3 ? 2 2或m ? 3 ? 2 2 ?0 ? ? m ? ?1 ? ? ? ?? 22 m?0 ? ? ? ? m?0 f ?0? ? 0 ? ? ?

0 ? m ? 3 ? 2 2 或 m ? 3 ? 2 2 即为所求的范围。
例 3、已知二次函数 y ? ? m ? 2? x2 ? ? 2m ? 4? x ? ?3m ? 3? 与 x 轴有两个交点,一个大于 1,一个小于 1,求实 数 m 的取值范围。 解:由

? m ? 2? f ?1? ? 0
2



? m ? 2? ? 2m ?1? ? 0

? ?2 ? m ?

1 即为所求的范围。 2

例 4、已知二次方程 mx ? ? 2m ? 3? x ? 4 ? 0 只有一个正根且这个根小于 1,求实数 m 的取值范围。 解:由题意有方程在区间 ? 0,1? 上只有一个正根,则 f ? 0? f ?1? ? 0 ? 4 ? 3m ? 1? ? 0 ? m ? ? 求范围。 (注: 本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在 ? 0,1? 内, 由 ? ? 0 计算检验, 均不复合题意, 计算量稍大) 1.二次函数及图象 2 2 设有一元二次函数 y=ax +bx+c(a≠0),判别式Δ =b -4ac,当Δ >0 时 y=f(x)与 x 轴有二交点;当Δ =0 时, y=f(x)与 x 轴仅有一交点;当Δ <0 时,y=f(x)与 x 轴无交点.

1 即为所 3

当Δ >0 时,设 y=f(x)图象与 x 轴两交点为 x1<x2.一元二次函数 y=f(x)与 x 轴交点 x1,x2 就是相应一元二 次方程 f(x)=0 的两根. 观察图象不难知道.

图像为

观察图象不难知道△=0,a>0 , △=0,a<0

当△<0 时,y=f(x)图象与 x 轴无公共点,其图象为

观察图象不难知道. a>0 时,绝对不等式 f(x)>0 解为 x∈R. a<0 时, 绝对不等式 f(x)<0 解为 x∈R.

2.讨论一元二次方程的根的分布情况时,往往归结为不等式(组)的求解问题,其方法有 3 种: (1)应用求根公式; (2)应用根与系数关系; (3)应用二次函数图象.在进行转化时,应保证这种转化的等价性. 就这三种方法而言,应用二次函数图象和性质应是比较简捷的一种方法. 2 2 设 f(x)=ax +bx+c(a>0),方程 ax +bx+x=0 的个根为α ,β (α ≤β ),m,n 为常数,且 n<m,方 程根的分布无外乎两种情况:

②α ,β 同居一区间时,不但要考虑端点函数值的符号,还要考虑

三、好题解给你 (1) (1) 预习题 2 1. 设有一元二次函数 y=2x -8x+1.试问, 当 x∈[3,4]时,随 x 变大,y 的值变大还是变小? 由此 y=f(x)在[3,4]上的最大值与最小值分别是什么? 2 解:经配方有 y=2(x-2) -7 ∵对称轴 x=2,区间[3,4]在对称轴右边, ∴y=f(x)在[3,4]上随 x 变大,y 的值也变大,因此 ymax=f(4)=1. ymin=f(3)=-5. 2 2 2.设有一元二次函数 y=2x -4ax+2a +3.试问,此函数对称轴是什么? 当 x∈[3,4]时,随 x 变大,y 的值是变大还是变小?与 a 取值有何关系? 由此,求 y=f(x)在[3,4]上的最大值与最小值. 2 解:经配方有 y=2(x-a) +3. 对称轴为 x=a. 当 a≤3 时,因为区间[3,4]在对称轴的右边,因此,当 x∈[3,4]时,随 x 变大,y 的值也变大. 当 3<a<4 时,对称轴 x=a 在区间[3,4]内,此时,若 3≤x≤a,随 x 变大,y 的值变小,但若 a≤x≤4, 随 x 变大,y 的值变大. 当 4≤a 时,因为区间[3,4]在对称轴的左边,因此,当 x∈[3,4]时,随 x 变大,y 的值反而变小.

根据上述分析,可知. 2 2 当 a≤3 时,ymax=f(4)=2a -16a+35.ymin=f(3)=2a -12a+21. 当 3<a<4 时,ymin=f(a)=3. 2 其中,a≤3.5 时,ymax=f(4)=2a -16a+35. 2 a≥3.5 时,ymax=f(3)=2a -12a+21. 2 2 当 a≥4 时,ymax=f(3)=2a -12a+21.ymin=f(4)=2a -16a+35. (2) (2) 基础题 2 例 1.设有一元二次方程 x +2(m-1)x+(m+2)=0.试问: (1)m 为何值时,有一正根、一负根. (2)m 为何值时,有一根大于 1、另一根小于 1. (3)m 为何值时,有两正根. (4)m 为何值时,有两负根. (5)m 为何值时,仅有一根在[1,4]内? 解:(1)设方程一正根 x2,一负根 x1,显然 x1、x2<0,依违达定理有 m+2<0. ∴ m<-2.

反思回顾:x1、x2<0 条件下,ac<0,因此能保证△>0. (2)设 x1<1,x2>1,则 x1-1<0,x2-1>0 只要求(x1-1)(x2-1)<0,即 x1x2-(x1+x2)+1<0. 依韦达定理有 (m+2)+2(m-1)+1<0.

(3)若 x1>0,x2>0,则 x1+x2>0 且 x1,x2>0,故应满足条件

依韦达定理有

(5)由图象不难知道,方程 f(x)=0 在[3,4]内仅有一实根条件为 f(3)·f(4)<0,即 [9+6(m-1)+(m+2)]·[16+8(m-1)+(m+2)]<0. ∴(7m+1)(9m+10)<0.

例 2. 当 m 为何值时,方程 解:负数根首先是实数根,∴ ,

有两个负数根?

由根与系数关系:要使方程两实数根为负数,必须且只需两根之和为负,两根之积为正. 由以上分析,有



∴当

时,原方程有两个负数根.

(3) (3) 应用题 2 例 1. m 取何实数值时,关于 x 的方程 x +(m-2)x+5-m=0 的两个实根都大于 2? 2 解:设 f(x)=x +(m-2)x+5-m,如图原方程两个实根都大于 2

所以当-5<m≤-4 时,方程的两个实根大于 2.

例 2.已知关于 x 方程:x -2ax+a=0 有两个实根α ,β ,且满足 0<α <1,β >2,求实根 a 的取值范围. 2 解:设 f(x)=x -2ax+a,则方程 f(x)=0 的两个根α ,β 就是抛物线 y=f(x)与 x 轴的两个交点的横坐 标,如图 0<α <1,β >2 的条件是:

2

<1,β >2. 2 例 3.m 为何实数时,关于 x 的方程 x +(m-2)x+5-m=0 的一个实根大于 2,另一个实根小于 2. 2 解:设 f(x)=x +(m-2)x+5-m,如图,原方程一个实根大于 2,另一个实根小于 2 的充要条件是 f(2) <0,即 4+2(m-2)+5-m<0.解得 m<-5.所以当 m<-5 时,方程的一个实根大于 2,另一个实根小于 2.

(4) (4) 提高题 例 1.已知函数 的图象都在 x 轴上方,求实数 k 的取值范围.

解: (1)当

,则所给函数为二次函数,图象满足:

,即 解得: (2)当 若 若 ,则 时, 的图象不可能都在 x 轴上方,∴

,则 y=3 的图象都在 x 轴上方

由(1) (2)得: 反思回顾:此题没有说明所给函数是二次函数,所以要分情况讨论. 2 2 例 2.已知关于 x 的方程(m-1)x -2mx+m +m-6=0 有两个实根α ,β ,且满足 0<α <1<β ,求实数 m 的取 值范围. 2 2 解:设 f(x)=x -2mx+m +m-6,则方程 f(x)=0 的两个根α ,β ,就是抛物线 y=f(x)与 x 轴的两个交点的 横坐标. 如图,0<α <1<β 的条件是

解得 例 3.已知关于 x 的方程 3x -5x+a=0 的有两个实根α ,β ,满足条件α ∈(-2,0),β ∈(1,3),求实 数 a 的取值范围. 2 解:设 f(x)=3x -5x+a,由图象特征可知方程 f(x)=0 的两根α ,β ,并且α ∈(-2,0),β ∈(1,3) 的
2

解得-12<a<0. 四、课后演武场 2 1.已知方程(m-1)x +3x-1=0 的两根都是正数,则 m 的取值范围是( B )

A.

B.

C.

D.

2.方程 x +(m -1)x+(m-2)=0 的一个根比 1 大,另一个根比-1 小,则 m 的取值范围是( C ) A.0<m<2 B.-3<m<1 C.-2<m<0 D.-1<m<1 3.已知方程 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是( C )

2

2

A.

B.

C.
2

D.

4.已知关于 x 的方程 3x +(m-5)x+7=0 的一个根大于 4,而另一个根小于 4,求实数 m 的取值范围.

可知方程 f(x)=0 的一根大于 4,另一根小于 4 的充要条件是:f(4)<0) 2 5.已知关于 x 的方程 x +2mx+2m+3=0 的两个不等实根都在区间(0,2)内,求实数 m 的取值范围.

征可知方程 f(x)=0 的两根都在(0,2)内的充要条件是

2、二次函数在闭区间 ?m, n? 上的最大、最小值问题探讨
设 f ?x? ? ax ? bx ? c ? 0 ?a ? 0? ,则二次函数在闭区间 ?m, n ? 上的最大、最小值有如下的分布情况:
2

m?n??

b 2a

m??

b b ? n即? ? ?m, n? 2a 2a

?

b ?m?n 2a

图 象

最 大 、 最 小 值

f ?x ?max ? f ?m ? f ?x ?min ? f ?n ?

f ?x ?max ? max? f ?n ?, f ?m?? ? b ? f ?x ?min ? f ? ? ? ? 2a ?

f ?x ?max ? f ?n ? f ?x ?min ? f ?m?

对于开口向下的情况,讨论类似。其实无论开口向上还是向下,都只有以下两种结论: (1)若 ? (2)若 ?

b ? ? ? ? ? b ? ? b ? ? ?m, n? ,则 f ?x ?max ? max? f ?m?, f ? ? ?, f ?n?? , f ?x ?min ? min? f ?m?, f ? ? ?, f ?n?? ; 2a ? 2a ? ? 2a ? ? ? ? ?

b ? ?m, n? ,则 f ?x?max ? max? f ?m?, f ?n??, f ?x?min ? min? f ?m?, f ?n?? 2a

另外,当二次函数开口向上时,自变量的取值离开对称轴越远,则对应的函数值越大;反过来,当二次函数 开口向下时,自变量的取值离开对称轴轴越远,则对应的函数值越小。

二次函数在闭区间上的最值练习
二次函数在闭区间上求最值,讨论的情况无非就是从三个方面入手:开口方向、对称轴以及闭区间,以下三 个例题各代表一种情况。 例 1、函数 f ? x ? ? ax ? 2ax ? 2 ? b ? a ? 0? 在 ? 2,3? 上有最大值 5 和最小值 2,求 a , b 的值。
2

解:对称轴 x0 ? 1??2,3? ,故函数 f ? x ? 在区间 ? 2,3? 上单调。 (1)当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 在区间 ? 2,3? 上是增函数,故 ?

? f ? x ?max ? f ? 3? ?3a ? b ? 2 ? 5 ?a ? 1 ? ; ? ? ? ? ? ? 2?b ? 2 ?b ? 0 ? f ? x ?min ? f ? 2 ? ? ? b?2 ?5 ?a ? ?1 ? f ? x ?max ? f ? 2 ? ? ? ? ? ? ?3a ? b ? 2 ? 2 ? b?3 ? f ? x ?min ? f ? 3?

(2)当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 在区间 ? 2,3? 上是减函数,故 ? 例 2、求函数 f ? x ? ? x ? 2ax ?1, x ??1,3? 的最小值。
2

解:对称轴 x0 ? a (1)当 a ? 1 时, ymin ? f ?1? ? 2 ? 2a ; (2)当 1 ? a ? 3 时, ymin ? f ? a ? ? 1 ? a ;
2

(3)当 a ? 3 时, ymin ? f ? 3? ? 10 ? 6a 例 3、求函数 y ? x2 ? 4x ? 3 在区间 ?t, t ?1? 上的最小值。 解:对称轴 x0 ? 2
2 (1)当 2 ? t 即 t ? 2 时, ymin ? f ?t ? ? t ? 4t ? 3 ;

(2)当 t ? 2 ? t ? 1 即 1 ? t ? 2 时, ymin ? f ? 2? ? ?1;
2 (3)当 2 ? t ? 1 即 t ? 1 时, ymin ? f ?t ? 1? ? t ? 2t

例 4、讨论函数 f ? x ? ? x ? x ? a ? 1的最小值。
2

解: f ? x ? ? x 2 ? x ? a ? 1 ? ? 直线 x ? ?

? x 2 ? x ? a ? 1, x ? a ,这个函数是一个分段函数,由于上下两段上的对称轴分别为 2 ? x ? x ? a ? 1, x ? a

1 1 1 1 1 1 , x ? ,当 a ? ? , ? ? a ? , a ? 时原函数的图象分别如下(1) , (2) , ( 3) 2 2 2 2 2 2

因此, (1)当 a ? ? (2)当 ?

1 ? 1? 3 时, f ? x ?min ? f ? ? ? ? ? a ; 2 ? 2? 4

1 1 ? a ? 时, f ? x ?min ? f ? a ? ? a2 ?1 ; 2 2 1 ?1? 3 时, f ? x ?min ? f ? ? ? ? a 2 ?2? 4

(3)当 a ?


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