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江苏专用版2018_2019学年高中数学4.4.4平摆线与圆的渐开线学案苏教版选修4_42

4.4.4 平摆线与圆的渐开线 1.了解平摆线、圆的渐开线的生成过程,能导出它们的参数方程. 2.在欣赏曲线美的同时,体会参数方程在曲线研究中的地位. 3.体会“参数”思想在处理较为复杂问题时的优越性. [基础·初探] 1.平摆线 (1)如图 4?4?7 所示,假设 A 为圆心,圆周上的定点为 P,开始时位于 O 处,圆(半 径为 r)在直线上滚动时,点 P 绕圆心做圆周运动,转过 θ(弧度)角后,圆与直线相切于 B, 线段 OB 的长等于 的长,即 OB=rθ.这就是圆周上的定点 P 在圆 A 沿直线滚动过程中满 足的几何条件.我们把点 P 的轨迹叫做平摆线,简称摆线,又叫旋轮线. 图 4?4?7 (2)以定直线为 x 轴,点 O 为原点建立直角坐标系,则定点 P(x, y)的参数方程为 Error!(θ 为参数). 2.圆的渐开线 有一条钢丝紧箍在一个半径为 r 的圆盘上,在钢丝的外端系上一支铅笔,逐渐撒开钢丝, 并使撒开的部分成为圆盘的切线,我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线,相应的定圆叫做 渐开线的基圆. [思考·探究] 1.用参数法求曲线的轨迹方程的步骤是什么? 【提示】 用参数法求曲线的轨迹方程,其步骤主要有三步:选参、用参、消参.其中 关键是选参,若题目没有明确要求化为普通方程(或需判断曲线的形状和位置),则可以用曲 线的参数方程作为答案. 2.圆的渐开线的参数方程中的参数的几何意义是什么? 【提示】 根据渐开线的定义和求解参数方程的过程,可知其中的字母 r 是指基圆的半 1 径,而参数 φ 是指绳子外端运动时,半径 OB 相对于 Ox 转过的角度,如图,其中的∠AOB 即是角 φ.显然点 P 由参数 φ 惟一确定.在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义, 把点的坐标转化为与三角函数有关的问题,使求解过程更加简单. [质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:_____________________________________________________ 解惑:_____________________________________________________ 疑问 2:_____________________________________________________ 解惑:_____________________________________________________ 疑问 3:_____________________________________________________ 解惑:_____________________________________________________ 摆线 已知一个圆的摆线过一定点(1,0),请写出该摆线的参数方程. 【自主解答】 根据圆的摆线的参数方程的表达式 Error!(φ 为参数)可知,只需求出其 中的 r,也就是说,摆线的参数方程由圆的半径惟一来确定,因此只需把点 (1,0)代入参数 方程求出 r 值再代入参数方程的表达式. 令 r(1-cos φ)=0 可得 cos φ=1, 所以 φ=2kπ(k∈Z)代入可得 x=r(2kπ-sin 2kπ)=1. 1 所以 r= . 2kπ 又根据实际情况可知 r 是圆的半径,故 r>0. 所以,应有 k>0 且 k∈Z, 即 k∈N+. 所以,所求摆线的参数方程是 Error!(其中 φ 为参数,k∈N+). [再练一题] 1.已知一个圆的平摆线过一定点(2,0),请写出该圆的半径最大时该平摆线的参数方程. 2 【解】 令 y=0,可得 r(1-cos φ)=0,由于 r>0, 即得 cos φ=1,所以 φ=2kπ(k∈Z). 代入 x=r(φ-sin φ),得 x=r(2kπ-sin 2kπ). 又因为 x=2,所以 r(2kπ-sin 2kπ)=2, 即得 r= 1 kπ (k∈N+). 1 易知,当 k=1 时,r 取最大值为 . π 代入即可得圆的平摆线的参数方程为 Error!(φ 为参数). 圆的渐开线 已知圆的渐开线的参数方程 Error!(φ 为参数) π 求出该渐开线的基圆的方程, 当参数 φ 取 时,求对应曲线上点的坐标. 2 π 【思路探究】 由 圆的渐开线的参数方程形式可得 r=3,把 φ= 代入即得对应的坐 2 标. 【自主解答】 ∵Error!,∴半径为 3. 此渐开线的基圆方程为 x2+y2=9. π 把 φ= 代入参数方程得 2 Error! 即 Error! 上点的坐标为( 3π ∴曲线 ,3). 2 圆的渐开线参数方程 Error!其中 φ 为参数. [再练一题] 2.已知圆的直径为 2,其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点 A、B 对应的参数分 π π 别是 和 ,求 A、B 两点的距离. 3 2 【导学号:98990038】 【解】 根据条件可知圆的半径是 1, 应的渐开线参数方程是 Error!(φ 为参数),分别把 φ= 和 φ= π 3 代入, π 所以对 2 3 3+ 3π 3 3-π π 可得 A、B 两点的坐标分别为 A( , ),B( ,1). 6 6 2 那么,根据两点之间的距离公式可得 A、B 两点的距离为 3+ 3π π 3 3 -π - ?2+? 6 2 6 AB= ? 1 = 6 -1?2 ?13-6 3?π2-6π-36 3+72. 即 A、B 两点之间的距离为 1 ?13-6 3?π2-6π-36 3+72. 6 1.若某圆的渐开线方程是 Error!(φ 为参数),则此圆的方程是_______,对应 φ=0 的 π 点的坐标是________,对应 φ= 的点是________. 2 π 【解析】 圆的方程为 x2+y2=1,φ=0 的点的坐标是(1,0),对应 φ= 的点的坐标 2 π