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人教版-高中数学选修2-3


离散型随机变量 的分布列(二)

一、复习引入:
问题1:抛掷一个骰子,设得到的点数为ξ,则ξ 的取值情况如何? ξ取各个值的概率分别是什么?

ξ
p

1
1 6

2
1 6

3
1 6

4
1 6

5
1 6

6
1 6

问题2:连续抛掷两个骰子,得到的点数之和为ξ , 则ξ取哪些值?各个对应的概率分别是什么? ξ 2
3 4 5
4 36

6

7

8
5 36

9
4 36

10
3 36

11 12
2 36 1 36

p

1 36

2 3 36 36

5 6 36 36

表中从概率的角度指出了随机变量在随机试验 中取值的分布状况,称为随机变量的概率分布。 如何给出定义呢?

二、离散型随机变量的分布列
1、概率分布(分布列) 设离散型随机变量ξ可能取的值为

x1, x2 , x3 ,
ξ取每一个值 则表

xi (i ? 1, 2, 的概率 ) P(? ? xi ) ? pi
x1 p1 x2 p2
… …

, xi

ξ

xi pi

… …

p

称为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列。

根据随机变量的意义与概率的性质, 你能得出分布列有什么性质?

离散型随机变量的分布列具有下述两个性质:
(1). pi ? 0, i ? 1, 2, 3, ? (2). p1 ? p2 ? p3 ? ? ? 1

例、某一射手射击所得环数的分布列如下:
ξ 4 5 6 7 8 9 10

p

0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22

求此射手“射击一次命中环数≥7”的概 率
一般地,离散型随机变量在某一范围内的概 率等于它取这个范围内各个值的概率之和。

练习、随机变量ξ的分布列为

ξ p

-1 0.16

0 a/10

1 a2

2 a/5

3 0.3

求常数a。
解:由离散型随机变量的分布列的性质有

a a 2 0.16 ? ? a ? ? 0.3 ? 1 10 5
解得:

9 a?? 10

(舍)或

3 a? 5

2、二项分布
如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是多少? 在这个试验中,随机变量是什么?

P(? ? k ) ? C p q
k n

k n ?k

其中k=0,1,…,n.p=1-q.

于是得到随机变量ξ的概率分布如下:
ξ p 0 1 … … k
k k n ?k Cn pq

… …

n
n n 0 Cn pq

0 0 n 1 1 n ?1 Cn p q Cn pq

我们称这样的随机变量ξ服从二项分布,记 ) 作 ? ~ B(n, ,p 其中 n,p为参数,并记

C pq

k n

k

n ?k

? b(k; n, p)

例1:一个口袋里有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同 时取出3只,以ξ表示取出的3个球中的最小号码,试写 出ξ的分布列. 解: 随机变量ξ的可取值为 1,2,3. 当ξ=1时,即取出的三只球中的最小号码为1,则其它 两只球只能在编号为2,3,4,5的四只球中任取两只,故 2 3 / C5 有P(ξ=1)= C4 =3/5; 同理可得P(ξ=2)=3/10;P(ξ=3)=1/10. 因此,ξ的分布列如下表所示 ξ p 1 3/5 2 3/10 3 1/10

例2:1名学生每天骑自行车上学,从家到学校的途中有5个 交通岗,假设他在交通岗遇到红灯的事件是独立的,并且概 率都是1/3.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分 布列.(2)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.

解:(1)ξ∽B(5,1/3),ξ的分布列为

1 k 2 5? k P(ξ=k)= C ( ) ( ) ,k=0,1,2,3,4,5. 3 3
k 5

(2)所求的概率:P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=1-32/243 =211/243.

例3:将一枚骰子掷2次,求下列随机变量的概率分布. (1)两次掷出的最大点数ξ;(2)两次掷出的最小点数η; (3)第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数之差ζ. 解:(1)ξ=k包含两种情况,两次均为k点,或一个k点,另 1 ? ( k ? 1) ? 2 2k ? 1 ? 一个小于k点,故P(ξ=k)= ,k=1,2,3,4,5,6.
6? 6 36

(2)η=k包含两种情况,两次均为k点,或一个k点,另一 个大于k点,故 P(η=k)= 1 ? (6 ? k ) ? 2 ? 13 ? 2k ,k=1,2,3,4,5,6.
6? 6 36

(3)ζ的取值范围是-5,-4,…,4,5.ζ=-5,即第一次 是1点,第二次是6点;……,从而可得ζ的分布列是: ζ -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 p
1 36
2 36 3 4 36 36 5 36

6 36

5 36

4 36

3 2 1 36 36 36

例3.(2000年高考题)某厂生产电子元件,其产 品的次品率为5%.现从一批产品中任意地连续 取出2件,写出其中次品数ξ的概率分布. 解:依题意,随机变量ξ~B(2,5%).所以,
95 ? 95 ? 1 5 P(ζ? 0)? C ? ? ? 0.095 ? ? 0.9025, P(ζ? 1)? C 2 100 100 ? 100 ?
0 2 2

? 5 ? P(ζ? 2)? C ? ? ? 0.0025 ? 100 ?
2 2

2

因此,次品数ξ的概率分布是 ξ P 0 0.9025 1 0.095 2 0.0025

例4、在一袋中装有一只红球和九只白球。 每次从袋中任取一球取后放回,直到取得 红球为止,求取球次数ξ的分布列。
分析:袋中虽然只有10个球,由于每次任取一球, 取后又放回,因此应注意以下几点: (1)一次取球两个结果:取红球A或取白球?,且 P(A)=0.1; (2)取球次数ξ可能取1,2,…; (3)由于取后放回。因此,各次取球相互独立。
k ?1 P (? ? k ) ? P ( ? A A ? A A ) ? P ( A ) P ( A ) ? P ( A ) P ( A ) ? 0 . 9 ? 0.1 ? ?? ? ??? ? ???? ? k ?1 k ?1

3.几何分布

称ξ服从几何分布,并记g(k,p)=p· qk-1

在次独立重复试验中,某事件A第一次发生时所作的试 验次数ξ也是一个取值为正整数的随机变量。 “ξ =k”表 示在第k次独立重复试验时事件A第一次发生。如果把第 k次实验时事件A发生记为Ak, p( Ak )=p,那么

P(? ? k ) ? P( A1 ? A2 ? A3 ? ? ? AK ?1 ? Ak ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? ? ? P( AK ?1 ) ? P( Ak )
(k=0,1,2…,q=1-p.) 于是得到随机变量ξ的概率分布如下: 检验p1+p2+…=1
ξ 1 2 3 … k …

? (1 ? p)

k ?1

?p?q

k ?1

?p

P

p

pq

pq2 …

pqk-1 …

例 (1) 某人射击击中目标的概率是0.2,射击中每次
射击的结果是相互独立的,求他在10次射击中击中 目标的次数不超过5次的概率(精确到0.01)。

例 (2) 某人每次投篮投中的概率为0.1,各次投篮的 结果互相独立。求他首次投篮投中时投篮次数的分 布列,以及他在5次内投中的概率(精确到0.01)。

1 10 解: ? 的所有取值为:1、2、3、4. C10 ? P ( ? ? 1 ) ? 1 “? ? 1” 表示只取一次就取到合格品 C13 13 1 1 5 C10 “? ? 2” 表示第一次取到次品,第二次 P(? ? 2) ?C3 ? 2 A13 26 取到合格品 “? ? 3” 表示第一、二次都取到次品,第三次 2 1 5 取到合格品 A C ∴ P(? ? 3) ? 3 10 ? 3 143 随机变量的分布列为: A13 ? 1 2 3 4 1 5 5 10 返回 P 286 26 143 13

从一批有10个合格品与3个次品的产品中,一件一件地 抽取产品,设各个产品被抽到的可能性相同,在下列三种 情况下,分别求出直到取出合格品为止时所需抽取的次数 的分布列.? 每次取出的产品都不放回此批产品中;

某射手有5发子弹,射击一次命中的概率为0.9⑴如果命中了就 停止射击,否则一直射击到子弹用完,求耗用子弹数 ? 的分布 ⑵如果命中2次就停止射击,否则一直射击到子弹用完,求耗 用子弹数? 的分布列.

解:⑴ ? 的所有取值为:1、2、3、4、5

“? ? 1”表示第一次就射中,它的概率为:P(? ? 1) ? 0.9 P(? ? 2) ? 0.1? 0.9 “? ? 2”表示第一次没射中,第二次射中,∴
同理

“?

? 5” 表示前四次都没射中,∴
? 的分布列为: ∴随机变量
?

, P(? ? 3) ? 0.1 ? 0 .9 P(? ? 4) ? 0.1 ? 0.9
2
3

P(? ? 5) ? 0.1
5
0.14

4

1
0 .9

2

3

4

P

2 3 0.1 ? 0.9 0.1 ? 0.9 0.1 ? 0.9

返回

某射手有5发子弹,射击一次命中的概率为0.9.⑴如果命中了 就停止射击,否则一直射击到子弹用完,求耗用子弹数? 的分 布列.⑵如果命中2次就停止射击,否则一直射击到子弹用完, 求耗用子弹数 的分布列.

?

解:⑵ ? 的所有取值为:2、3、4、5 2 P ( ? ? 2 ) ? 0 . 9 “ ? 2”表示前二次都射中,它的概率为:

“? ? 3” 表示前二次恰有一次射中,第三次射中,∴

?

P(?
同理

P(?

1 ? 3) ? C2 0.9 ? 0.1? 0.9
1 ? 4) ? C3 0.9 ? 0.12 ? 0.9

1 2 ? C2 0.1? 0.9

1 ? C3 0.12 ? 0.92

“? ? 5”

表示前四次中恰有一次射中,或前四次全部没射中 ∴ 随机变量 ? 的分布列为:
?



2
0.92

3
1 C2 0.1? 0.92

4
1 C3 0.12 ? 0.92

5
1 C4 0.9 ? 0.13 ? 0.14

P

返回

小结:本节学习的主要内容及学习目标要求:

1、理解离散型随机变量的分布列的意义,会 求某些简单的离散型随机变量的分布列; 2、掌握离散型随机变量的分布列的两个基本 性质,并会用它来解决一些简单问题; 3、理解二项分布和几何分布的概念。

求离散型随机变量的概率分布的方法步骤:
1、找出随机变量ξ的所有可能的取值 xi (i ? 1, 2, ); 2、求出各取值的概率 3、列成表格。

P(? ? xi ) ? pi ;

作业:课本第9页5、6、*7、8、9


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