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北京 高三理科 解三角形大题专题(带答案)


解三角形大题专题
(2014 石景山一模)15.(本小题满分 13 分)

B, C 的对边分别为 a , b, c ,且 a ? b ? c , 3a ? 2b sin A . 在△ ABC 中,角 A , (Ⅰ)求角 B 的大小;
(Ⅱ)若 a ? 2 , b ?

7 ,求 c 边的长和△ ABC 的面积.

(2014 西城一模)15.(本小题满分 13 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 b2 ? c2 ? a 2 ? bc . (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)如果 cos B ?

6 , b ? 2 ,求△ABC 的面积. 3

(2014 海淀二模)15.(本小题满分 13 分) 在锐角 ?ABC 中, a ? 2 7 sin A 且 b ? 21 . (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)若 a ? 3c ,求 c 的值.

(2015西城二模)15.(本小题满分13 分) 在锐角△ABC 中,角A,B ,C 所对的边分别为a,b ,c ,已知a = 7 ,b =3, . (Ⅰ)求角A 的大小; (Ⅱ)求△ABC 的面积.

(2013 丰台二模)15.(13 分) 已知 ?ABC 的三个内角分别为 A,B,C,且 2sin 2 ( B ? C) ? 3sin 2 A. (Ⅰ)求 A 的度数; (Ⅱ)若 BC ? 7, AC ? 5, 求 ?ABC 的面积 S.

(2014 延庆一模)15.(本小题满分 13 分) 在三角形 ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 a ? 2 ,C ? (Ⅰ)求 sin A 的值; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积.

?
4

,cos B ?

3 . 5

(2015 顺义一模)15.(本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 b ? 3 2,sin B ? (I)求 a 的值; (II)求 cos C 的值.

? 6 , B? A? . 2 3

(2016 东城一模)(15)(本小题共 13 分) 在△ ABC 中, BC ? 2 2 , AC ? 2 ,且 cos ? A ? B ? ? ? (Ⅰ)求 AB 的长度; (Ⅱ)若 f ( x) ? sin(2 x ? C) ,求 y ? f ( x) 与直线 y ?

2 . 2

3 相邻交点间的最小距离. 2

(2015 延庆一模)15.(本小题满分 13 分)

?ABC 中, BC ? 2 , ?ABC ? ? .
(Ⅰ)若 cos

?
2

?

2 5 , AB ? 5 ,求 AC 的长度; 5

(Ⅱ)若 ?BAC ?

?
6

, AB ? f (? ) ,求 f (? ) 的最大值.

(2016 西城一模)15.(本小题满分 13 分) 在 △ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,设 A ? (Ⅰ)若 a ?

?
3

, sin B ? 3sin C .

7 ,求 b 的值;

(Ⅱ)求 tan C 的值.

(2014 朝阳二模)15.(本小题满分 13 分) 在 △ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,且 A ? 积为
15 3 . 4

2π , b ? 3 , △ ABC 的面 3

(I)求边 a 的边长; (II)求 cos 2 B 的值.

(2015 东城一模)(15)(本小题共 13 分) 在△ ABC 中, b ? 2 , cos C ? (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求 sin 2 A 值.

3 7 ,△ ABC 的面积为 . 4 4

(2015 海淀二模)(15)(本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中, c ? 5 , b ? 2 6 , a ? (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求证: ?B ? 2?A .

3 6 cos A . 2

(2014 顺义一模)15.(本小题共 13 分) 已知 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,且满足 sin A( 3 cos A ? sin A)

?

3 2

(1)求角 A ; (2)若 a ? 2 2 , S ?ABC ? 2 3 ,求 b、 c 的值

(2015 石景山期末)15.(本小题共 13 分) 如图所示,在四边形 ABCD 中, AB ? DA ,CE ? 边上一点, DE ? 1 , EA ? 2 , ?BEC ? (Ⅰ)求 sin∠CED 的值; (Ⅱ)求 BE 的长.

7 , ?ADC ?

2? ; E 为 AD 3

?
3

.

(2015 朝阳二模)15. (本小题共 13 分) 在梯形 ABCD 中, (Ⅰ)求 AC 的长; (Ⅱ)求梯形 ABCD 的高.

(2015 丰台二模)15.(本小题共 13 分) 在△ ABC 中,A ? 30 ,BC ? 2 5 , 点 D 在 AB 边上, 且 ?BCD 为锐角,CD ? 2 , △ BCD 的面积为 4. (Ⅰ)求 cos ?BCD 的值; (Ⅱ)求边 AC 的长.
?

(2016海淀一模)15.(本小题满分13 分) 如图,在△ABC 中,点D在边AB上,且 (Ⅰ)求证: (Ⅱ)若 ? ?

?

AC sin ? ? ; BC 3sin ? ,? ?

AD 1 ? .记∠ACD= ? ,∠BCD= ? . DB 3

?

6

2

, AB ? 19 ,求BC 的长.

(2015 房山一模)15.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?

6

) ? 2 cos 2 x ? 1( x ? R ) .

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)在△ ABC 中,三个内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 f ? A ? ? 圆的半径为 3 ,求 a 的值.

1 ,且△ ABC 外接 2

(2013 石景山一模)15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? sin(2 x ?

?
6

) ? cos 2 x .

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调递增区间;

(Ⅱ) 在△ ABC 中, 内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c. 已知 f ( A) ? 求△ ABC 的面积.

? 3 B? , ,a ? 2, 3 2

(2013 朝阳二模)15.(13 分) 在△ ABC 中,A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 且 f ( A) ? 2 cos

A A A sin(? ? ) ? sin 2 ? 2 2 2

cos 2

A . 2

(Ⅰ)求函数 f ( A) 的最大值; (Ⅱ)若 f ( A) ? 0, C ?

?? , a ? 6 ,求 b 的值. 12

(2014 东城一模)15. (本小题共 13 分) 在 ?ABC 中,

sin A 3 cos B ? a b

(1)求角 B 的值; (2)如果 b ? 2 ,求 ?ABC 面积的最大值

(2013 东城一模)(15)(13 分) 在△ ABC 中, 三个内角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c , 且 b sin A ? 3a cos B . (Ⅰ)求角 B ; (Ⅱ)若 b ? 2 3 ,求 ac 的最大值.

(2014 丰台二模)(15)(本小题满分 13 分)
o 已知△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边长分别为 a, b, c ,且 a ? b ? ab ? 3 , C ? 60 .

2

2

(Ⅰ)求 c 的值; (Ⅱ)求 a ? b 的取值范围.

(2014 石景山一模) 15.(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)因为 3a ? 2b sin A , 所以 3 sin A ? 2sin B sin A ,…………………………2 分 因为 0 ? A ? ? ,所以 sin A ? 0 , 所以 sin B ?

3 ………………………… 4 分 , 2 因为 0 ? B ? ? ,且 a ? b ? c ,所以 B ? 60? .…………………………6 分

(Ⅱ)因为 a ? 2 , b ?

7,
1 ,即 c 2 ? 2c ? 3 ? 0 , 2

2 2 2 所以由余弦定理得 ( 7) ? 2 ? c ? 2 ? 2 ? c ?

解得 c ? 3 或 c ? ?1 (舍), 所以 c 边的长为 3 .…………………………10 分

1 1 3 3 3 .…………………………13 分 S?ABC = ac sin B ? ? 2 ? 3 ? ? 2 2 2 2
(2014 西城一模) 15.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:因为 b2 ? c2 ? a 2 ? bc , 所以 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? ,……………………………… 3 分 2bc 2

又因为 A ? (0, π) , 所以 A ?

π .……………………………… 5 分 3

(Ⅱ)解:因为 cos B ?

6 B ? (0, π) , , 3 3 .……………………………7 分 3

所以 sin B ? 1 ? cos 2 B ?

a b ? ,………………………………9 分 sin A sin B b sin A ? 3 .……………………………10 分 得a ? sin B
由正弦定理 因为 b2 ? c2 ? a 2 ? bc , 所以 c 2 ? 2c ? 5 ? 0 ,

解得 c ? 1 ? 6 , 因为 c ? 0 , 所以 c ? 6 ? 1.……………………………11 分 故△ABC 的面积 S ?

1 3 2? 3 .……………………………13 分 bc sin A ? 2 2

(2014 海淀二模) 15.解:(Ⅰ)由正弦定理可得 因为 a ? 2 7 sin A, b ? 21 所以 sin B ?

a b ? sin A sin B

----------------------------2 分

b sin A 21sin A 3 ? ? a 2 2 7 sin A

---------------------------5 分

在锐角 ?ABC 中, B ? 60? (Ⅱ)由余弦定理可得 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B 又因为 a ? 3c

---------------------------7 分 ----------------------------9 分

所以 21 ? 9c2 ? c 2 ? 3c 2 ,即 c 2 ? 3 -------------------------------11 分 解得 c ? 3 -------------------------------12 分 经检验,由 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 ?1 ? ? 0 可得 A ? 90? ,不符合题意, 2bc 2 7

所以 c ? 3 舍去.--------------------13 分

(2015 西城二模)

(2013 丰台二模) 15.解:(Ⅰ)? 2sin 2 ( B ? C) ? 3sin 2 A.

?2sin 2 A ? 2 3 sin A cos A ,

……………………….2 分 ……………………….4 分 …………………….6 分
2 2 ?

?sin A ? 0,?sin A ? 3 cos A,?tan A ? 3 ,

? 0 ? A ? ? ,? A ? 60 °.
2

(Ⅱ)在 ?ABC 中,? BC ? AB ? AC ? 2 AB ? AC ? cos60 , BC ? 7, AC ? 5,

? 49 ? AB2 ? 25 ? 5 AB, ? AB2 ? 5 AB ? 24 ? 0,? AB ? 8 或 AB ? ?3 (舍),………….10 分

? S?ABC ?

1 1 3 AB ? AC ? sin 60? ? ? 5 ? 8 ? ? 10 3 . 2 2 2

…………………….13 分

(2014 延庆一模) 15.(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)? cos B ?

3 4 ,? sin B ? ……………………1 分 5 5

? sin A ? sin(B ? C ) ……………………2 分

? sin B cos C ? cos B sin C ……………………4 分
4 2 3 2 7 2 ……………………6 分 ? ? ? ? ? 5 2 5 2 10
(Ⅱ)?

b a ? ……………………8 分 sin B sin A

?

b 2 ? 4 7 2 , 5 10

?b ?
? S ?ABC ?

8 2 ……………………10 分 7

1 ab sin C ,……………………11 分 2

1 8 2 2 ? ? 2? ? 2 7 2
? 8 ………………………………13 分 7

(2015 顺义一模) 15.解:(I)在 ?ABC 中,因为 B ? A ? 所以 B ? A ?

?
2

, …….............................................................2 分

?
2

,即

?
2

? B ?? ,

所以 sin A ? sin ? B ?

? ?

??

?? ? ? ? ? sin ? ? B ? ? ? cos B 2? ?2 ?
2

..........................................4 分

? 6? 3 ? ? ? 1 ? sin B ? 1 ? ? ? ? ? 3 ? 3 ? ?

?

?

2

...........................................5 分

b sin A a b ? ? 由正弦定理, 得a ? sin A sin B sin B

3 2? 6 3

3 3 ? 3.

...........................7 分

(II)因为 B ? A ?

?
2

,即 B ? A ?

?
2

,

所以 B 为钝角, A 为锐角. 由(I)可知, sin A ?

3 , 3
2 2

? 3? 6 所以 cos A ? 1 ? sin A ? 1 ? ? . ? 3 ? ? ? 3 ? ?
又 sin B ?

...........................................9 分

6 3 , ,cos B ? ? 3 3

...........................................10 分 ...........................................11 分 ...........................................12 分

所以 cos C ? cos ? ?? ? ? A ? B ? ? ? ? ? cos ? A ? B ?

? ? cos A cos B ? sin A sin B ?? ? 6 ? 3? 3 6 ?? ? ? ? ? ? 3 ? 3 ? 3 ? 3

2 2 . 3
...........................................13 分

(2016 东城一模) (15)(本小题共 13 分) 解:(Ⅰ) Q

cos C ? cos ? ?? ? ? A ? B ? ? ? ? ? cos ? A ? B ? ?

2 2

? C ? 450 ……3 分

Q BC ? 2 2 , AC ? 2 ,
? AB2 ? AC2 ? BC2 ? 2 AC ? BC cos C ? (2 2)2 ? 22 ? 8 2 cos450 ? 4
? AB ? 2 ……7 分
(Ⅱ)由 f ( x) ? sin(2 x ? ) ?

? 4

3 , 2

解得 2 x ?

? ? ? 2? ? 2 k ? ? 或 2 x ? ? 2k ? ? ,k ?Z , 4 3 4 3 ? 5? 或 x2 ? k2 ? ? , k1 , k2 ? Z . 24 24

解得 x1 ? k1? ?

因为 x1 ? x2 ? (k1 ? k2 )? ? 所以 当 f ( x) ?

? ? ≥ ,当 k1 ? k2 时取等号, 6 6
…………13 分

? 3 时,相邻两交点间最小的距离为 . 6 2

(2015 延庆一模) 15. (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)? cos

?
2

?

2 5 , 5
…………………2 分

? cos ? ? 2cos2 ? ? 1 ? 2 ? ( 2 5 )2 ? 1 ? 3 2 5 5 ? AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos?
? 25 ? 4 ? 2 ? 5 ? 2 ?
? 17

3 5
……………………5 分 ……………………6 分

? AC ? 17
6 AB BC 2 ? ? ? ?4 5? ? 1 sin( ? ? ) sin 6 6 2 5? ? AB ? 4sin( ? ? ) , 6 5? 5? ? f (? ) ? 4sin( ? ? ) , ? ? (0, ) 6 6 5? 5? ? ? ? (0, ) , 6 6 5? ? ? ?当 ? ? ? 时,即 ? ? 时 6 2 3
(Ⅱ)? ?BAC ?

?

, ?ABC ? ? , ??BCA ?

5? ? ? ………………7 分 6
……………………9 分

……………………10 分

f (? ) 的最大值为 4
(2016 西城一模) 15.(本小题满分 13 分)

…………………………13 分

(1)解:因为 sin B ? 3sin C , 由正弦定理
a b c ,得 b ? 3c , ? ? sin A sin B sin C
π , a ? 7 ,得 7 ? b2 ? c 2 ? bc 3

由余弦定理 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A 及 A ?

b b2 所以 b2 ? ( )2 ? ? 7 ,解得 b ? 3 . 3 3 π 2π (2)解:由 A ? ,得 B ? ?C, 3 3
所以 sin( 即
2π ? C) ? 3sin C . 3

3 1 cos C ? sin C ? 3sin C , 2 2 3 5 cos C ? sin C , 2 2 3 . 5

所以

所以 tan C ?

(2014 朝阳二模) 15.(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)由 S ?ABC ? 所以 c ? 5 .
2 2 2 由 a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A 得, a ? 3 ? 5 ? 2 ? 3 ? 5 ? cos

1 bc sin A 得, S?ABC ? 1 ? 3 ? c sin ?? ? 15 3 . 2 2 3 4

?? ? 49 , 3

所以 a ? 7 .……………7 分

7 3 ? a b ? (Ⅱ)由 得, 3 sin B , sin A sin B 2
所以 sin B ?

3 3 . 14
71 .……………13 分 98

2 所以 cos 2 B ? 1 ? 2sin B ?

(2015 东城一模)

(2015 海淀二模) (15)(共 13 分) 解:(Ⅰ)因为 a ?

3 6 cos A , 2
………………3 分

所以 a ?

3 6 b2 ? c 2 ? a 2 ? . 2 2bc

因为 c ? 5 , b ? 2 6 ,
2 所以 3a ? 40a ? 49 ? 3 ? 0 .

解得: a ? 3 ,或 a ? ?

49 (舍). 3

………………6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得: cos A ?

2 6 . ?3 ? 3 3 6
1 . 3
………………9 分

2 所以 cos 2 A ? 2 cos A ? 1 ?

因为 a ? 3 , c ? 5 , b ? 2 6 ,

a 2 ? c 2 ? b2 1 ? . 所以 cos B ? 2ac 3
所以 cos 2 A ? cos B . 因为 c ? b ? a ,

………………11 分 ………………12 分

所以 A ? (0, ) . 因为 B ? (0, ?) , 所以 ?B ? 2?A . ………………13 分

? 3

另解:因为 A ? (0, ?) ,

所以 sin A ? 1 ? cos A ?
2

3 . 3

由正弦定理得:

2 6 3 ? . sin B 3 3

所以 sin B ?

2 2 . 3 3 6 2 2 ? ? ? sin B . 3 3 3
? 2
………………12 分

所以 sin 2 A ? 2 ? 因为 c ? b ? a ,

所以 A ? (0, ) , B ? (0, ) . 所以 ?B ? 2?A . (2014 顺义一模) ………………13 分

? 3



? 3 1 sin 2 A ? cos 2 A ? 1 ? sin(2 A ? ) ? 1 ————5 分 6 2 2

Q 0 ? A ? ? ,? ?
?

?
6

? 2A ?

?
6

?

? ? ———7 分 ? 由 sin(2 A ? ) ? 1 得 2 A ? ? ,? A ? 3 6 6 2

?

11? 6

(2015 石景山期末) 15.(本小题共 13 分) (Ⅰ)设 ?CED ? ? .在 ?CED 中,由余弦定理,得

CE 2 ? CD2 ? DE 2 ? 2CD ? DE ? cos ?CDE
得 CD2+CD-6=0,解得 CD=2(CD=-3 舍去). 在 ?CED 中,由正弦定理,得 sin ?CED ?

…………………2 分 …………………4 分

21 …………………6 分 7
…………………8 分

(0, ) (Ⅱ)由题设知 ? ? ,所以 cos ? ? 3
而 ?AEB ?

?

2 7 7

2? ? ? ,所以 3 2? 2? 2? ? ?) =cos cos ? ? sin sin ? 3 3 3

cos ?AEB ? cos (

1 3 1 2 7 3 21 7 . ………………11 分 = ? cos ? ? sin ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 7 2 7 14
在 Rt ?EAB 中, BE ?

2 ?4 7. cos ?AEB

…………………13 分

(2015 朝阳二模) 15. (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)在 中,因为 ,所以 .由正弦定理得:

,即



(Ⅱ)在 整理得

中,由余弦定理得: ,解得

, (舍负) .

过点 因为 在直角 即梯形

作 , 中,



,则

为梯形 ,所以 .

的高. .

的高为



(2015 丰台二模) 15.(本小题共 13 分) 解:(Ⅰ)因为 S ?BCD ?

1 BC ? CD ? sin ?BCD ? 4 , 2

所以 sin ?BCD ?

2 5 . 5

因为 ?BCD 为锐角, 所以 cos ?BCD ? 1 ? (

2 5 2 5 .………………6 分 ) ? 5 5
2 2

(Ⅱ)在 ?BCD 中,因为 DB ? CD ? BC ? 2CD ? BC ? cos?BCD ,
2

所以 DB ? 4 . 因为 DB ? CD ? BC ,
2 2 2

所以 ?CDB ? 90? . 所以 ?ACD 为直角三角形.
? 因为 A ? 30 ,所以 AC ? 2CD ? 4 ,即 AC ? 4 .………………13 分

(2016 海淀一模) 15.解:(Ⅰ) 在 ?ACD 中,由正弦定理,有 在 ?BCD 中,由正弦定理,有

AC AD ? …………………2 分 sin ?ADC sin ?

BC BD ? …………………4 分 sin ?BDC sin ?

因为 ?ADC ? ?BDC ? π ,所以 sin ?ADC ? sin ?BDC …………………6 分 因为

AD 1 AC sin ? ? , 所以 ? …………………7 分 DB 3 BC 3sin ?
π π ,? ? , 6 2

(Ⅱ)因为 ? ?

π AC sin 2 3 ? ? …………………9 分 由(Ⅰ)得 BC 3sin π 2 6
设 AC ? 2k , BC ? 3k , k ? 0 ,由余弦定理,

AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC ? cos ?ACB …………………11 分
代入,得到 19 ? 4k ? 9k ? 2 ? 2k ? 3k ? cos
2 2

2π , 3
…………………13 分

解得 k ? 1 ,所以 BC ? 3 .

(2015 房山一模) 15.(本小题共 13 分)

? 3 1 解:(Ⅰ)∵ f ( x) ? sin(2 x ? ) ? 2 cos2 x ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? cos 2 x ………………2 分 6 2 2
? 3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x = sin(2 x ? ) ………………3 分 2 2 6

由?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2k? (k ? Z)得, ?

?
3

? k? ? x ?

?
6

? k? (k ? Z) 5 分

∴ f ( x) 的单调递增区间是 [? (Ⅱ)∵ f ( A) ? sin(2 A ? 于是 2 A ? ∴ A?

?
3

? k? ,

?
6

? k? ](k ? Z)………………7 分

?
6

)?

1 ? ? ? , 0 ? A ? ? , ? 2 A ? ? 2? ? 2 6 6 6

?
6

?

5? 6

?
3

……………10 分

∵ ?ABC 外接圆的半径为 3 由正弦定理

a ? 2 R ,得 sin A

a ? 2 R sin A ? 2 3 ?

3 ? 3, 2

……………13 分

(2013 石景山一模) 15.(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ) f ( x ) ? sin(2 x ?

?
6

) ? cos 2 x

? sin 2 x cos

?
6

? cos 2 x sin

?
6

? cos 2 x

?

3 3 sin 2 x ? cos 2 x …………1 分 2 2 1 3 ? 3( sin 2 x ? cos 2 x) 2 2
? 3 sin(2 x ?
令?

?
3

) …………3 分

?
2

+2k? ? 2 x ?

?
3

?

?
2

+2k?

?

5? ? +k? ? x ? +k? …………5 分 12 12

函数 f ( x ) 的单调递增区间 ?

? ? 5? ? +k?, +k? ? (k ? Z ) . ? 12 ? 12 ?

…………6 分

(Ⅱ)由 f ( A) ?

? 1 3 , sin(2 A ? )= , 3 2 2
2 ? ? 5 ? ,所以 ? 2 A ? ? ? 3 3 3 3

因为 A 为 ?ABC 内角,由题意知 0 ? A ? 因此 2 A ?

5 ? ? ? ,解得 A ? .…………8 分 3 6 4 a b ? 由正弦定理 ,得 b ? 6 , sin A sin B
由A?

?

…………10 分

?
4

,由 B ?

?
3

,可得 sin C ?

6? 2 ,…………12 分 4
…………13 分

∴ s ? 1 ab sin C ? 1 ? 2 ? 6 ? 6 ? 2 ? 3 ? 3 .

2

2

4

2

(2013 朝阳二模) (15)(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)因为 f ( A) ? 2 cos

A A A A sin ? sin 2 ? cos 2 2 2 2 2 ? ? sin A ? cos A ? 2 sin( A ? ) . 4

因为 A 为三角形的内角,所以 0 ? A ? ? , 所以 ?

? ? ?? ? A? ? . 4 4 4

3? ? ? ? ,即 A ? 时, f ( A) 取得最大值,且最大值为 2 . ………6 分 4 4 2 ? ? (Ⅱ)由题意知 f ( A) ? 2 sin( A ? ) ? 0 ,所以 sin( A ? ) ? 0 . 4 4 ? ? ?? ? ? 又因为 ? ? A ? ? ,所以 A ? ? 0 ,所以 A ? . 4 4 4 4 4 ?? ? 又因为 C ? ,所以 B ? . 12 3 ? 6 ? sin a b a sin B 3 ?3. ? 由正弦定理 得, b ? …………13 分 ? ? sin A sin B sin A sin 4
所以当 A ? (2014 东城一模) 15.(共 13 分) a b sin A 3 cos B ? ? 解:⑴因为 , , sin A sin B a b 所以 sin B= 3 cos B , tan B = 3 . 因为 B ? (0 ,π) . π 所以 B = . 3 π ⑵因为 B = , 3 a 2 ? c 2 ? b2 1 ? , 所以 cos B ? 2ac 2 b ? 2 因为 , 所以 a 2 ? c2 =ac ? 4 ? 2ac , 所以 ac ? 4 (当且仅当 a ? c 时,等号成立), 1 所以 S△ ABC ? ac , sin B ? 3 , 2 所以 △ ABC 面积最大值为 3 . (2013 东城一模) (15)(共 13 分) 解:(Ⅰ)因为 b sin A ? 3a cos B , 由正弦定理可得 sin B sin A ? 3 sin A cos B , 因为在△ ABC 中, sin A ? 0 , 所以 tan B ? 3 . 又0 ? B ? ? , 所以 B ?

? . 3

(Ⅱ)由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B ,
2 2 2

因为 B ?

? ,b ? 2 3 , 3
2 2

所以12 ? a ? c ? ac . 因为 a ? c ? 2ac ,
2 2

所以 ac ? 12 . 当且仅当 a ? c ? 2 3 时, ac 取得最大值12 .

(2014 丰台二模)


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