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2015年大同一中高二第一学期期中考试数学试题


大同市口泉中学 2014——2015 高二第一学期 数学考试试题
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.方程 x= 1-4y2所表示的曲线是( ) A.双曲线的一部分 B.椭圆的一部分 C.圆的一部分 D.直线的一部分 2.若抛物线的准线方程为 x=-7,则抛物线的标准方程为( ) A.x2=-28y B.x2=28y C.y2=-28x D.y2=28x 2 2 x y 3.双曲线 2- 2=1 的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率是( ) a b 3 A.2 B. 3 C. 2 D. 2 → 1→ 4.已知点 A(4,1,3)、B(2,-5,1),C 为线段 AB 上一点,且AC= AB,则 C 点坐标为( ) 3 7 1 5? 8 ? A.? B.? ?2,-2,2? ?3,-3,2? 10 7? 5 7 3? C.? D.? ? 3 ,-1,3? ?2,-2,2? a 5.已知 a、b 为不等于 0 的实数,则 >1 是 a>b 的( ) b A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 6.已知灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处.已知灯口直径是 60 cm,灯深 40 cm,则光源到反光镜顶点的距离是( ) A.11.25 cm B.5.625 cm C.20 cm D.10 cm 2 2 y 2 7.已知椭圆 x + =a (a>0)与以 A(2,1),B(4,3)为端点的线段没有公共点,则 a 的取值 2 范围是( ) 3 2 3 2 82 A.0<a< B.0<a< 或 a> 2 2 2 1 3 2 82 C.0<a< D. < a< 3 2 2 x2 y2 8.P 是双曲线 - =1 的右支上一点,M、N 分别是圆(x+5)2+y2=4 和(x-5)2+y2=1 9 16 上的点,则|PM|-|PN|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D .9 9.下列四个结论中正确的个数为( ) ①命题“若 x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是“若 x>1 或 x<-1,则 x2>1”; ②已知 p:?x∈R,sin x≤1,q:若 a<b,则 am2<bm2,则 p∧q 为真命题; ③命题“?x∈R,x2-x>0”的否定是“?x∈R,x2-x≤0”; ④“x>2”是“x2>4”的必要不充分条件. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 10.

如图所示,已知 PD⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是正方形,PD=AB,M 是 PA 的中点, 则二面角 M—DC—A 的大小为( ) 2π π A. B. 3 3 π π C. D. 4 6 11.已知命题 P:函数 y=log0.5(x2+2x+a)的值域为 R;命题 Q:函数 y=-(5-2a)x 是 R 上的减函数.若 P 或 Q 为真命题,P 且 Q 为假命题,则实数 a 的取值范围是( ) A.a≤1 B.a<2 C.1<a<2 D.a≤1 或 a≥2 12.

→→ 三棱锥 A—BCD 中,AB=AC=2,∠BAD=90° ,∠BAC=60° ,则AB· CD等于( ) A.-2 B.2 C.-2 3 D.2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 题 号 答 案 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) → → 13.已知点 A(1,2,3)和点 B(3,2,1),若点 M 满足AM=MB,则 M 的坐标为__________. 14. 在平面直角坐标系 xOy 中, 若抛物线 y2=4x 上的点 P 到该抛物线的焦点的距离为 6, 则点 P 的横坐标 x=________. x2 y2 → 15.已知 F1、F2 是椭圆 C: 2+ 2=1 (a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆 C 上一点,且PF1⊥ a b → PF2.若△PF1F2 的面积为 9,则 b=________. → 16.正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,点 E、F 分别是底面 A1C1 和侧面 CD1 的中心,若EF+ → λA1D=0 (λ∈R),则 λ=________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)已知 p:x2-12x+20<0,q:x2-2x+1-a2>0 (a>0).若綈 q 是綈 p 的充分条 件,求 a 的取值范围.

18.(12 分)

如图,M 是抛物线 y2=x 上的一个定点,动弦 ME、MF 分别与 x 轴交于不同的点 A、B, 且|MA|=|MB|.证明:直线 EF 的斜率为定值.

→ → →→ 19.(12 分)已知两点 M(-1,0)、N(1,0),动点 P(x,y)满足|MN|· |NP|-MN· MP=0, (1)求点 P 的轨迹 C 的方程;

1 → → (2)假设 P1、 P2 是轨迹 C 上的两个不同点, F(1,0), λ∈R, FP1=λFP2, 求证:

FP1

?

1 FP 2

?1

20.(12 分)

如图所示,已知直线 l:y=kx-2 与抛物线 C:x2=-2py (p>0)交于 A,B 两点,O 为坐 → → 标原点,OA+OB=(-4,-12). (1)求直线 l 和抛物线 C 的方程; (2)抛物线上一动点 P 从 A 到 B 运动时,求△ABP 面积的最大值.

21.(12 分)命题 p:关于 x 的不等式 x2+2ax+4>0,对一切 x∈R 恒成立,命题 q:指数函 数 f(x)=(3-2a)x 是增函数,若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 a 的取值范围.

22.(12 分)

如图,正方形 ACDE 所在的平面与平面 ABC 垂直,AD 与 CE 的点为 M,AC⊥BC,且 AC=BC. (1)求证:AM⊥平面 EBC; (2)求二面角 A—EB—C 的大小.

模块综合检测(C)
1.B [x= 1-4y ,∴x +4y =1 (x≥0). y2 即 x2+ =1 (x≥0).] 1 4 2.D b2 3.C [由已知, 2=1,∴a=b,∴c2=2a2, a c 2a ∴e= = = 2.] a a → 4.C [设 C(x,y,z),则AC=(x-4,y-1,z-3). → → 1→ 又AB=(-2,-6,-2),AC= AB, 3 1 ∴(x-4,y-1,z-3)= (-2,-6,-2), 3 10 7 10 7 ,-1, ?.] 得 x= ,y=-1,z= .∴C? 3? ?3 3 3 a 5.D [如取 a=-3,b=-2,满足 >1,但不满足 a>b.反过来取 a=1,b=-5,满足 b a a>b,但不满足 >1,故答案为 D.] b 6.B [设抛物线的标准方程为 y2=2px (p>0), 45 则抛物线过点(40,30),∴900=80p,∴p= , 4 p 45 ∴光源到反光镜顶点的距离 d= = 2 8 =5.625 (cm).] 1 3 2 7.B [分两种情况:(1)A 点在椭圆外,4+ >a2,解得 0<a< ;(2)B 点在椭圆内,16 2 2 9 82 + <a2,解得 a> .] 2 2 8.D [设双曲线的两个焦点分别是 F1(-5,0)与 F2(5,0),则这两点正好是两圆的圆心, 当且仅当点 P 与 M、F1 三点共线以及 P 与 N、F2 三点共线时所求的值最大,此时|PM| -|PN|=(|PF1|+2)-(|PF2|-1)=6+3=9.] 9.B [只有③中结论正确.] 10.C [二面角 M—DC—A 的平面角为∠MDA.] 11.C [由函数 y=log0.5(x2+2x+a)的值域为 R 知:内层函数 u(x)=x2+2x+a 恰好取遍 (0,+∞)内的所有实数?Δ=4-4a≥0?a≤1;即 P?a≤1;同样由 y=-(5-2a)x 是减函数 ?5-2a>1,即 Q?a<2;由 P 或 Q 为真,P 且 Q 为假知,P 与 Q 中必有一真一假.故 答案为 C.] 12.A 13.(2,2,2) 14.5 解析 抛物线 y2=4x 的准线方程为 x=-1,根据抛物线的定义,点 P 到准线的距离也 为 6,所以点 P 的横坐标 x=5. 15.3
2 2 2

? ?|PF1|+|PF2|=2a 解析 由已知,得? , ?|PF1|· |PF2|=18 ? ∴|PF1|2+|PF2|2+36=4a2. 又|PF1|2+|PF2|2=4c2, ∴4a2-4c2=36,∴b=3. 1 16.- 2

解析 如图,连结 A1C1,C1D,则 E 在 A1C1 上,F 在 C1D 上易知 1 EF 綊 A1D, 2 → 1→ ∴EF= A1D, 2 1 → 1→ 即EF- A1D=0,∴λ=- . 2 2 17.解 p:{x|2<x<10},q:{x|x<1-a,或 x>1+a}. 由綈 q?綈 p,得 p?q,于是 1+a<2, ∴0<a<1. 18.解 设 M(y2 0,y0),直线 ME 的斜率为 k(k>0), 则直线 MF 的斜率为-k,直线 ME 的方程为 y-y0=k(x-y2 0). 2 ? ?y-y0=k?x-y0? 由? 2 ?y =x ? 得 ky2-y+y0(1-ky0)=0. y0?1-ky0? 于是 y0· yE= , k 1-ky0 1+ky0 所以 yE= .同理可得 yF= . k -k yE-yF yE-yF 1 1 ∴kEF= = =- , 2= 2 y0 xE-xF y2 - y y + y E F E F 即直线 EF 的斜率为定值. → → 19.解 (1)| MN |=2,则MP=(x+1,y), → NP=(x-1,y). → |NP → →→ 由| MN |· |- MN · MP=0, 则 2 ?x-1?2+y2-2(x+1)=0, 化简整理得 y2=4x. → → (2)由FP1=λ· FP2,得 F、P1、P2 三点共线, 设 P1(x1,y1)、P2(x2,y2),斜率存在时,直线 P1P2 的方程为:y=k(x-1) 代入 y2=4x 得:k2x2-2(k2+2)x+k2=0. 2k2+4 则 x1x2=1,x1+x2= 2 . k

∴ =

1 1 = + x1+1 x2+1

x1+x2+2 =1. x1x2+?x1+x2?+1 当 P1P2 垂直 x 轴时,结论照样成立. ? ?y=kx-2, 20.解 (1)由? 2 得 x2+2pkx-4p=0. ?x =-2py, ? 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=-2pk, y1+y2=k(x1+x2)-4=-2pk2-4. → → 因为OA+OB=(x1+x2,y1+y2) =(-2pk,-2pk2-4)=(-4,-12), ? ? ?-2pk=-4, ?p=1, 所以? 解得? 2 ?-2pk -4=-12. ?k=2. ? ? 所以 l 的方程为 y=2x-2,抛物线 C 的方程为 x2=-2y. (2)设 P(x0,y0),依题意,抛物线过点 P 的切线与 l 平行时,△ABP 的面积最大,y′= -x, 1 所以-x0=2?x0=-2,y0=- x2 =-2, 2 0 所以 P(-2,-2). 此时点 P 到直线 l 的距离 |2· ?-2?-?-2?-2| 4 4 5 d= = = , 5 5 22+?-1?2
?y=2x-2, ? 由? 2 ?x =-2y, ?

得 x2+4x-4=0,

|AB|= 1+k2· ?x1+x2?2-4x1· x2 2 2 = 1+2 · ?-4? -4×?-4?=4 10. 4 5 4 10· 5 ∴△ABP 面积的最大值为 =8 2. 2 21.解 设 g(x)=x2+2ax+4,由于关于 x 的不等式 x2+2ax+4>0 对一切 x∈R 恒成立, 所以函数 g(x)的图象开口向上且与 x 轴没有交点, 故 Δ=4a2-16<0, ∴-2<a<2. 函数 f(x)=(3-2a)x 是增函数,则有 3-2a>1,即 a<1. 又由于 p 或 q 为真,p 且 q 为假,可知 p 和 q 一真一假. ? ?-2<a<2, (1)若 p 真 q 假,则? ∴1≤a<2. ?a≥1, ?
? ?a≤-2或a≥2, (2)若 p 假 q 真,则? ∴a≤-2. ?a<1, ? 综上可知,所求实数 a 的取值范围为{a|1≤a<2 或 a≤-2}. 22.(1)证明 ∵四边形 ACDE 是正方形, ∴EA⊥AC,AM⊥EC, ∵平面 ACDE⊥平面 ABC, ∴EA⊥平面 ABC,

∴可以以点 A 为原点,以过 A 点平行于 BC 的直线为 x 轴,分别以直线 AC 和 AE 为 y 轴和 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz. 设 EA=AC=BC=2,则 A(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,0,2), 又 M 是正方形 ACDE 的对角线的交点, → ∴M(0,1,1),AM=(0,1,1), → EC=(0,2,0)-(0,0,2)=(0,2,-2), → CB=(2,2,0)-(0,2,0)=(2,0,0), →→ →→ ∴AM· EC=0,AM· CB=0, ∴AM⊥EC,AM⊥CB,∴AM⊥平面 EBC. (2)解 设平面 EAB 的法向量为 n=(x,y,z), → → 则 n⊥AE且 n⊥AB, → → ∴n· AE=0 且 n· AB=0. ? ? ?x,y,z?=0, ??0,0,2?· ?z=0, ∴? 即? ??2,2,0?· ?x+y=0. ?x,y,z?=0. ? ? 取 y=-1,则 x=1,则 n=(1,-1,0).

→ → → 又∵AM为平面 EBC 的一个法向量,且AM=(0,1,1),∴cos〈n,AM〉= 1 =- , 2 设二面角 A—EB—C 的平面角为 θ, 1 → 则 cos θ=|cos〈n,AM〉|= , 2 ∴二面角 A—EB—C 为 60° .


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