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河北省衡水中学11-12学年高一上学期期末考试(数学文)

2011—2012 学年度第一学期期末考试 高一年级数学试卷(文科)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

注意事项:1.答卷Ⅰ前,考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2.答卷Ⅰ时,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。 一、选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的 序号填涂在答题卡上)
? ? ? ? 1.已知集合 A ? x ? Z x ?1 ? 1 , B ? y y ? 2x ,则集合 A∩B 的元素个数( )

A0

B2

C5

D8

2.已知定义在 R 上的函数 f(x)关于直线 x=1 对称,若 f(x)=x(1-x)(x≥1),则 f(-2)=( )

A0

B -2

C -6

D -12

3.设函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞, 4?上是减函数,则实数 a 的范围是( )

A a≥-3

B a≤-3

C a≥3

4. 一个几何体的三视图如右图所示(单位长度: cm ),
则此几何体的体积是( )

A 112 cm3 C 96 cm3

B 224 cm3 3
D 224 cm3

D a≤5

5.若 a、b是任意实数,且a ? b ,则下列不等式成立的是( )

A a2 ? b2

B b ?1 a

C lg(a ? b) ? 0

D (1)a ? (1)b 33

6.过点(2,1)且在 x 轴、y 轴截距相等的直线方程为( )

A x ? y ?3?0

B x ? y ?3?0或 x ? y ?1?0

C x ? y ?3?0或 y ? 1 x 2

D x ? y ?1?0或 y ? 1 x 2

7.已知点 A(-3,-4),B(6,3)到直线 l :ax ? y ? 1 ? 0 的距离相等,则 a 的值( )

A ?7 9

B ?1 3

C ? 7 或?1 93

D ?7或1 9

8.在正三棱锥 A ? BCD 中, E, F 分别是 AB, BC 的中点, EF ? DE 且 BC ? 2 ,若此正三棱

锥的四个顶点都在球 O 的面上,则球 O 的体积是( )

A 3? 6

B 3? 2

C 3? 3

D 3 3?

9.如果实数 x、y 满足 x 2 ? y 2 ? 6x ? 8 ? 0 ,那么 y 最大值是( ) x ?1

A3

B3

C1

3

D3 2

10. 圆 C 1 : x 2 ? y 2 ? 2x ? 4y ? 1 ? 0 与 圆 C 2 : x 2 ? y 2 ? 4x ? 4y ? 1 ? 0 的 公 切 线 有 几 条 ()

A 1条

B 2条

C 3条

D 4条

11.函数 f (x ) ? x 2 ? 2x ? 2 ? x 2 ? 4x ? 8 的最小值为(

)

A2

B3 2

C 10

D 2?2

12.已知直线 x ? y ? 1 ( a, b 是非零常数)与圆 x 2 ? y 2 ? 1 有公共点,且公共点的横坐标 ab

和纵坐标均为整数,那么这样的直线共有( )

A 4条

B6条

C0条

D 10 条

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题(每题5分,共20分。把答案填在答题纸的横线上)
13. 若直线 mx ? y ? 5 ? 0 与直线 (2m ?1)x ? my ? 6 ? 0互相垂直,则实数 m =_____ 14.已知点 P(x, y) 是直线 kx ? y ? 4 ? 0(k ? 0) 上一动点,PA、PB 是圆 C : x2 ? y2 ? 2 y ? 0 的
两条切线,A、B 是切点,若四边形 PACB 的最小面积是 2,则 k 的值为
15.如果直线 l : y ? kx ? 5与圆x2 ? y2 ? 2x ? my ? 4 ? 0 交于 M、N 两点,且 M、N 关于直线

2x ? y ? 0 对称,则 k+m=



16.函数 f (x ) 的定义域为 A,若 x 1, x 2 ? A 且 f (x 1 ) ? f (x 2 ) 时总有 x 1 ? x 2 ,则称 f (x ) 为单 函数.例如,函数 f (x ) =2x+1( x?R )是单函数.下列命题:
①函数 f (x ) ? x 2 (x?R)是单函数; ②若 f (x ) 为单函数, x 1, x 2 ? A 且 x 1 ? x 2 ,则 f (x 1 ) ? f (x 2 ) ; ③若 f:A→B 为单函数,则对于任意 b?B ,它至多有一个原象;

④函数 f (x ) 在某区间上具有单调性,则 f (x ) 一定是单函数. 其中的真命题是_________.(写出所有真命题的编号) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出证明过程或演算步骤,写在答题纸的相
应位置)
? ? 17. (本小题满分 10 分)已知不等式 x2 ? 3x ? t ? 0 的解集为 x1 ? x ? m, x ? R
(1)求t 、 m 的值; (2) 若 函 数 f (x) ? ?x 2 ? ax ? 4 在 区 间 (??,1] 上 递 增 , 求 关 于 x 的 不 等 式
log a (?mx 2 ? 3x ? 2 ? t) ? 0 的解集。

18.本小题满分 12 分)如图(1),边长为 2 的正方形 ABEF 中,D,C 分别为 EF, AF 上的点,

且 ED ? CF , 现 沿 DC 把 ?CDF 剪 切 、 拼 接 成 如 图 ( 2 ) 的 图 形 , 再 将

?BEC, ?CDF, ?ABD沿 BC,CD, BD 折起,使 E, F, A 三点重合于点 A ? 。

(1)求证: BA ? ?CD ;

(2)求四面体 B ? A ?CD 体积的最大值。

B

B

B

A

E

D

C

图(1) F

A

E

C (D)

D(C)

F 图(2)

A?

C

D

图(3)

19. (本小题满分 12 分)已知 ?ABC 的顶点 A(0, 1) , AB 边上的中线 CD 所在的直线方程 为 2x ? 2y ?1 ? 0 , AC 边上的高 BH 所在直线的方程为 y ? 0 . (1)求 ?ABC 的顶点 B 、 C 的坐标; (2)若圆 M 经过 A 、 B 且与直线 x ? y ? 3 ? 0 相切于点 P (-3,0),求圆 M 的方程.

20.(本小题满分 12 分)已知圆 C 的圆心为原点,且与直线 x ? y ? 4 2 ? 0 相切。

(1)求圆 C 的方程;

y

(2)点 P 在直线 x ? 8 上,过 P 点引圆 C 的两条切线 PA, PB ,切点为

A

P

A, B ,求证:直线 AB 恒过定点。

O

x

B

21.(本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,PD=AD,∠DAB=60°, PD ⊥底面 ABCD.
(1)求证 AC ? PB;
(2)求 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值。
22.(本小题满分 12 分) 过圆 C : (x ? 6)2 ? ( y ? 4)2 ? 8 上一点 A(4,6)作圆的一条动弦 AB,
点 P 为弦 AB 的中点. (Ⅰ)求点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设点 P 关于 x=1 的对称点为 E,关于 y=x 的对称点为 F,求|EF|的取值范围.

1—5 BDBBD 6—10 CCBBC 11—12 CA

13.1 或 0 14.2

15. (文) 9 (理)4. 2

16. ②③

? ? 17.解

(1)因为不等式 x2

? 3x ? t

? 0 的解集为

x1 ? x ? m, x ? R

,所以

?1 ? m ??m ? t

?

3



解得 m=2,t=2 (4 分)
(2) 因 为 f (x) ? ?x 2 ? ax ? 4 在 区 间 ( ? ?,1] 上 递 增 , 所 以 a ? 1 ? a ? 2 , 又 2
l o ga (?mx 2 ? 3x ? 2 ? t) ? l o ga (?2x 2 ? 3x) ? 0 , 由 a ? 2 ? 0 ? ?2x2 ? 3x ? 1 , 解 得

??x ?

0

?

x

?

1 2

或1

?

x

?

3? 2 ??

(10 分)

18.(1)证明:折叠前, BE ? EC, BA ? AD ,折叠后 BA? ? A?C, BA? ? A?D

又 A?C ? A?D ? A? ,所以 BA? ? 平面 A?CD ,因此 BA? ? CD 。 (4 分)

(2)解:设 A?C

? x ?0 ? x ? 2? ,则 A?D ? 2 ? x 。因此 S

A?CD

?

1 2

x?2? x?,

(8 分)

?VB ? A?CD

?

1 BA?? S 3

A?CD

?

1?2? 1 32

x?2? x?

?

1 3

???

?

x

?

1?2

? 1??

所以当 x ?1时,四面体 B ? A?CD 体积的最大值为 1 。 (12 分) 3

19.解:(1) AC 边上的高 BH 所在直线的方程为 y ? 0 ,所以, AC : x ? 0 ,

又 CD : 2x ? 2y ?1 ? 0 ,所以, C(0,? 1 ) ,设 B(b, 0),则 AB 的中点 D(b , 1 ) ,代入方程

2

22

2x ? 2y ?1 ? 0 ,解得 b ? 2 ,所以 B(2, 0) . (4 分)

(2)由 A(0, 1) , B(2, 0) 可得,圆 M 的弦 AB 的中垂线方程为 4x ? 2y ? 3 ? 0 ,①
由与 x-y+3=0 相切,切点为(-3,0)可得,圆心所在直线为 y+x+3=0,②
① ②联立可得, M (? 1 , ? 5) , (8 分) 22
半径 MA ? 1 ? 49 ? 50 ,所以所求圆方程为 x2 ? y2 ? x ? 5y ? 6 ? 0 。 (12 分) 44 2

20.解:(1)依题意得:圆 C 的半径 r ? 4 2 ? 4 ,所以圆 C 的方程为 x2 ? y2 ? 16 。(4 分) 1?1
(2) PA, PB 是圆 C 的两条切线,?OA ? AP,OB ? BP 。? A, B 在以 OP 为直径的圆上。

设点

P

的坐标为

?8,

b?

,

b

?

R

,则线段

OP

的中点坐标为

? ??

4,

b 2

? ??



?以 OP

为直径的圆方程为 ? x

?

4?2

?

? ??

y

?

b 2

2
? ??

?

42

?

? ??

b 2

2
? ??

,b?

R

(8

分)

化 简 得 : x2 ? y2 ? 8x ? by ? 0,b ? R AB 为 两 圆 的 公 共 弦 , ? 直 线 AB 的 方 程 为

8x ? by ? 16,b ? R

所以直线 AB 恒过定点 ?2, 0? 。(12 分)

21. ( 文 )( 1 ) ? 底 面 ABCD 为 菱 形 , ? AC ? BD , ? PD ⊥ 底 面 ABCD,? AC ? PD,?PD? BD ? D ? AC ? 平面PDB,? AC ? PB(4 分)
( 2 ) 设 PD=AD=1, 设 A 到 平 面 PBC 的 距 离 为 h , 则 由 题 意

PA=PB=PC=

2

, S ?ABC

?

1? 2

3?1 ? 2

3 4

在等腰 ? PBC

中,可求 S ?PBC

?

1 ?1? 2

(

2)2 ? (1 )2 ? 2

7 4

?VA?PBC

?

VP?

ABC

,?

1 3

?

h

?

7 ? 1 ?1? 43

3 ,可得 h= 4

21 , 7

21

?sin? ? h ? 7 ? 42 PA 2 14

(12 分)

(理) (1)过 P 作 BC 的平行线 L 即为所求。 (2 分)因为 BC∥AD,BC ? 面PAD, AD ? 面PAD,

所以 BC∥平面 PAD,因为平面 PAD ? 平面 PBC=L,所以 BC∥L (5 分)

(2) 设 PD=AD=1,由题意可知,PA=PB=PC= 2 ,取 BC 中点 M,连 PM、DM,则 PM⊥BC,因为 PD⊥

3

BC,

又 BC∥L,所以 ?DPM 为所求。 (8 分)在 Rt ?PDM 中,tan ?DPM

?

DM PD

?

2 1

?

3 (12 2

分)

22. (1)连结 PC,由垂径分弦定理知,PC⊥AB,所以点 P 的轨迹是以线段 AC 为直径的圆(除

AC 去点 A).因为点 A(4,6),C(6,4),则其中点 C1 坐标为(5,5),又圆半径 r ? 2 ? 2 .

故点 P 的轨迹方程是 (x ? 5)2 ? ( y ? 5)2 ? 2 (x≠4,y≠6).(4 分)

(2)设点 P(x0 , y0 ) ,因为点 P、E 关于 x=1 对称,,则点 E(2 ? x0 , y0 )

因为 P、F 关于 y=x 对称,则点 F ( y0 , x0 ) (6 分)

所以 EF ? (2 ? x0 ? y0 )2 ? ( y0 ? x0 )2 ? 2 (x0 ?1)2 ? ( y0 ?1)2 设点 M(1,1),则 EF ? 2 | PM | . MC1 ? r ? PM ? MC1 ? r 即 3 2 ? PM ? 5 2 ,所以 6 ? EF ? 10 (12 分)