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数列求和方法及典型例题


数列求和方法及典型例题
1.基本 数列的前 n 项和

? n(a1 ? a n ) ? 2 ? 1 ? ⑴ 等差数列 ?a n ?的前 n 项和: Sn ? ?na1 ? n( n ? 1)d 2 ? 2 a ? n ? b?n ? ? ?
⑵ 等比数列 ?a n ?的前 n 项和 Sn : ①当 q ? 1 时, Sn ? na1 ;②当 q ? 1 时, S n ?

a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ; ? 1? q 1? q

2. 数列求和的常用方法:公式法;性质法;拆项分组法;裂项相消法;错位相减法;倒序相加法. 题型一 公式法、性质法求和 1.已知 S n 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和,公比 q ? 2, S99 ? 7 ,则 a3 ? a6 ? a9 ? ? ? a99 ?

1 ,且 a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a99 ? 60 ,则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a100 ? 2 1 1 1 1 2 , 3 , ?, ( n ? n ), ? 的前 n 项和 Sn . [例 1]求数列 1 , 2 4 8 2
2.等差数列 ?an ? 中,公差 d ? 题型二 拆项分组法求和

.

? ? (1)求数列 ? a ?的通项公式;(2)设数列 ?a ?的前 n 项和为 S ,求 S 。
[练 2]在数列 an 中,已知 a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈ N .
n
n
?

n

n

[练].求数列 (2n ? 1) 的前 n 项和 Sn .
2

?

?

[例].求和:

1 1 1 1 ? ? ??? . 1? 2 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1)

题型三 裂项相消法求和 [例].求和:

1 1 1 1 ? ? ??? . 2 ?1 3? 2 4? 3 n ?1 ? n

[例]求和: 1 ?

1 1 1 ? ??? 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3??? n

[练 4]已知数列 ?an ?满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1 n ? N

?

*

?

(1) 求数列 ?an ?的通项公式。 (2) 若数列 ?bn ?满足 4b1 ?1 ? 42b2 ?1 ? 43b3 ?1 ? ? ? 4nbn ?1 ? ?an ? 1? , 求数列 ?bn ?的通项公式。 (3)
n

若 cn ?

2n ,求数列 ?cn ?的前 n 项和 Sn 。 an an?1

题型四 错位相减法求和 [例].设数列 ?a n ?为 1? 2,2 ? 22 ,3 ? 23 ,4 ? 23 ??n ? 2n ? ?x ? 0? 求此数列前 n 项的和 n - [例].设数列{an}满足 a1+3a2+32a3+…+3n 1an= ,n∈N*. 3 n (1)求数列{an}的通项公式;(2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. an [练 1]已知数列 { a n } 、 { bn } 满足 a1 ? 1 , a2 ? 3 , (1)求数列 { bn } 的通项公式; (2)数列 { cn } 满足 cn ? bn ? log2 (an ? 1) (n ? N ) ,求 Sn ? c1 ? c2 ? ...... ? cn 。
*
王新敞
奎屯 新疆

bn ?1 ? 2 (n ? N * ) , bn ? an?1 ? an 。 bn

2 2 2 2 [练 4]等比数列 ?an ?中,已知对任意自然数 n, a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ?an ? 2n ?1 ,求 a1 的值 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? an

A. 2n ?1

?

?

2

B.

1 n 2 ?1 3

?

?

C.4n ? 1

D.

1 n 4 ?1 3

?

?


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