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数学人教A选修11第二章 圆锥曲线与方程单元检测(附答案)


数学人教 A 选修 1-1 第二章
一、选择题 1.抛物线 y =

圆锥曲线与方程单元检测

1 2 x 的焦点坐标是( 4
B.(1,0)

) C. ? ?

A. ?

?1 ? ,0? ? 16 ?

? 1 ? ,0? ? 16 ?

D.(0,1)

2.已知椭圆与双曲线

x2 y 2 1 ? =1 有共同的焦点,且离心率为 ,则椭圆的标准方程为( 3 2 5
B.

)

A.

x2 y 2 ? =1 20 25

x2 y 2 ? =1 25 20

C.

x2 y 2 ? =1 25 5

D.

x2 y2 ? =1 5 25
)

3.已知椭圆 A. y = ?

x2 y 2 x2 y2 ? =1的右焦点是双曲线 2 ? =1 的右顶点,则双曲线的渐近线为( 25 9 a 9
4 x 5
B. y = ?

3 x 5

C. y = ?

3 x 4

D. y = ? )

4 x 3

4.对任意实数 θ,则方程 x2+y2sin θ=4 所表示的曲线不可能是( A.椭圆 5.以椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆

x2 y2 x2 y 2 ? =1 的右焦点为圆心,且与双曲线 ? =1 的渐近线相切的圆方程是( 169 144 9 16

)

A.x2+y2-10x+9=0 B.x2+y2-10x-9=0 C.x2+y2+10x+9=0 D.x2+y2+10x-9=0 6.双曲线

x2 y 2 ? =1 (mn≠0)离心率为 2,其中一个焦点与抛物线 y2=4x 的焦点重合,则 mn 的值为 m n
B.

A.

3 16

3 8

C.

16 3

D.

8 3

7. 已知 P 是双曲线

x2 y2 ? =1 (a>0, b>0)右支上一点, F1, F2 是双曲线的左、 右焦点, I 为△PF1F2 a 2 b2
1 S?IF1F2 成立,则双曲线的离心率为( 2
C.2 D. )

的内心,若 S ?IPF1 =S ?IPF2 ? A.4 B.

5 2

5 3

8.已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,F 关于原点的对称点为 P,过 F 作 x 轴的垂线交抛物线于 M,N 两点,有下列四个命题:①△PMN 必为直角三角形;②△PMN 必为等边三角形;③直线 PM 必与抛物线相切;④直线 PM 必与抛物线相交,其中正确的命题是( A.①③ 二、填空题 B.①④ C.②③ D.②④ )

x2 y2 9.已知双曲线 2 ? 2 =1 (a>0,b>0)上有一点 P,若满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则此双 a b
曲线的离心率是__________.
1

y2 10.若双曲线 x ? 2 =1 (a>0)的一条渐近线为 y=4x,则过抛物线 y2=ax 的焦点且垂直于 x 轴的弦 a
2

AB,与抛物线的顶点组成的三角形的面积为__________.

x2 y2 ? =1 内有一点 P(2,1) ,则经过 P 并且以 P 为中点的弦所在直线方程为 11 .椭圆 E : 16 4
__________________. 三、解答题 12.一个椭圆,其中心在原点,焦点在同一坐标轴上,焦距为 2 13 .一双曲线和这椭圆有公共焦点, 且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小 4,双曲线离心率与椭圆离心率之比为 7∶3,求椭圆 和双曲线的方程.

x2 y 2 6 13.已知椭圆 G: 2 ? 2 =1 (a>b>0)的离心率为 ,右焦点为( 2 2 ,0).斜率为 1 的直线 l 与 a b 3
椭圆 G 交于 A,B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(-3,2). (1)求椭圆 G 的方程; (2)求△PAB 的面积.

14.已知椭圆 C1:

x2 ? y 2 =1 ,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率. 4

(1)求椭圆 C2 的方程; (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, OB ? 2OA ,求直线 AB 的方程.

2

参考答案
1 答案:D 解析:方程 y ? 焦点坐标为(0,1). 2 答案:B 解析:由已知椭圆的焦点为( ? 5 ,0),∴ c= 5 . 又∵椭圆的离心率为

1 2 p x 化为标准方程为 x2=4y,其焦点在 y 轴正半轴上,且 =1 ,所以 4 2

1 c 1 ,∴ = . a 5 5

∴a=5.∴b2=a2-c2=20.

x2 y 2 ? =1. ∴所求椭圆的标准方程为 25 20
3 答案:C 解析:由已知双曲线的右顶点是(4,0), ∴a2=16.∴双曲线的渐近线为 y = ?

3 x. 4

4 答案:C 解析:当 0<sin θ<1 时,方程表示椭圆;当-1≤sin θ<0 时,方程表示双曲线;当 sin θ=0 时,方程表示两条直线;当 sin θ=1 时,方程表示圆. 5 答案:A 解析:椭圆右焦点 F(5,0),双曲线渐近线方程为 y = ? 为 4,所以圆的方程为(x-5)2+y2=16,即 x2+y2-10x+9=0. 6 答案: A 解析: 抛物线 y2=4x 的焦点为(1,0), ∴m+n=1 且

4 4 x ,则焦点 F 到 y = x 的距离 3 3

n 2 1 3 =e ? 1=3 , 解得 m = ,n = . ∴ m 4 4

mn=

3 ,故选 A. 16 1 1 1 |PF1|r= |PF2|r+ |F1F2|r.∴|PF1| 2 2 4

7 答案:C 解析:设△PF1F2 的内切圆半径为 r,则由已知得 -|PF2|=

1 c |F1F2|,即 2a=c,∴e= =2. 2 a ?p ? ? p ? ?p ? ?p ? 8 答案:A 解析:由已知得 F ? , 0 ? ,P ? ? , 0 ? ,M ? , p ? ,N ? , ? p ? ,则 F 为 MN 的中点, ?2 ? ? 2 ? ?2 ? ?2 ? 1 且|PF|= |MN|, 2 p ∴△PMN 为直角三角形,易得|PM|≠|MN|,故①正确,②不正确;直线 PM 的方程为 y=x+ ,与 2
抛物线 y2=2px 联立消去 x,得 y2-2py+p2=0,Δ=0, ∴直线 PM 与抛物线相切,故③正确,④不正确. 9 答案:

3 2

解析:由已知设|PF1|=4k,|F1F2|=3k,|PF2|=2k,

则 2a=|PF1|-|PF2|=2k,2c=|F1F2|=3k, ∴离心率 e=

2c 3k 3 = = . 2a 2k 2
2

10 答案:2 解析:由双曲线 x ? |AB|=4.∴S=

y2 ? 1得其渐近线为 y=± ax,∴a=4.∴抛物线方程为 y2=4x.∴ a2

1 ×1×4=2. 2

11 答案:x+2y-4=0 解析:设所求直线与椭圆相交于 A(x1,y1),B(x2,y2), 则

x12 y12 x2 y2 ? =1 , 2 ? 2 =1 . 16 4 16 4
3

? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? =0 . 16 4 y ? y2 1 又 x1+x2=4,y1+y2=2,∴kAB= 1 =? . x1 ? x2 2 1 因此所求直线方程为 y-1=- (x-2), 2
两式相减得 即 x+2y-4=0. 12 答案:解:①焦点在 x 轴上,椭圆为 4,∵

x2 y 2 x2 y 2 ? =1 ? =1 ,m=a- ,且 ,设双曲线为 c = 13 a 2 b2 m2 n 2

e双 7 = ,易得 a=7,m=3.∵椭圆和双曲线的焦距为 2 13 ,∴b2=36,n2=4.∴椭圆方程为 e椭 3

x2 y 2 x2 y 2 ? =1 ,双曲线方程为 ? =1 . 9 4 49 36 x2 y 2 y 2 x2 ? =1,双曲线方程为 ? =1 . ②焦点在 y 轴上,椭圆方程为 36 49 9 4 c 6 13 答案:解:由已知得, c =2 2 , = .解得 a=2 3 . a 3 x2 y2 ? =1 . 又 b2=a2-c2=4,所以椭圆 G 的方程为 12 4
答案:解:设直线 l 的方程为 y=x+m.

? y =x ? m, ? 由 ? x2 y 2 得 4x2+6mx+3m2-12=0.① ? ? =1 ?12 4
设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1<x2),AB 中点为 E(x0,y0), 则 x0 =

x1 ? x2 3m m =? ,y0=x0+m= . 2 4 4

因为 AB 是等腰△PAB 的底边,所以 PE⊥AB.

m 4 = ? 1 .解得 m=2. 所以 PE 的斜率 k = 3m ?3 ? 4 2?

此时方程①为 4x2+12x=0.解得 x1=-3,x2=0. 所以 y1 =- 1 , y2 = 2 .所以 |AB| = 3 2 .此时,点 P( - 3,2) 到直线 AB : x - y + 2 = 0 的距离为

d=

1 9 | ?3 ? 2 ? 2 | 3 2 ,所以△PAB 的面积 S= |AB|· d= . = 2 2 2 2
14 答案:解:由已知可设椭圆 C2 的方程为

a2 ? 4 3 y 2 x2 3 ? =1 = ( a > 2) ,其离心率为 ,故 , 2 a 4 2 a 2

y 2 x2 ? =1 . 则 a=4,故椭圆 C2 的方程为 16 4
答案:解:方法一:A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由 OB=2OA 及(1)知,O,A,B

x2 +y2=1 中,得(1 4 2 2 y x 4 16 2 ? =1 中,得(4+k2)x2=16,所以 xB 2 = +4k2)x2=4,所以 x A = .将 y=kx 代入 .又 2 1 ? 4k 4 ? k2 16 4
三点共线且点 A,B 不在 y 轴上,因此可设直线 AB 的方程为 y=kx,将 y=kx 代入
4

16 16 = ,解得 k=± 1,故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x. 2 4 ? k 1 ? 4k 2 方法二:A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由 OB=2OA 及(1)知,O,A,B 三点共线且 x2 点 A,B 不在 y 轴上,因此可设直线 AB 的方程为 y=kx.将 y=kx 代入 +y2=1 中,得(1+4k2)x2=4, 4 2 16k y 2 x2 4 16 2 2 2 2 2 x = y = ? =1 中,得 所以 x A = .由 得 , ,将 代入 OB =2 OA x , y B B B B 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 16 4 4 ? k2 =1 ,即 4+k2=1+4k2,解得 k=± 1,故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x. 1 ? 4k 2
由 OB=2OA 得 xB 2 =4xA2 ,即

y 2 x2 a2 ? 4 3 3 =1 (a>2),其离心率为 答案:解:由已知可设椭圆 C2 的方程为 2 ? ,故 ,则 = a 4 2 a 2 y 2 x2 ? =1 . a=4,故椭圆 C2 的方程为 16 4 答案:解:方法一:A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由 OB=2OA 及(1)知,O,A,B x2 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上,因此可设直线 AB 的方程为 y=kx,将 y=kx 代入 +y2=1 中,得(1 4 2 2 4 16 y x 2 ? =1 中,得(4+k2)x2=16,所以 xB 2 = +4k2)x2=4,所以 x A = .将 y=kx 代入 .又 2 1 ? 4k 4 ? k2 16 4 16 16 = 由 OB=2OA 得 xB 2 =4xA2 ,即 ,解得 k=± 1,故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x. 2 4 ? k 1 ? 4k 2 方法二:A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由 OB=2OA 及(1)知,O,A,B 三点共线且 x2 点 A,B 不在 y 轴上,因此可设直线 AB 的方程为 y=kx.将 y=kx 代入 +y2=1 中,得(1+4k2)x2=4, 4 4 16 16k 2 y 2 x2 2 2 2 2 2 x = y = ? =1 中,得 所以 x A = .由 得 , ,将 代入 OB =2 OA x , y B B B B 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 16 4 4 ? k2 =1 ,即 4+k2=1+4k2,解得 k=± 1,故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x. 2 1 ? 4k

5


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