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单招考试2007年数学试题


2007 年全国普通高等学校运动训练、民族传统体育专业 单独统一招生 数学
一.选择题;本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的,请将正确的选项的字母填写在题后的括号内。
〈1 ? (1)已知集合 ? ? ?? | 1 ? ? 21 ?, ? ?? | ?
0 (A) ?? | 〈 ? 〈 2 ?
2

? 2 ? 〈 0 ,则 M ? N=

?

(B)

?? 〈 ? 〈 3? 0
【 】

(C)

??

|〈 ? 〈 2 ? 1

1 (D) ?? |〈 ? 〈 3?

(2) 已知 ? 是第四象限的角,且 sin ?? ? ? ? = ? (A) ?
1 2

3 2
1 2

,则 cos ?? ? ? ? =

(B)

(C) ?

2

2

(D)
2
2





(3) 三个球的表面积之比为 1:2:4,他们的体积依次为 V1,V2,V3,则 (A)V2=4V1 (C) V3=4V2 (B) V3= 2 2V 1 (D) V3= 2 2V 2 【 】

(4) 已知点 A(—2.0) ,C(2.0)。△ABC 的三个内角∠A, ∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c, 且 a,b,c 成等差数列,则点 B 一定在一条曲线上,此曲线是 (A)圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线 【 】 (5) 数列 ?? n ? 的通项公式为 ? n ?
1 n ?1 ? n

,如果 ?? n ? 的前 n 项和等于 3 那么 n=

(A)8 (B) 9 (C) 15 (D) 16 (6) 一个两头密封的圆柱形水桶装了一些水,当水桶水平横放时,桶内的水浸了水桶横截 面周长的
1 4

(如图) 。当水桶直立时,谁的高度与桶的高度的比值是
1 4

(A)

(B)

?
4

(C)

1 4

?

1

?

(D)

1 4

?

1 2?





(7) 已知函数 y ? f ( x ? 1) 是偶函数,则函数 y=f(2x)图像的对称轴是 (A)x =1 (C) x =
1 2

(B) x = —1 (D) x= ?
1 2
cos C cos A ? 3c 3 a ? 2 3b





(8) △ABC 中,∠A,∠B 和∠C 的对边分别是 a,b 和 c,满足 C 的大小为 (A)
?
3 2? 3

,则∠

(B)

?
6 5? 6

(C)

(D)





(9)已知 ? 〉, ? ? ? ? 0 ?
?

? ? ? , ? 。如果函数 y ? sin( ? x ? ? ) 的最小正周期是 ? ,且其图象关
2 2 ?

于直线 x ?

?
12

对称,则取到函数最小值的自变量是
5 12

(A) x ? ? (C) x ?
1 6

? ? k? , k ? Z

(B) x ? ? (D) x ?

5

? ? k? , k ? Z
? ? k? , k ? Z

? ? k? , k ? Z

6 1 12





(10)某班分成 8 个小组,每小组 5 人,现在要从班中选出 4 人参加 4 项不同的比赛,且要 求每组最多选 1 人参加,则不同的选拔方法有 (A)45C48A44(种) (B) C48A44C15(种) (C) 54C48A44(种) (D) 5C440A44(种) 二.填空题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。把答案填在题中横线上。 (11) 已知向量 a ? ( 5 , ? 4 ), b ? ( ? 3 , 2 ) 则与 2 a ? 3b 垂直的单位向量是_________。 (只需 写出一个符合题意的答案) (12) 三棱锥 D—ABC 中,棱长 AB=BC=CA=DA=DC= a , BD B 的大小为________________。 ( 13 ) 已 知
? ? ??
? ?

?

6 2

a

则二面角 D—AC—

?
2

,

? ?

?, 2 ?

函 数 y ? sin( ? ? ? ) ? cos( x ? a )( x ? R ) 为 偶 函 数 , 则

_________。
0 (14)已知〈 a 〈1 ,不等式 x ?
2

a

2

?1 a

x ?〈 0 的解集是___________________________ 1

cos 0 ( 15 ) 已 知 集 合 M= ?x | sin x 〉 x ,〈 x 〈 ? ?,

cos 0 N= ?x | sin 2 x 〉 2 x ,〈 x 〈 ? ?

则 M ? N =___________________________。 (用区间表示) (16)函数 y ?
x x
4 2

? 16

的最大值是_________。

(17) 1 ? 2 x

?

?

6

的展开式中所有有理项系数之和等于_________。 (用数字作答)
2 2

(18)已知点 Q(3,0) ,点 P 在圆 x ? y ? 1 上运动,动点 M 满足
PM

?

1 2 MQ

,则 M

的轨迹是一个圆,其半径等于_________。 (19)已知函数 f ( x ) ?
1 2 (e ? e
x ?x

)( x ? R ), 则 f ( x ) 的反函数 f

?1

( x ) =_________。

(20)将一个圆周 16 等分,过其中任意 3 个分点作一个圆内接三角形,在这些三角形当中, 锐角三角形和钝角三角形共有_________个。 一.解答题:本大题共 4 小题,共 50 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (21) (本题满分 12 分)
0 0 已知 ?b n ? 是一个等比数列, b1〉 ,公比 q 〉 ,且有 a n ? log
2

bn ?

3 2

n。

(Ⅰ)证明 ( a n ) 是等差数列,并求它的首项和公差。 (Ⅱ) b 2 ? 1, b 4 ? 若
1 16 , 求 ?a n ? 的前 n 项和 S n 。 n 取何值时 S n 最大?最大值等于多少? 当

(22) (本题满分 12 分) 已知 ABC ? A1 B 1 C 1 为正三棱柱,D 是 BC 中点。 (Ⅰ)证明 A 1 B ∥ 平面 ADC 1 。 (Ⅱ)若 AA 1 ? AB ,求 A 1 B 与平面 AA 1 C 1 C 所成角的大小。

(Ⅲ)若 AB= a ,当 A 1 A 等于何值时 A1 B ? AC 1 ?证明你的结论。

(23) (本题满分 12 分) 甲、乙两人参加田径知识考核,共有有关田赛项目的 4 道题目和有关径赛项目的 6 道题目。由甲先抽 1 题(抽后不放回) ,乙再抽 1 题作答。 ( )求甲抽到田赛题目,且乙抽到径赛题目的概率。 ( )求甲、乙两人至少有 1 人抽到田赛题目的概率。 ( )求甲、乙两人同时抽到田赛题目或同时抽到径赛题目的概率。

(24) (本题满分 14 分) 双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a 〉, b 〉) 0 0 的中心为 O,右焦点为 F,右准线和两条渐近线分别

交于点 M 1 和 M 2 。 (Ⅰ)证明 O , M 1 , M 2 和 F 四个点同在一个圆上。 (Ⅱ)如果 | OM
|? | M 1 F | ,求双曲线的离心率。

1

(Ⅲ)如果 ? M 1 FM

2

?

?
3

, | OF | ? 4 ,求双曲线的方程。

2007年全国普通高等学校运动训练、民族传统体育专业 单独统一招生考试 数学试题参考答案和评分参考
评分说明: 1.本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如 果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细 则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分效的 一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一.选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分50分. (1) C (2) A (3) D (4) B (5) C (6) D (7) D (8) D (9) A (10) C 二填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分50分。 (11)(
2 5



1 5

)或(-

2 5



1 5



(12) 90

?

(13 )-

?
4

(14) ? x a ? x ?
?

?

1? ? a?

(15)(

?
4



5? 8



(16) (18)

1 8 2 3

(17)365 (19) ln( x ?
2

x ? 1 )( x ? R )

(20)448

三、解答题 (21) (I)证明 由题意有
a 1 ? log b1 ? 3 2
2

2

a n ? 1 ? a n ? log

b n ?1 ?

3 2

( n ? 1) ? (log

2

bn ?

3 2

n)

? log ? log

b n ?1
2

? 3 2

3 2

bn q?

2

a n ?1 ? a n 是与 n 无关的常数,所以 ?a n ? 是以 log

2

b1 ?

3 2

为首项,以 log

2

q?

3 2

为公差的

等差数列。 (II)解

?b n ? 是等比数列, b 2
? b1 q ? 1 ? ? 1 3 ? b1 q ? 16 ?

? 1, b 4 ?

1 16

,所以

得q ?
2

1 16

,因 q ? 0,解得 q ?
S n ? na 1 ?

1

4 n ( n ? 1)

, b1 ? 4 ,
d

……6分

2

? (log ? (2 ? ?
1 4 15 4

2

b1 ? )n ? 15 4

3 2

)n ?
2

n ?n
2

(log 3 2

2 (?2 ? )

2

q?

3 2

)

3 2

n ?n 2

……9分

1 4

n ?
2

n
15 2

令 f (x) ?

x ?
2

x ,由二次函数的性质,当 x ?

? 7 . 5 时, f ( x ) 取到最大值,且

y ? f ( x ) 的图像关于直线 x ? 7 . 5 对称,所以 n ? 7 或8时, S n 取到最大值为

S8 ? S7 ? ?

1 4

?7 ?
2

15 4

? 7 ? 14

……12分

(22) (I)证明 连结 A 1 C, A 1 C 与 AC 1 交于点 E 连接 DE ,因为四

边形 AA 1 CC 1 是矩形。所以 E 是 A 1 C 中点. 在 ? A 1 BC 中, D 、 E 分别是 BC 和 A 1 C 的中点,所以
DE//A
1

B.

A 1 B ? 平面 ADC 1 , DE ? 平面 ADC 1 ,

所以 A 1 B// 平面 ADC

1



……4分

(Ⅱ)解作 BF ? AC ,垂足为 F ,连结 A 1 F, ? BA 1 F 为 A 1 B 与平面 AA 1 C 1 C 所成的角. 设 AB ? a ,由条件知 BC ? CA ? a , 且 AA 1 ? a ,? ABC 为正三角形,所以 BF ?
3 2 a,

四边形 AA 1 B 1 B 为正方形,所以 AB ? 所以
BF ? A 1 F .

2a . 因为平面 ABC ? 平面 AA 1 C 1 C,

BF ? AC ,

在 ? A 1 BF 中, ? BFA 1 ? 90 ? ,
sin ? BA 1 F ?

BF A1 B

?
2
6 4

3 2

?

6 4



所以 ? BA 1 F ? arcsin



即所求角的大小为 (Ⅲ)解

arcsin

6 4

……8分

已知 AB ? a , 设 A 1 A ? ? a

A 1 F 是 A 1 B 在平面 AA 1 C 1 C 的射影,由三垂线定理及其逆定理 A 1 B ? AC 1 ? A 1 F ? AC 1 .
? ABC 为正三角形,F为AC中点,四边形 AA 1 C 1 C 为矩形,所以

A 1 F ? AC 1 ? ? AA 1 F ? ? CAC

1

a ?

?a 2 ? ?a a
1 2

? ? ?

所以当 A 1 A ?

a 2

时, A 1 B ? AC 1 。

……12分

(23) (I)解 甲抽到田赛题目且乙抽到径赛题目的概率为
C4 C
1

1 10

?

C6 C

1

1 9

?

4 10

?

6 9

?

4 15

……4分

(Ⅱ)解 方法一 甲抽到径赛题目且乙也抽列径赛题目的概率是
C6 C
1

1 10

?

C5 C

1

1 9

?

1 3

所以甲、乙两个人至少有1人抽到田赛题目的概率为 1 方法二 由(I)甲抽到田赛题目且乙抽到径赛题目的概率为
C4 C
1

1 3

?

2 3

……8分

1 10

?

C6 C

1

1 9

?

4 15

同理,甲抽到径赛题目且己抽到田赛题目的概率为
C6 C
1

1 10

?

C4 C

1

1 9

?

4 15



甲、乙两人都抽到田赛题目的概率为
C4 C
1

1 10

·

C3 C

1

1 9

?

2 15


4 15 4 15 2 15 2 3

所以甲、乙两人至少有1人抽到田赛题目的概率为 (Ⅲ)解 甲、乙同时抽到田赛题目的概率是
C4 C
1

?

?

?



……8分

1 10

·

C3 C

1

1 9

?

2 15



甲、乙两人同时抽到径赛题目的概率
C6 C
1

1 10

?

C5 C

1

1 9

?

1 3


1 3 2 15 7 15

所以甲、乙同时抽到田赛题目或同时抽到径赛题目的概率为 (24) (I)证明 双曲线的右焦点 F(c,0), 右准线 x ?
a
2

?

?



……12分

,渐近线y= y ?

b a

x,y ? ?

b a

x ,准线

c a
2

与两条渐近线的交点分别为 M 1 (
2

,

ab c

), M

c

2

(

a

2

,-

ab c

),则

c
ab c

OM

1

?(

a

,

ab c

c a b c
2 2 2

), M 1 F ? ( c ?
2 2

a

2

,?

)=(

b

2

,?

ab c

),

c

c

OM

1

? M 1F =

-

a b c
2

? 0.

所以 OM

1

? M 1 F, ? OM 1 F ? 90
?

?

同理可证 ? OM 2 F ? 90



所以 O, M 1 , F, M 2 都在以 OF 为直径的圆上. (Ⅱ)解 ? OM 1 F 中,? OM 1 F 为直角. 由已知| OM 同理 ? OM 2 F ? 45 ,即 OM
? OM ?
a
2

……5分 | ? | M 1 F |, 所以 ? OM 1 F ? 45 ,
?

1

?

1

? OM
ab c

2



OM

1

2

·

a

2

?

·

ab c

,

c

c

由 OM 1 ? OM

2

? 0 ,可得 a ? b .

双曲线的离心率
e? c a

?

a

2

?b a

2

?

2

……9分
?

(Ⅲ)解
? M 1 OF ?

由条件 ? M 1 FM
1 2

?
3

2

, OF ? 4 ,即得 c ? 4 ,同时

(? ?

?
3

)?
ab

?
3

,

由M 1(

a

2

,

ab c

c

? ? ), c2 ? tan
a
3

3 .得 b ?

3a .

c

又由 c ? 4 ,即 a ? b ? 16 ,解出 a ? 2, b ? 2 3 ,所以双曲线的方程是
2 2

x

2

?

y

2

?1

……14分

4

12

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