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高考数学分 类专题复习之一 函数定义域和值域


第一讲
★★★高考在考什么 高考在考什么 【考题回放】 考题回放】 1.函数 f(x)= 1 ? 2 的定义域是
x

函数定义域和值域



A ) D. (-∞,+∞)

A. ( -∞,0] 2.函数 f ( x ) =

B.[0,+∞ )

C. (-∞,0)

1 的定义域为 log 2 ( ? x + 4 x ? 3)
2

(A )

A. (1,2)∪(2,3) C. (1,3)

B. (?∞,1) ∪ (3,+∞ ) D.[1,3]

3 . 对 于 抛 物 线 线 y 2 = 4 x 上 的 每 一 个 点 Q , 点 P (a,0 ) 都 满 足 PQ ≥ a , 则 a 的 取 值 范 围 是 ( B )

A . (? ∞,0)

B . (? ∞,2]

C . [0,2]

D . (0,2)

x 4.已知 f ( 2 ) 的定义域为 [0,2] ,则 f (log 2 x) 的定义域为

[2,16]



5. 不等式 m ≤

x2 + 2 对一切非零实数 x 总成立 , 则 m 的取值范围是 x

(?∞, 2 2] __。

6. 已知二次函数 f ( x ) = ax 2 + bx + c 的导数为 f ′( x ) , f ′(0) > 0 ,对于任意实数 x ,有 f ( x ) ≥ 0 ,则

f (1) 的最小值为 f ′(0)



5 2

★★★高考要考什么 高考要考什么 一、 函数定义域有两类:具体函数与抽象函数 具体函数:只要函数式有意义就行---解不等式组; 具体函数 抽象函数: (1)已知 f ( x ) 的定义域为 D,求 f [ g ( x )] 的定义域; (由 g ( x ) ∈ D 求得 x 的范围就是) 抽象函数: (2)已知 f [ g ( x )] 的定义域为 D,求 f ( x ) 的定义域; x ∈ D 求出 g ( x ) 的范围就是) ( 二、 函数值域(最值)的求法有: 直观法: 直观法:图象在 y 轴上的“投影”的范围就是值域的范围; 配方法: 配方法:适合一元二次函数

1? x2 反解法: 。 反解法:有界量用 y 来表示。如 x ≥ 0 , a > 0 , sin x ≤ 1 等等。如, y = 1+ x2
2 x

换元法: 换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,特别注意新变量的范围。注意三角换元的应用。
2 如求 y = x + 1 ? x 的值域。

单调性: 单调性:特别适合于指、对数函数的复合函数。如求 y = log 2 ( x + 注意函数 y = x +

1 + 1)( x > 1) 值域。 x ?1

k 的单调性。 x

基本不等式: , 基本不等式:要注意“一正、二定、三相等” 判别式: 判别式:适合于可转化为关于 x 的一元二次方程的函数求值域。如 y =
2

x2 + x +1 。 x2 + 2

反之:方程有解也可转化为函数求值域。如方程 sin x + sin x + a = 0 有解,求 a 的范围。 数形结合: 数形结合:要注意代数式的几何意义。如 y = 三、 恒成立和有解问题

2 ? sin x 的值域。 (几何意义――斜率) 1 + cos x

a ≥ f (x) 恒成立 ? a ≥ f (x) 的最大值; a ≤ f (x) 恒成立 ? a ≤ f (x) 的最小值; a ≥ f (x) 有解 ? a ≥ f (x) 的最小值;
★★★ 突 破 重 难 点 【范例 1】已知 f(x)=3 值域。 分析提示: 分析提示:求函数值域时,不但要重视对应法则的作用,而且要特别注意定义域的制约作用。本题要注 意 F(x)的定义域与 f (x)定义域的联系与区别。 解:由图象经过点(2,1)得, b = 2 ,
-1

a ≥ f (x) 无解 ? a < f (x) 的最小值;

x-b

(2≤x≤4,b 为常数)的图象经过点(2,1) ,求 F(x)=[f (x)] -f (x )的

-1

2

-1

2

∴ f

?1

( x) = 2 + log 3 x

(1 ≤ x ≤ 9)

Q F(x)=[f-1(x)]2-f-1(x2)

?1≤ x ≤ 9 ∴? 2 ?1 ≤ x ≤ 9

∴ F (x) 的定义域为 [1,3]

∴ F ( x) = (2 + log 3 x) 2 ? (2 + log 3 x 2 ) = (log 3 x) 2 + 2 log 3 x + 2 = (log 3 x + 1) 2 + 1
Q x ∈ [1,3] , ∴ log 3 x ∈ [0,1] ,
易错点: 易错点:把 f
?1

∴ F (x) 的值域是 [2,5]

( x) 的定义域当做 F (x) 的定义域。

变式: 函数 y = f (x ) 的定义域为 x ∈ [?1,1] ,图象如图所示, 其反函数为 y = f 的解集为
?1

1 1 ( x). 则不等式 [ f ( x) ? ][ f ?1 ( x) ? ] > 0 2 2
.

3 ( ,1] 4

2 2 【范例 2】设函数 f ( x ) = tx + 2t x + t ? 1( x ∈ R,t > 0) .

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小值 h(t ) ;

2) (Ⅱ)若 h(t ) < ?2t + m 对 t ∈ (0, 恒成立,求实数 m 的取值范围.
解: (Ⅰ)Q f ( x) = t ( x + t ) 2 ? t 3 + t ? 1( x ∈ R,t > 0) ,

∴ 当 x = ?t 时, f ( x) 取最小值 f (?t ) = ?t 3 + t ? 1 ,
即 h(t ) = ?t + t ? 1 .
3

(Ⅱ)令 g (t ) = h(t ) ? ( ?2t + m) = ?t + 3t ? 1 ? m ,
3 2 . 由 g ′(t ) = ?3t + 3 = 0 得 t = 1 , t = ?1 (不合题意,舍去)

当 t 变化时 g ′(t ) , g (t ) 的变化情况如下表:

t g ′(t ) g (t ) ∴ g (t ) 在 (0, 内有最大值 g (1) = 1 ? m . 2)

(0, 1)

1 0
极大值

(1, 2)

+
递增

?
递减

1? m

h(t ) < ?2t + m 在 (0, 内恒成立等价于 g (t ) < 0 在 (0, 内恒成立, 2) 2)
即等价于 1 ? m < 0 , 所以 m 的取值范围为 m > 1 . 变式:函数 f(x)是奇函数,且在[—l,1]上单调递增,f(-1)=-1,(1) 则 f(x)在[-1,1]上的 最大值 范围是 1 ,(2) 若 f ( x ) ≤ t 2 ? 2at + 1 对所有的 x∈[-1,1]及 a∈[-1,1]都成立,则 t 的取值

t ≤ ?2或t = 0或t ≥ 2 _



2 【 范例 3 】 已知函数 y = kx 与 y = x + 2( x ≥ 0) 的图象相交于 A( x1,y1 ) , B ( x2,y2 ) , l1 , l2 分别是

y = x 2 + 2( x ≥ 0) 的图象在 A,B 两点的切线, M ,N 分别是 l1 , l2 与 x 轴的交点.
(I)求 k 的取值范围; (II)设 t 为点 M 的横坐标,当 x1 < x2 时,写出 t 以 x1 为自变量的函数式,并求其定义域和值域; (III)试比较 OM 与 ON 的大小,并说明理由( O 是坐标原点) .

解: (I)由方程 ?

? y = kx,
2

?y = x + 2

消 y 得 x ? kx + 2 = 0 . ····· ①
2

依题意,该方程有两个正实根,

?? = k 2 ? 8 > 0, 故? 解得 k > 2 2 . ? x1 + x2 = k > 0,
(II)由 f ′( x ) = 2 x ,求得切线 l1 的方程为 y = 2 x1 ( x ? x1 ) + y1 , 由 y1 = x1 + 2 ,并令 y = 0 ,得 t =
2

x1 1 ? 2 x1

x1 , x2 是方程①的两实根,且 x1 < x2 ,故 x1 =

k ? k2 ?8 4 = ,k > 2 2 , 2 k + k2 ?8

x1 是关于 k 的减函数,所以 x1 的取值范围是 (0,2) .
t 是关于 x1 的增函数,定义域为 (0,2) ,所以值域为 (?∞,0) ,
(III)当 x1 < x2 时,由(II)可知 OM = t = ?

x1 1 + . 2 x1

类似可得 ON =

x2 1 x +x x +x ? . OM ? ON = ? 1 2 + 1 2 . 2 x2 2 x1 x2

由①可知 x1 x2 = 2 . 从而 OM ? ON = 0 . 当 x2 < x1 时,有相同的结果 OM ? ON = 0 . 所以 OM = ON .

变式:已知函数 y =

1 1 log a (a 2 x) ? log a (ax) (2 ≤ x ≤ 4) 的最大值是 0 ,最小值是 ? ,求 a 的值。 2 8

分析提示: (1) 注意对数的运算法则; (2)注意挖掘隐含条件 0 < a < 1 ” “ ; 分析提示: 能化成关于 log a x 的二次函数, (3)掌握复合函数最值问题的求解方法。 解: y =

1 1 log a (a 2 x) ? log a (ax) = (2 + log a x)(1 + log a x) 2 2 1 3 2 1 1 = (log a x + ) ? , ∵ 2 ≤ x ≤ 4 ,且 ? ≤ y ≤ o 2 2 8 8

? 3 1 ∴当 log a x = ? 即 x = a 2 时, y min = ? 2 8
? 3 2

3

∴a

≥ 2 >1

∴ 0 < a < 1 ,又 y 最大值是 0 , , 即x =

∴ log a x + 2 = 0或 log a x + 1 = 0

1 1 或x = 2 a a

, ∴

1 1 = 2(或 2 = 4) a a

∴a =

1 2


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