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“平面向量基本定理”的说课稿


“平面向量基本定理”的说课稿
各位老师大家好,今天,我说课的内容是:人教版必修 4 第二章第三节《平面向量基本 定理》第一课时,我将从教材分析、教法分析、学法分析及教学过程五个方面进行分析 一、教材内容分析 1、教材地位 向量具有数形二重性,是数学中解决几何问题的工具,可以使复杂问题简单化、直观 化,使代数问题几何化、几何问题代数化。而平面向量基本定理是把几何问题向量化的理论 基础, 它说明了同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合, 它在本章中的 理论意义主要是引出向量的坐标表示,在今后学习空间向量时还要推广为空间向量基本定 理,是引出空间向量用三维坐标表示的基础。因此该定理应是本章中的核心内容,它的理论 意义远远大于它在解题中的作用。 值得注意的是,向量中有三个重要定理,教学中要注意它们的比较联系及相应的层次 性 一维空间:向量共线定理 二维空间:平面向量基本定理 三维空间:空间向量基本定理 其中向量共线定理与平面向量基本定理是特殊与一般的关系,但课本中对这两个定理 的表述方式有所不同,在教学中如果进行适当的补充和深化(如下表所示) ,可以使这两个 定理的意义和层次性更加清晰。 向量共线定理 表 述 1 如果 e 是一个非零向量,则与 e 共 线的任意向量 a ,有且只有一个实 数 k ,使 a ? ke (深化后的形式) 平面向量基本定理 如果 e1, e2 是同一平面内的两个不共线向量, 那么 对于这一平面内的任一向量 a ,有且只有一对实 数 k1 , k2 ,使 a ? k1 e1 ? k2 e2 (课本形式) 如果两个向量 a, b 不共线,则向量 p 与向量 a, b 共 面 的 充 要 条 件 是 存 在 实 数 对 x, y , 使

表 述 2

向量 b 与非零向量 a 共线的充要条 件是有且只有一个实数 k ,使

b ? ka (课本形式,作了点简化)

p ? xa ? yb 。(深化后的形式,选自选修 2-1P72
共面向量定理)

2、教学目标 (1)、知识与技能:了解平面向量的基本定理,会把任一向量表示为一组基底的线性组 合,初步利用定理解决问题(如相交线交成线段比的问题等) 。 (2)、过程与方法:在操作实践中归纳猜想得出定理,在与共线定理的比较中加强纵向 联系。 (3)、情感、态度与价值观:培养学生主动探求知识、合作交流的意识,感受数学思维 的全过程,改善数学学习信念。 3 、重点、难点 本课的重点是平面向量基本定理,这也是本节课的难点。解决这一难点的关键是在充 分理解向量加法的平行四边形法则和向量共线的充要条件的基础上,分层次设计探究问题, 让学生在操作实践中加深对该定理的理解;同时以例题的形式拓展学生的思路。

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二、教法分析 对“定理”的理解: (1 ) 、实数对 ? k1, k2 ? 的存在性和惟一性:平面内任一向量 a 均可用给定的一组基底

a, b 线性表示成 a ? k1e1 ? k2 e2 ,且这种表示是惟一的,其几何意义是任一向量都可沿两个
不平行的方向分解为两个向量的和,且分解是惟一的。 (2) 、基底的任意性:平面内任意两个向量,只要不共线,便可作为平面内全体向量 的一组基底。 (3) 、 “定理”的拓展性: “定理”以二维向量空间为依托,可以推广到 n 维向量空间。 由于定理的内容不需证明,更多的在于让学生操作理解,因此在教学设计上考虑分三 层次让学生探究定理: 探究问题 1、是不是给定一个向量都可以分解成两个不共线的向量? 探究问题 2、这样的分解是否唯一? 探究问题 3、 “给定”换成“任一”是否成立? 三、学法分析 学生在前面已经掌握了向量的基本概念、向量的加、减运算法、实数与向量的积、向 量共线的充要条件,这些(特别是向量加法平行四边形法则和向量共线的充要条件)都为学 生学习本节内容提供了知识准备; 并且学生在物理学科的学习中已经清楚了力的合成和力的 分解,这为我们学习向量分解提供了认知准备;向量的数形二重性,特别是向量运算中学生 的作图习惯已然养成,为本节课实践操作探究提供可能。 四、教学过程 (一) 、情境创设 复习:已知向量 a, b 如图所示,求作向量 c ? a ? 2b 提出问题:我们在物理学中曾经学过力的合成和力的分解,我们知道合成与分解实际 上是两个不同过程。 问题 1、把一个物体放在倾角为 ? 的斜面上,物体受到竖直向下的重力,但它并不能 竖直下落。从力的作用效果看,应该怎样将重力分解? 问题 2、小船在力 F 的作用下前行,能否在图中作出纤夫甲、乙所用的力 F1 , F2 。

由平行四边形法则在力的分解中的应用引出向量的分解。 在此一阶段中可适当复习向量共线的充要条件和向量加法的平行四边形法则,平面向 量基本定理的理解是个难点,这样做可以分散难点,为下面的学习做好准备。 (二) 、操作实践 在下列问题序列的指引下,学生通过作图进行实践: 问题 1、给定两个向量,能否将平面 内任一向量按这两向量方向进行分解,分 解后的结果如何表示?

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问题 2、这样的分解是否唯一? 问题 3、给定的向量方向能否更改? (三) 、建构数学 在操作实践的基础上,启发学生得出定理,并板书定理,以不同的语气、语速重复定 理, 以引起学生的注意,促使学生自动感知定理中的重点词句,剖析定理的实质: 任意性(向 量 a 是平面内的任一向量);存在性(任何一个向量都可以表示成 e1, e2 的一个线性组合);唯 一性(在给定基底的前提下这个线性组合是唯一的,即实数 k1 , k2 唯一确定),加深学生对定 理的理解。 (四) 、拓展应用 例 1、如图在平行四边形 ABCD 的两条对角线交于点 M,E、F 分别为 MD、MC 上的 点,且 ME ? DE , MF ?

1 FC ,设 AB ? a, AD ? b ,试用 a, b 表示 AE, AF , EF 2 拓展:将 AE, AF 删掉直接求 EF

设计思路:本例题虽然简单(在具体操作时,可 从简单到复杂, 逐步加深问题) , 但它是平面向量基本定 理应用的基本模式: 也就是给定基底如何表示其他向量, 可采用“走路法”——比如表示 EF 就是研究如何由 E 点走到 F 点,这样的路径很多,我们当然要选择最佳路径。 例 2、如图, OA, OB 不共线, AP ? t AB(t ? R) ,用 OA, OB 表示 OP 拓 展 : 已 知 向 量 OA, OB 不 共 线 ,

OP ? (1 ? t )OA ? tOB ,求证:P、A、B 三点共线。
设计思路:强化一种意识:以两个不共线向量为基底, 表示同一平面内任一向量的关键是牢牢掌握向量加法平行 四边形法则和向量共线的充要条件。 同时通过本例题让学生 进一步完善理论, 认识到向量共线定理与平面向量基本定理 的特殊与一般的关系。 例 3、 证明三角形的三条中线相交于一点, 且这点把三条中线都分成 2∶1 的两条线段。 设计思路:定理反映了平面向量分解的唯一性,利用此唯一性可解决求相交线交成线 段比的问题。这类题的关键是:首先选择恰当的基底,再将同一向量用两种不同方法表示, 由平面向量基本定理得出方程组解出。 (五) 、作业布置 1、针对例 1 设计思考题: (1) 、四边形 ABCD 的两条对角线交于点 M,且 MA ? MC ? 0, MB ? MD ? 0 ,求 证:四边形 ABCD 是平行四边形。 (2) 、四边形 ABCD 的两条对角线交于点 M,且 MA ? MC ? MB ? MD ? 0 ,求证: 四边形 ABCD 是平行四边形。 2、针对例 2 设计思考题: 已知向量 OA, OB 不共线, OP ? ?OA ? ?OB ,求证:P、 A、B 三点共线当且仅当 ? ? ? ? 1 3、针对例 3 设计思考题: ?ABC 中,D 为 BC 的中点,E 为 AD 的中点,延长 BE 交 AC 于点 F,设 BE ? ? EF ,试求 ? 的值。

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