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(必修4优秀课件)2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义


向量的夹角:
??? ? ??? ? ? ? ? ? 已知两个非零向量 a 和 b ,作 OA ? a , ? b , OB ? ? 则∠AOB= θ(0?≤θ≤180?)叫做向量 与 的夹角. a b
? ? 当θ= 0? 时, a b同向; 与 ? ? 当θ= 180? 时, a b反向; 与 ? ? ? ?O 当θ= 90? 时, a与 b 垂直,记作 a ? b 。
? a ? b ? a ? b
B

? b
θ

? a

A

? a

? b

问题的提出 一个物体在力F 的作用下产生的位移 s,那么力F 所做的功应当怎样计算?

F θ
s

W ?| F || s |cos?

? 其中力F 和位移s 是向量, 是F 与s 的夹角,而功是数量.

平面向量的数量积:
? ? ? ? ? ? 已知非零向量 a 与 b ,我们把数量 | a || b | cos? 叫作 a 与 b 的 ? ? 数量积(或内积),记作 a ? b ,即规定

? ? ? ? a ? b ?| a || b | cos?

? ? ? ? ? ? 其中θ 是 a 与 b 的夹角,| b | cos? (| a | cos? ) 叫做向量 b 在 a ? ? 方向上( a 在 b 方向上)的投影.并且规定,零向量与任一向量 ? ? 的数量积为零,即 a ? 0 ? 0。 B

???? ? ? | OB1 |?| b | cos?

? b
θ O

? a
B1

A

数量积的几何意义:
? ? ? ? ? ? 数量积 a ? b 等于 a 的长度| a | 与 b 在 a 的方向上的 ? 投影 | b | cos ? 的乘积。
B

? b
θ O B1

? a

A

思考:向量的数量积是一个数量,那么它什么时候为正, 什么时候为负呢?
当θ为锐角时,向量的数量积为正; 当θ为钝角时,向量的数量积为负。

由向量数量积的定义,试完成下面问题:

? ? ? ? 0 (1)a ? b ? a ? b ? _______ . ? ? ? ? ? ? | a || b | (2)若 a 与 b 同向,a ? b ? _______ ; ? ? ? ? ? ? ? | a || b | 若 a 与 b 反向,a ? b ? _______; ? 2 ? ? ? ? ? |a| a ? a ? _____ . | a |? a ? a ? ? ? ? (3) | a ? b | ____ | a || b | .( 填 ? 或 ?) ≤
? ? ?2 注:常记 a ? a 为 a 。 ? 2 ? 2 (a ) ?| a |

证明向量 垂直的依据

? ? ? ? 例1.已知 | a |? 5,| b |? 4 ,a 与 b 的夹角θ =120? ,
? ? 求 a ?b 。

解:

? ? ? ? a ? b ?| a || b | cos ?
=5 ? 4 ? cos120?

1 ? 5 ? 4 ? (? ) 2 ? ?10

数量积的运算规律:

? ? ? ? (1)a ? b ? b ? a; ? ? ? ? ? ? (2)(? a) ? b ? ? (a ? b) ? a ? (? b); ? ? ? ? ? ? ? (3)(a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c.
? ?? ? ? ? 思考:等式 (a ? b)c ? a(b ? c) 是否成立?

不成立

注意: 1、两个向量的数量积是一个实数,不是向 量,符号由cosθ的符号确定; 2、两个向量的数量积称为内积,写成 a ? b ; 与代数中的数a· b不同,书写时要严格区分; 3、在实数中,若a≠0,且a· b=0,则b=0;但在数 量积中,若 a ? 0 ,且 a ?b ? 0 ,不能推出 b ? 0 。 因为其中cosθ有可能为0 4、已知实数a、b、c(b≠0),则有ab=bc 得a=c.但是有 a ? b ? b ? c 不能得 a ? c 5、在实数中(a· b)c=a(b· c), 但 (a ? b)c ? a(b ? c)

例2.我们知道,对任意 a, b ? R ,恒有

? ? 2 ?2 ? ? ?2 (1)(a ? b) ? a ? 2a ? b ? b ; ? ? ? ? ? 2 ?2 (2)(a ? b)(a ? b) ? a ? b .

? ? 对任意向量 a, b是否也有下面类似的结论? ,

(a ? b)2 ? a2 ? 2ab ? b2 ,(a ? b)(a ? b) ? a2 ? b2 .

例3.已知a ? 6, b ? 4, a与b的夹角为 ?,求(a ? 2b) ? (a ? 3b) 60

例4.已知a ? 3, b ? 4, 且a与b不共线,k为何值时, 向量a ? k b与a ? k b互相垂直?

小结
向量的数量积计算时, 一要找准向量的模; 二要找准两个向量的夹角。

作业 P108 习题A组 1、2、3

结束


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