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高中数学辅导2013届高三第一次联考试卷数学(理)试题

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江西省重点中学 2013 届高三第一次联考试卷数学(理)试题
试题由京翰教育一对一家教辅导(http://www.zgjhjy.com)整理 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分.满分 150 分.考试用时 120 分钟.

第 I 卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.若集合 A ? x x ? x? , B ? x x ? x ? 0 ,则 A ? B ? (
2

?

?

?

) .

A. [0,1] 2.若 z ? sin ? ? A. ? 7

B. (??, 0)

C. (1, ??)

D. (??, ?1)

? 3 4 ? (cos ? ? )i 是纯虚数,则 tan( ? ? ) 的值为( ). 4 5 5 1 1 B. ? C. 7 D. ?7 或 ? 7 7


3.下列说法中,正确的是(

2 2 A. 命题“若 a ? b ,则 am ? bm ”的否命题是假命题.

B.设 ? , ? 为两个不同的平面,直线 l ? ? ,则“ l ? ? ”是 “ ? ? ? ” 成立的充分不必 要条件. C.命题“存在 x ? R, x ? x ? 0 ”的否定是“对任意 x ? R, x ? x ? 0 ”.
2 2

D.已知 x ? R ,则“ x ? 1 ”是“ x ? 2 ”的充分不必要条件.

x2 y 2 4.若双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 实轴的两个端点与抛物线 x2 ? ?4by 的焦点构成一个 a b
等边三角形,则此双曲线的离心率为( ) C. 2

A.

2 3 3

B. 3

D. 2 3
主视图 左视图

5.已知一个空间几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸, 可得这个几何体的体积是( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 12 6.设 x1 ? 18, x2 ? 19, x3 ? 20, x4 ? 21, x5 ? 22 ,将这 五个数据依次输入右边程序框进行计算, 则输出的 S 值及其统计意义 分别是( ) A. S ? 2 ,即 5 个数据的方差为 2

2 2
俯视图

2

4
(第 5 题图)

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B. S ? 2 ,即 5 个数据的标准差为 2 C. S ? 10 ,即 5 个数据的方差为 10 D. S ? 10 ,即 5 个数据的标准差为 10

i ? i ?1
否 开始

S ?0

i ?1

S ? S ?5

输出 S

i ?1

输入 xi

S ? S ? ( xi ? 20)

2

i?5


结束 (第 6 题图)

7.设函数 f ( x) ? 3 sin(?x ? ? )(? ? 0,? 期是 ? ,则( )

?
2

?? ?

?
2

) 的图像关于直线 x ?

2? 对称,它的周 3

A. f (x) 的图象过点 ( 0, )

1 2

? ? 2? ? 上是减函数 , ?12 3 ? ? 5? ,0) ks5u C. f (x) 的一个对称中心是 ( 12 D. 将 f (x) 的图象向右平移 | ? | 个单位得到函数 y ? 3sin ?x 的图象. a100 a a2 8. 已知集合 M ? ?0, 2? , 数列 ?an ? 满足 an ? M (n ? 1, 2,3,?) , W ? 1 ? 2 ? ? ? 100 , 设 3 3 3 则 W 一定不属于区间( )
B. f (x) 在 ? A. ?0,1? B. ? 0,1? C. ? ,

?1 2 ? ? ?3 3 ?

D. ? , ? 3 3

? 1 2? ? ?
D M
A

9.如图,有一条长度为 1 的线段 MN ,其端点 M , N 在边长为 3 的正方形

C

ABCD 的四边上滑动,当点 N 绕着正方形的四边滑动一周时, MN 的中 点 P 所形成的轨迹长度最接近于( ) A. 8 B. 11 C. 12 D. 10

?x ? 1 ? 10.已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ) 为区域 ? x ? y ? 2 ? 0 内的任意三 ?x ? 2 y ? 3 ? 0 ?
点,又已知二元函数 f ( x, y ) ?

P · A P N
(第 9 题图)

B
B

x ? (k ? 1) y ? 4 ? k (其中 k 为参数) ,若以 x?3

f ( x1 , y1 ), f ( x2 , y2 ), f ( x3 , y3 ) 的值为三边长的三角形总是存在的,则实数 k 的取值范围是
( ) A. (0,3) B. ?0,3? C. (0, ??) D. ?0, ? ?

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京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班 第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上. 11.在 (1 ? x3 )(1 ? x)5 的展开式中, x5 的系数是 .

y

12.如图, OAB 由 y 轴,直线 y ? 1 及曲线 y ? x2 ( x ? 0 )围成,假设随机 向该区域内投点,该点落在区域内每个位置是等可能的.现随机向区域投一 点 P ,则直线 OP 的斜率小于 1 的概率是 . 13. 设 A, B, C , D 是半径为 2 的球面上的四个不同点,且 AB, AC , AD 两两 相互垂直,用 S1 , S2 , S3 分别表示 ?ABC, ?ABD, ?ACD 的面积,则

A

B
B

O
O
(第 12 题图)

x
x

N
N

S1 ? S2 ? S3 的最大值是



B

14.如图, 两射线 AM , AN 互相垂直, 在射线 AN 上取一点 B 使 AB 的长为 2,在射线 AN 的左侧以 AB 为斜边作一等腰直角三角形 ABC . 在 射 线 A M, A N上 各 有 一 个 动 点 D, E 满 足 ?ADE 与

C

E

B

??? ??? ? ? ?ABC 的面积之比为 3 : 2 ,则 CD ? ED 的取值范围为__________.

A
(第 14 题图)

D

M

A

三、选做题(本小题满分 5 分) 15.考生注意:请在下列两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分.

A. (坐标系与参数方程选做题 )曲线 ? ? 4 cos? 与曲线 ? cos? ? 2 ? 3 的交点间距离
为 .

B. (不等式选讲选做题)关于 x 的不等式 x ? x ? 1 ? a2 ? a ? 1 的解集为空集,则实数 a 的
取值范围为 .

四、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? ( 3sin 2x,cos 2x), n ? (cos 2x, ? cos 2x) . (1)若 x ? (

??

?

?? ? 1 7? 5? 3 , ) , m ? n ? ? ? , 求 cos 4x ; 24 12 2 5

2 (2)设 ?ABC 的三边 a , b, c 满足 b ? ac ,且边 b 所对应的角的大小为 x ,若关于 x 的方程

?? ? 1 m ? n ? ? k 有且仅有一个实数根,求 k 的值. 2
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17. (本小题满分 12 分) 如图所 示,四棱锥 P ? ABCD 的 底面为等 腰梯形, AB // CD 且 AB ? BC ? DA ? 1 , P CD ? 2 ,其侧棱长均为 2 , M 为棱 PA 的中点. (1)设 CD 的中点为 O ,连 PO ,证明 PO ? 平面 ABCD ; (2)求二面角 A ? DM ? B 的余弦值.

M

D
A

O
B
(第 17 题图)

C

18. (本小题满分 12 分) 某市直小学为了加强管理,对全校教职工实行新的临时事假制度: “每位教职工每月在正常 的工作时间,临时有事,可请假至多三次,每次至多一小时”.现对该制度实施以来 50 名教 职工请假的次数进行调查统计,结果如下表所示: 请假次数 人数 根据上表信息解答以下问题: (1)从该小学任选两名教职工,用? 表示这两人请假次数之和,记“函数 f ( x) ? x2 ?? x ? 1 在区间 (4, 6) 上有且只有一个零点”为事件 A ,求事件 A 发生的概率 P ; (2)从该小学任选两名职工,用 ? 表示这两人请假次数之差的绝对值,求随机变量 ? 的分布 列及数学期望 E? .

0 5

1 10

2 20

3 15

19. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 为等差数列,数列 ?bn ? 为等比数列. (1)若 an ?

lg b1 ? lg b2 ? ? ? lg bn ? (其中 b1 ? 1, bn ? 0, n ? N ),试求数列 ?an ? 的公差 n

d 与数列 ?bn ? 的公比 q 之间的关系式;
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(2)若 a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ? n2n?3 ,且 a1 ? 8 ,试求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式.

20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ,过点 P(1,1) 作直线 l 与椭圆交于 M , N 两点,点 P 平分线段 8 4

MN .
(1)试求直线 l 的方程; (2)设直线 AB 平行于直线 l ,且与椭圆交于 A, B 两点,连 AP 交椭圆于另一点 C ,连

BP 交椭圆于另一点 D ,求证 AB // CD .

y

l
A

M
P O
·

N
N

x

B
B
(第 20 题图)

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? ln x ( a ? R , a 为常数).
2

(1)过坐标原点 O 作曲线 y ? f ( x) 的切线,设切点为 P( x0 , y0 ) ,求 x0 的值; (2) 当 a ? ?1 时,若方程 f ( x) ?
?x

b 有实根,求 b 的最小值; x

(3)设 F ( x) ? f ( x) ? e ,若 F ( x) 在区间 ?0,1? 上是单调函数,求 a 的范围.

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江西省重点中学协作体 2013 届高三第一次联考试卷 数学(理)试题参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的. 题 号 答 C 案 A B C B A C C B B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上. 1 11. ?9 12. 13. 8 14. ?5,??? 4 三、选做题(本小题满分 5 分)
15. A. 2

B. ( (0,1)

四、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步
骤. 16. (本小题满分 12 分) 【解】 (1) m ? n ? sin ? 4 x ?

?? ?

? ?

?? 1

? ? ?????4 分 6? 2

由条件有 ? ? 4 x ?

?
6

?

3? ?? ? ? ? ? 3? 4 3 ,故 cos 4 x ? cos?? 4 x ? ? ? ? ? ?????6 分 2 6 ? 6? 10 ??
2 2 2 2

( 2 ) 由 余 弦 定 理 有 b ? a ? c ? 2ac cos x , 又 b ?

a , 从 而 c

ac(1 ? 2cos x) ? a2 ? c2 ? 2ac
? cos x ?
由此可得 ?

1 ? ?? ? x ? ? 0, ? ?????8 分 2 ? 3?

?
6

? 4x ?

?
6

?

7? 1 ,结合图象可得 m ? 1 或 ? .?????12 分 6 2

17. (本小题满分 12 分) 【解】 (1)

PO ? 3, PC ? PD ? PO ? DC ? ? ? ? PO ? 平面 ABCD .????6 分 2 2 2 OP ? OA ? PA ? PO ? OA ? ?

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(2) 取 AB 的 中 点 M , 分 别 以 OM , OC, OP 为 x, y , z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 则

A(

3 1 3 1 3 1 3 ,? , 0 )B ( , , , 0 ) , ?( 0 , 1, 0 ) , ?( D M , ,, 设 面 DAM 的 法 向 量 为 ) 2 2 2 2 4 4 2

??? ? ???? ? ?? 3 1 3 3 3 n1 ? ( x1, y1, z1 ) ,则 DA ? ( , , 0), DM ? ( , , ) ,令 2 2 4 4 2

3 1 x1 ? y1 ? 0 ? x1 ? 1 2 2 ,取 y1 ? ? 3 ,则 ? ,故面 DAM 的一个 3 3 3 ? z1 ? 1 x1 ? y1 ? z1 ? 0 4 4 2 ?? ?? ? 法 向 量 为 n1 ? (1,? 3,1) 同 理 可 求 得 面 DBM 的 一 个 法 向 量 为 n2 ? (3,? 3, 0) 从 而 . .

? ??? ?? ? ? ? DA ? n1 ? 0 ? ? ?? ???? ?? ? ? ? ? DM ? n2 ? 0 ? ? ? ?

?? ?? ? cos n1 , n2 ?

3?3 15 .????????12 分 ? 5 5 ?2 3
2

18. (本小题满分 12 分) 【解】(1) 函数 f ? x? ? x ?? x ?1 过 (0, ?1) 点,在区间 (4, 6) 上有且只有一个零点,则必 有? 分
1 1 2 1 1 C20C15 12 C20 ? C10C15 68 当 ? ? 4 时, P ? ,当? ? 5 时, P ? …………5 分 ? ? 2 1 2 2 C50 49 C50 245

? f (4) ? 0 ?16 ? 4? ? 1 ? 0 15 35 ?? ? 即: ? ,解得: ,所以,? ? 4 或? ? 5 …………3 4 6 ?36 ? 6? ? 1 ? 0 ? f (6) ? 0

? ? 4 与? ? 5 为互斥事件, 由互斥事件有一个发生的概率公式, 所以 P ?

68 12 128 ? ? 6 245 49 245

分 (2) 从该小学任选两名教职工,用 ? 表示这两人请假次数之差的绝对值,则 ? 的可能取 值分别是 0,1, 2,3 ,于是 P ?? ? 0 ? ?
2 2 2 C52 ? C10 ? C20 ? C15 2 ? , 2 C50 7

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 C5C10 ? C10C20 ? C15C20 22 C5C20 ? C10C15 10 , P(? ? 1) ? ? , P(? ? 2) ? ? 2 2 C50 49 C50 49
1 1 C5C15 3 …………10 分 ? 2 C50 49

P(? ? 3) ?

从而 ? 的分布列:

?

0

1

2

3

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P

2 7

22 49

10 49

3 49
…………12 分

2 22 10 3 51 ? 的数学期望: E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 7 49 49 49 49
19. (本小题满分 12 分)
n ( n ?1) 2 n ?1 2

lg(b1n q 【解】 an ? (1) n
??????6 分

)

? lg q

?

n ?1 n n ?1 1 d ) lg q ? lg q . lg q , ? an ?1 ? an ? ( ? 2 2 2 2


(2)由 a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ? n2n?3

得 a1b1 ? a2b2 ? ?? an?1bn?1 ? (n ? 1)2n?4 ② ②-①得

an?1bn?1 ? (n ? 2)2n?3 .
由于 an?1 ? 8 ? nd ,故 bn ?1 ?

b (n ? 2)2n ?3 2(n ? 3)(8 ? nd ) ,从而 n ? 2 ? (? ) 8 ? nd bn?1 (n ? 2) ?8 ? (n ? 1)d ?

由于 ?bn ? 是等比数列,故( ? )式右端应恒为常数,设为 q ,由此可得

2dn2 ? (6d ? 16)n ? 48 ? qdn2 ? q(8 ? 3d )n ? 2q(8 ? d )
根据上述恒等式可得

?q ? 2 ,? an ? 8 ? (n ?1)4 ? 4n ? 4 , b1 ? 2 ? bn ? 2 n ??????12 分 ? ?d ? 4
20. (本小题满分 13 分) 【解】(1)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则

? x12 ? 2 y12 ? 8 ? ,两式相减得 ? 2 2 ? x2 ? 2 y2 ? 8 ?

y1 ? y2 1 ?? . x1 ? x2 2
1 ? l 的方程为 y ? 1 ? ? ( x ? 1) ? x ? 2 y ? 3 ? 0 .????6 分 2 ??? ? ??? ? (2)设 AB : x ? 2 y ? m ,再设 AP ? ? PC ,由此得 (1 ? xA ,1 ? yA ) ? ? ( xC ?1, yC ?1)

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? ? 1 ? xA ? ? xC ? ?1 ? xA ? ? ( xC ? 1) ? ? ?? ?? . ?1 ? y A ? ? ( yC ? 1) ? y ? ? ? 1 ? y A ? C ? ?
由于点 A, C 均在椭圆上,且点 A 在直线 AB 上,故有

xC 2 ? 2 yC 2 ? 8 ?

(? ? 1 ? x A ) 2

?2

?

2(? ? 1 ? y A ) 2

?2

?8

? (? ?1)2 ? 2(? ?1) xA ? xA2 ? 2(? ?1)2 ? 4(? ?1) yA ? 2 yA2 ? 8? 2
? 3(? ? 1)2 ? 2m(? ? 1) ? 8(? 2 ?1) .
由 ? ? 0 ? 3(? ? 1) ? 2m ? 8(? ? 1) ? 2m ? 11 ? 5? . 设 BP ? ? PD ,同理有 2m ? 11? 5? ,故有 ? ? ? ,从而有 AB // CD . ????13 分 21. (本小题满分 14 分) 【 解 】 (1) 由 f ?( x) ? 2 x ? a ? 1 知 曲 线 y ? f ?x ? 在 点 P?x0 , y0 ? 处 的 切 线

??? ?

??? ?

x

2 ??x ? x0 ? ? x0 ? ax0 ? ln x0 , 将 原 点 O 代 入 , 经 化 简 得 为 : y ? ? 2 x0 ? a ? ? x0 ? ? ?
2 x0 ? ln x0 ?1 ? 0 . 易 知 函 数 u?x ? ? x 2 ? ln x ? 1 在 区 间 ?0,??? 上 为 递 增 函 数 ,

?

1?

注意到 故

u?1? ? 0
x0 ? 1.

,

????4 分

2 (2) 当 a ? ?1 时, f ?x? ? x ? x ? ln x .由 f ?? x ? ? 2 x ? 1 ?

1 ? x ? 1??2 x ? 1? ? 知:函数 x x
上 递 增 . 所 以 ????8 分

y ? f ?x ? 在 区 间

?0,1?

上 递 减 , 在 区 间

?1,???

f ?x? ? f ?1? ? 0 ,?b ? xf ?x ?, x ? 0 ,?b ? 0 即 b 的最小值为 0.

1 ? x 2 ? ? 2 ? a ? x ? a ? ? ln x x (3) F ? ? x ? ? . x e 1 1 1 2 设 h? x ? ? ? x ? ?2 ? a ?x ? a ? ? ln x ,则 h?? x ? ? ?2 x ? 2 ? ? 2 ? a . x x x 易知 h?? x ? 在 ?0,1? 上是减函数,从而 h??x ? ? h??1? ? 2 ? a . ????9 分 ?当 2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 时, h??x ? ? 0 , h?x ? 在区间 ?0,1? 上是增函数.
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? h?1? ? 0,? h?x? ? 0 在 ?0,1? 上恒成立,即 F ??x ? ? 0 在 ?0,1? 上恒成立. ????11 分 ? F ?x ? 在区间 ?0,1? 上是减函数,所以 a ? 2 满足题意. ?当 2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 时,设函数 h?? x ? 的唯一零点为 x0 ,则 h?x ? 在 ?0, x0 ? 上递增,在

?x0 ,1?

上 递 减 , 又 ? h?1? ? 0,? h?x0 ? ? 0 .

? F ?x ? 在 ?x0 ,1? 上 递 增 . 注 意 到

h?e?a ? ? 0 ,? F ?x ? 在 ?0, e ? a ?上递减.这与 F ?x ? 在区间 ?0,1? 上是单调函数矛盾.所以 a ? 2 不
合题意. 综合??得, a ? 2 . ????14 分

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