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现代通信光电子学


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第1章 第2章 章 第3章 第4章 第5章 第6章 6 第7章 第8章 第9章

电磁理论 光线和光束的传播 光波频率变换 激光光束的电光调制 激光光束的声光调制 光探测中的噪声 光辐射的探测 光波在光纤中传播 光波在介质波导中传播

2.0 引言 2.1 透镜波导 2.2 光线在反射镜面的传播 2.3 在类透镜介质中的光线 2.4 平方折射率介质中的波动方程 2.5 均匀介质中的高斯光束 2.6 在类透镜介质中的基模高斯光束 2.7 在透镜波导中的高斯光束 2.8 在均匀介质中的高斯光束高阶模 2.9 在平方折射率变化的介质中的高斯光束的高阶模 2.10 光波在二次型增益分布介质中的传播 2.11 椭圆高斯光束 2.12 旁轴A,B,C,D系统的衍射积分

2.0 引言 讨论各种光学介质中光线的传播问题。 均匀的各向同性材料、薄透镜、电介质界面、曲面镜 光线与波前垂直,了解光线通过光学器件的行为有助 于了解光波的行径 先定义光线矢量,引入光线矩阵来描述光线的行为

2.1 透镜波导
光学系统 设计 光路计算 用几何光学 分析光路 用矩阵代数 计算光路 首先定义光线矢量,然后以常用光学元件 为例,求出其光线传播的规律。

P 2

P 1
r 1
d

θ1

?r1 ? ? ? ?r′? ? 1?

r2
z

′ = dr = tgθ ≈θ , 1 r 1 1 1 dz

z1

z2

用列矩阵描述光线上的一点, 称其为光线矢量。

图2.1 光线矢量

? r2 ? ?1 d? ?r1 ? ?r ? ? ? =? ? r′ ? ?0 1 ? ? ′? =Td ? ′? ? ?r ? ?r ? ? 2? ? ? ? 1? ? 1?

Td 是从P1到P2光线的

变换矩阵,也叫光线 矩阵。

薄透镜 现在,我们首先考虑光线在薄透镜中的传播情况。令薄透 镜的焦距为f,从下图中不难看出以下关系式成立,

ro = ri ro′ = ri′ ? ri f
0 ? ? ri ? ? ro ? ?1 ? ′? = ? ?? ? ro ? ? ?1 f 1 ? ? ri′? ?

ri

ro

ri′
f f

ro′

薄透镜的光线矩阵

注意光线斜率的符号 !

厚度为d的均匀介质平板 薄透镜 厚度为 的均匀介质平板+薄透镜 的均匀介质平板

?1 0 ??1 d ? ? ri ? ? ? ro ? ?1 ? ′? = ? ?? ? ? ′? = ? ? 1 ? ro ? ? ?1 f 1 ?? 0 1 ? ? ri ? ? f ?

? ? ? ri ? d ?? ? (1 ? ) ? ? ri′? f ? d

一系列双周期性透镜 d d d

f1

f

2

f1

f

2

f1

f

2

f1

f

2

平面s

平面s+1

1 d ?? 1 d ? ? rs +1 ? ? ? ?? ? ? rs ? = ? A B ? ? rs ? d ?? 1 d ? ? ? ′ ? = ?? 1 ? ? (1 ? ) ?? ? (1 ? ) ? ? rs′ ? ? C D ? ? rs′ ? rs +1 ? ? ? ? ? f1 f1 ?? f 2 f2 ? ? ?

A B C D

= 1 ? = = =

d f2 d ) f2 1 (1 ? f2 d )] f1 d )] f2

? rs +1 ? ? A B ? ? rs ? ? ′ ?=? ?? ? rs +1 ? ? C D ? ? rs′ ? ?

d (2 ? ? [ ? [ 1 + f1

d ? (1 ? f1

d ) (1 ? f1

rs +1 = Ars + Brs′ rs′+1 = Crs + Drs′

推出

代 入

1 rs′ = (rs +1 ? Ars ) B 1 rs′+1 = (rs + 2 ? Ars +1 ) B
1 Crs + Drs′ = (rs +1 ? Ars ) B

rs + 2 ? ( A + D)rs +1 + ( AD ? BC )rs = 0 rs + 2 ? 2brs +1 + rs = 0

=1 1 d d d2 b = ( A + D) = 1 ? ? + 2 f 2 f1 2 f1 f 2

差分方程

微分方程

rs + 2 ? 2brs +1 + rs = 0 ? r ′′ + Gr = 0
可令其解 代入

rs = r0 e

isq

得到

e2iq ? 2beiq + 1 = 0 ? eiq = b ± i 1 ? b 2 = e± iθ
其通解等价为

rs = rmax sin( sθ + α )

b = cos θ
r0 和 r0′ 表达

rmax = r0 sin α
光线稳定的条件:

α θ
是实数



b ≤1

可以看出光线的半径(与光轴的距离)是透镜组数目的函数

光线稳定的条件:

θ

是实数

b ≤1

1 d d d2 b = ( A + D) = (1 ? ? + ) 2 f 2 f1 2 f1 f 2

d d d2 ?1 ≤ 1 ? ? + ≤1 f 2 f1 2 f1 f 2
如果稳定的条件被破坏,由式 解的形式 其中

rs + 2 ? 2brs +1 + rs = 0

rs = C1e(α + ) s + C2 e(α ? ) s

e

α±

= b ± b ?1
2

两者中总会有一个解大于1,所以光束半径随传输距离s 增加而增大。(如果是光学谐振腔,则损耗增加而不稳 定)

相同透镜构成的波导 d

?1 ro ? ?1 ri ? ? 0 ??1 d ? ? ? =? 1 ? ′? ?? ?? ? = ro ? ? ?1 f 1 ?? 0 1 ? ? ri′? ? ? ? ? f ?

? ? ? ri ? d ? ? (1 ? ) ? ? ri′? ? f ? d

b ≤1 0≤d ≤4f r 在第n个透镜处光束的半径为:s = rmax sin( nθ + α )
1 d b = ( A + D) = (1 ? ) 2 2f

光线稳定的条件:

d 1 b = ( A + D) = (1 ? ) = cos θ 2 2f

根据

rmax = r0 sin α

1 rs′ = (rs +1 ? Ars ) B

可求的:

4f (rmax ) = (r0 2 + dr0 r0′ + dfr0′2 ) 4f ?d
2

r0′ 4f tan α = ? 1 (1 + 2 f ) d r0

2.2 光线在反射镜面间的传播 M1
M1
P0

R1 R2
L

r2 , r2′ r1 , r1′ O2
r5 , r5′
L

M2

M2
腔长

θ1
θ0

β
R2

a a

r3 , r3′

P1

充满均匀介质

r4 , r4′
P2

r2 β= = θ1 + α R2
r2' = θ 2 = ?( β + α ) = ?[ β + ( β ? θ1 )] 2r2 =? + r1' R2

由反射镜构成的激光腔内的光线参量

P0
P 1 P 1

P 1
点反射

? r2 ? ? 1 L ?? r1 ? ? r1 ? ? ?=? ?? ? ? r′ ? ? 0 1 ?? r′? = TL ? r′? ? ? ?? 1 ? ? 2? ? ? 1?
? r3 ? ? 12 ? ? = ?? ? r′? ? ? 3 ? ? R2 0 ?? r ? ?? 2 ? = T ? r2 ? R2 ? ? r′ ? ? 1 ?? r ′ ? ? 2? ?? 2 ?

P2

? r4 ? ? 1 L ?? r3 ? ? ?=? ?? ? ? r ′ ? ? 0 1 ?? r ′ ? ?? 3 ? ? 4? ?
? r5 ? ? 12 ? ? = ?? ? r′ ? ? ? 5 ? ? R1 0 ?? r ? ?? 4 ? 1 ?? r ′ ? ?? 4 ?

P2

点反射

? r5 ? ? 12 ? ? = ?? ? r′ ? ? ? 5 ? ? R1

0? 1 L ? 1 ?? 2 ?? ? ? 1 ?? 0 1 ?? ? ?? R2 ??

0? 1 L ? r ? ? 1 ?? ? ?? ? 1 ?? 0 1 ?? r ′? ?? 1 ? ??

往返一周

? r1 ? ? A B ?? r1 ? =? ? C D ?? r ′ ? = T ? r ′? ?? ? ? ? ? ?? 1 ? ? 1?

T = TR1 TL TR2 TL

2L 2L A = 1? R2
?2 2 ? 2 L ?? ?1 ? ?? C = ?? + ? R1 R2 ? R1 ?? ? ?

L B = 2 L ? (1 ? ) R2
? 2 L ? 2 L ?? 2 L ?? ??1 ? ?? D = ?? ? ?1 ? ? ?? R1 ? R1 ?? R2 ?? ? ?

把以上结果推广到一般,光线在谐振腔内往返传播n次

r ? rn ? n? 1? ? ? =T ? ? ? r ′? ? r′ ? ? 1? ? n?
?A B? 1 ? A sin nφ ? sin (n ? 1)φ T =? ? C D ? = sin φ ? ? ? C sin nφ ? ? ?
n n

B sin nφ ? ? D sin nφ ? sin (n ? 1)φ ? ?

? An =? ?C ? n

Bn ? ? Dn ? ?

1 φ = arccos ( A + D ) 2

利用上式我们可以得到,经过n次 往返传播到达反射镜M处的光学参量

rn = An r1 + Bn r1′ rn′ = C n r1 + Dn r1′

直接用上节推导的公式可以对 称共焦光学谐振腔中腔镜上光 斑的轨迹

rs = rmax sin( sθ + α )

xn = xmax sin(nθ + α x ) yn = ymax sin(nθ + α y )

n圈重复相同光路?

2.3 在类透镜介质中的光线 1、类似高斯分布的激光束在弱吸收介质中传播 2、用光抽运的国体激光棒 3、介质波导 4、光纤波导 5、光波导管

dn / dT < 0 dn / dT > 0

n1 < n3 < n2

n~r

2

EL ( x, y)
入射光场复振幅
理想薄透镜

ER ( x, y)
出射射光场复振幅

其关系为:

ER ( x, y) = EL ( x, y)e

x2 + y 2 +ik 2f

f 是焦距,

k = 2nπ λ
常数

透镜的作用引起了与位置有关的相移。 设某介质的折射率

k2 2 2 n( x, y) = n0[1 ? ( x + y )] 2k

传输一距离后引起的相移与薄透镜类似

用光线在非均匀光学介质中传播的微分方程来描述光线的行为
d dr ?n = (n ) ds ds

r是s点的位置矢量 s是沿着光线到一固定点的距离
d d = ds dz k n( x, y) = n0[1 ? 2 ( x2 + y 2 )] 2k
r0′

对近轴光线

d 2r k2 + r =0 2 dz k

若z=0 处

是斜率

r0 是半径

直接得到方程的解
r( z) = cos(
k2 > 0

k2 k k )r0 + sin( 2 )r0′ k k2 k

k2 k2 k2 ′ r′( z) = ? sin( )r0 + cos( z)r0 k k k

tan?1 r′( z)
r ( z)

类似正透镜的作用

Z=0 平方率介质中的光线
k2 < 0

Z=l

k2 k2 k r( z) = cosh( )r0 + sinh( )r0′ k k2 k k2 k2 k2 r′( z) = ? sinh( )r0 + cosh( z)r0′ k k k

类似负透镜的作用

作业:2.1 2.2

2.3

2.4 平方率介质中的波动方程 从麦氏方程组出发
?× H = ε ?E ?t ?H ? × E = ?? ?t ? ? (ε E ) = 0

? ?2 E ? × ? × E = ? ? ? × H = ? ?ε 2 ?t ?t
矢量恒等式 2.4-1

? × ? × E ≡ ?(? ? E ) ? ? 2 E




?2 E 1 ? E ? ?ε 2 = ?? ? ( E ??ε ) ?t ε
2

ε

变化很小时,方程右边为零

?2E ? 2 E ? ?ε 2 = 0 ?t
假设光波电场

2.4-3

? 2 E ? k 2 (r ) E = 0

k (r ) = ω ?ε (r )[1 ?
2 2

iσ r

ωε

]

E ( x, y, z , t ) = Re[ E ( x, y, z )eiωt
介电参量与位置有关,k 为复数 平面电磁行波: 由于设定为高斯形光束

σ > 0 有损耗



σ < 0 有增益

k = kr + iki
介质特征常数

e

i (ωt ? kr z + ki z )

k 2 (r , φ , z ) = k 2 ? kk2 r 2 r 2 = x2 + y 2

由 k (r ) = ω ?ε (r )[1 ?
2 2

iσ r

ωε

]

iσ (0) ] 得 k (0) = ω ?ε (0)[1 ? ωε (0)
2 2

?2E ? 2 E ? ?ε 2 = 0 ?t

2.4-3

2 2 2 设其一个解的横坐标仅与 r = x + y 有关

式 2.4-3 中对空间的微分算符

?2 ?2 1 ? 1 ?2 ?2 ? 2 = ?i 2 + 2 = 2 + + 2 2+ 2 ?z ?r r ?r r ?φ ?z
属于近似平面波传播,取E为单个横向场分量

E = ψ ( x, y, z )eikz

?2E ? 2 E ? ?ε 2 = 0 ?t

r 2 = x2 + y 2

(2.4-3)

?i 2ψ ? 2ikψ ′ ? kk2 r 2ψ = 0
(2.4-8) 纵向场变化足够慢,满足:

k 2 (r , φ , z ) = k 2 ? kk2 r 2

E = ψ ( x, y , z )e


ikz

kψ ′

ψ ′′

k 2ψ

? k 2 ? ψ = exp ??i[ p( z ) + r ]? 2q ( z ) ? ?
用式 得到(2.4-10)式
2 2

并代入(2.4-8)

?2 ?2 1 ? 1 ?2 ?2 ? = ?i + 2 = 2 + + 2 2+ 2 ?z ?r r ?r r ?φ ?z

?k? 2 ? k ? 2 2 ? 1 ?′ ? ? ? r ? 2i ? ? ? k r ? ? ? 2kp′ ? kk2 r 2 = 0 ?q? ?q? ?q?
2

?k? 2 ? k ? 2 2 ? 1 ?′ ? ? ? r ? 2i ? ? ? k r ? ? ? 2kp′ ? kk2 r 2 = 0 ?q? ?q? ?q?
2

(2.4-10)

按照r的幂整理

? ? k ?2 ? 2 ?k? 2?1? ? ? ? ? ? k ? ? ? kk2 ? r ? 2i ? ? ? 2kp′ = 0 ? ?q? ? ?q? ?q? ? ?

如果2.4-10式对所有的r都成立,则
? 1 ? ? 1 ?′ k2 ? ? +? ? + = 0 ?q? ?q? k
2

i p′ = ? q

(2.4-11)

对比

?2E ? 2 E ? ?ε 2 = 0 ?t

(2.4-3)

光波的场分布函数 波动方程

?2 E ? 2 E ? ?ε 2 = 0 ?t

E = ψ ( x, y, z )eikz

波动方程
? 1 ? ? 1 ?′ k2 ? ? +? ? + = 0 ?q? ?q? k
2

i p′ = ? q

ψ =e

{? i[ p ( z ) +

k 2q( z )r
2

]}

2.5 均匀介质中的高斯光束 从
? 1 ? ? 1 ?′ k2 ? ? +? ? + = 0 ?q? ?q? k
2

p′ = ?

i q

(2.4-11)

按照

k 2 (r , φ , z ) = k 2 ? kk2 r 2 (2.4-5) 在均匀介质中 k2 = 0

1 d ?1? + ? ?=0 2 q dz ? q ?

或者
q = z + q0
任意积分常数

dq =1 dz
p′ = ?

(2.5-4)

i i =? q z + q0

p′ = ?

i i =? q z + q0 z ) q0

dp i =? dz z + q0

→ p( z ) = ?i ln(1 +

这里取新的积分常数 c = i ln q0 代入

i i p′ = ? = ? q z + q0

? k 2 ? ψ = exp ??i[ p ( z ) + r ]? 2q ( z ) ? ?

得到

? z k 2? ψ = exp ??i[?i ln(1 + ) + r ? q0 2(q0 + z ) ? ?

? z k 2? ψ = exp ??i[?i ln(1 + ) + r ? q0 2(q0 + z ) ? ?


2.5-7

πω02 n q0 = i λ

取积分常数为纯虚数

2π n λ= k

导致有物理意义的、束缚在轴附近的波 代入2.5-7式,分别考察式右边的两项,第一项

λz 1 λz ?1 exp[? ln(1 ? i 2 )] = exp[i tan ( 2 )] 2 2 2 4 2 πω0 n πω0 n 1 + ( λ z π ω0 n )
用公式

b ln(a + b) = ln a + b + i tan a
2 2 ?1

第二项
? ? ? ?ikr 2 ? ?r 2 ikr 2 ? ? exp ? = exp ? 2 ? ? ? 2( q0 + z ) ? ω0 ?1 + (λ z πω02 n) 2 ? 2 z ?1 + (πω02 n λ z ) 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?

2.5-10

第一项

λz 1 λz ?1 exp[? ln(1 ? i 2 )] = exp[i tan ( 2 )] 2 2 2 4 2 πω0 n πω0 n 1 + (λ z π ω0 n )
? ? λ z ?2 ? 定义下列参数: 2 z2 ? 2 2? ω ( z ) = ω0 ?1 + ? 2 ? ? = ω0 ?1 + 2 ? ? ? πω0 n ? ? ? z0 ? ? ? 2 ? ? πω 2 n ?2 ? ? z0 ? R = z ?1 + ? 0 ? ? = z ?1 + 2 ? ? ? λz ? ? ? z ? ? ?
? λz ? z η ( z ) = tan ? 2 ? = tan ?1 z0 ? πω0 n ? πω02 n z0 ≡
?1

2.5-9

λ



? ? ? ? ikr 2 ? ?r 2 ikr 2 ? ? exp ? ? ? ? = exp ? 2 2( q0 + z ) ? ω 0 ?1 + ( λ z πω 02 n ) 2 ? 2 z ?1 + (πω 02 n λ z ) 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?

2.5-10

exp[ ? ln(1 ? i

λz 1 λz )] = exp[i tan ?1 ( 2 )] πω 02 n πω 0 n 1 + ( λ 2 z 2 π 2ω 04 n 2 )

2.5-9 2.5-7

代入

? z k 2? ψ = exp ??i[?i ln(1 + ) + r ? q0 2(q0 + z ) ? ?
? ω0 kr 2 ? E ( x, y, z ) = E0 exp ??i [ kz ? η ( z ) ] ? i ? 2q ( z ) ? ω( z) ? ? ω0 ik ? ? 1 2? exp ? ?i [ kz ? η ( z ) ] ? r ? 2 = E0 + ?? ω ( z) ? ω ( z ) 2 R( z ) ?? ?

同时,使用定义的参数、考虑沿 z 传播

k=

2π n

λ

高斯光束的基本解

高斯光束的基本解

? ω0 kr 2 ? E ( x, y, z ) = E0 exp ??i [ kz ? η ( z ) ] ? i ? 2q ( z ) ? ω( z) ? ? ω0 ik ? ? 1 2? = E0 exp ? ?i [ kz ? η ( z ) ] ? r ? 2 + ?? ω ( z) ? ω ( z ) 2 R( z ) ?? ?
在推导时仅仅考虑了 r 2 = 没有考虑

2.5-14

x2 + y2

,更复杂的高阶模式

ω ( z) = r
等相面的 曲率半径

场振幅下降到原来的1/e, 故称之为光斑 大小,在z=0平面上的光斑 ω0 最小

1 ? ikR 1 E = e = exp(?ik x 2 + y 2 + z 2 ) R R 1 x2 + y 2 exp(?ikz ? ik ) x 2 + y 2 << z 2 R 2R

1 ? ikR 1 E = e = exp(?ik x 2 + y 2 + z 2 ) R R 1 x2 + y 2 exp(?ikz ? ik ) x 2 + y 2 << z 2 R 2R
R是高斯光束的曲率半径,定义曲率中心 z ′ > z R为负。已知高斯光束的最小光斑和位置 就可以唯一的确定其形式

? ω0 kr 2 ? E ( x, y, z ) = E0 exp ??i [ kz ? η ( z )] ? i ? 2q ( z ) ? ω ( z) ? ? ω0 ik ? ? 1 2? = E0 exp ??i [ kz ? η ( z ) ] ? r ? 2 + ?? ω ( z) ? ω ( z ) 2 R( z ) ? ? ?
? ? λ z ?2 ? z2 ? 2 2 2 ? ? = ω0 ?1 + 2 ? ω ( z ) = ω 0 ?1 + ? 2 ? z0 ? ? ? πω 0 n ? ? ? ? ? 2 ? ? πω 2 n ? 2 ? ? z0 ? 0 R = z ?1 + ? ? ? = z ?1 + 2 ? λz ? ? z ? ? ? ? ? ?

回顾

η ( z ) = tan ? 1 ?
πω 02 n z0 ≡ λ

? λz ? z = tan ? 1 ? πω 02 n ? z0 ?

ω 2 (0) = ω02 在 Z=0 的平面上光斑最小

x
z=0

?z

θbeam =
z

λ πω0

2.6 在类透镜介质中的基模高斯光束——ABCD定律

k2 ≠ 0
1 s′ = q s

? 1 ? ? 1 ?′ k2 ? ? +? ? + = 0 ?q? ?q? k
2

p′ = ?

i q

(2.6-1)

引入

(2.6-2) 得

k2 s′′ + s = 0 k

于是

k2 k2 s ( z ) = a sin z + b cos z k k k2 k2 k2 k2 s′( z ) = a cos z ?b z sin z (2.6-3) k k k k

A,b为任意常数 将 2.6-3 代入 2.6-2 ,得到的结果再用输入值q0表示,则

cos ? (k2 k ) z ? q0 + k k2 sin ? (k2 k ) z ? ? ? ? ? q( z ) = ? sin ? (k2 k ) z ? k2 k q0 + cos (k2 k ) z ? ?

2.6-4

? k 2 ? r ]? 上式的物理意义,从 ψ = exp ??i[ p( z ) + 2q ( z ) ? ?
? ikr 2 ? 得 ψ ∝ exp ?? ]? ? 2q ( z ) ? 把 q ( z ) 表示为复数 1 1 λ = ?i q ( z ) R( z ) π nω 2 ( z )

2.6-5

R( z )是光束的曲率半径,ω 2 ( z ) 是光束的光斑大小

类透镜介质中

cos ? (k2 k ) z ? q0 + k k2 sin ? (k2 k ) z ? ? ? ? ? q( z ) = ? sin ? (k2 k ) z ? k2 k q0 + cos (k2 k ) z ? ?

2.6-4

均匀介质中
q = z + q0

2.5-4

高斯光束的变换——ABCD定律
cos ? (k2 k ) z ? q0 + k k2 sin ? (k2 k ) z ? ? ? ? ? q( z ) = ? sin ? (k2 k ) z ? k2 k q0 + cos (k2 k ) z ? ?

2.6-4

光束通过类透镜介质的传播变换定律,可以把这种变换表示为
Aq1 + B q2 = Cq1 + D

2.6-6
q1 q2 = q1 ? +1 f
1 1 1 = ? q2 q1 f

薄透镜

? 1 ? ?? 1 f ?

0? ? 1? ?

薄透镜对光束的变换

1 1 1 = ? q2 q1 f

根据 得到

1 1 λ = ?i q ( z ) R( z ) π nω 2 ( z )
1 1 1 = ? R2 R1 f

2.6-5

ω2 = ω1

高斯光束穿过两个相邻的类透镜介质, 描述第一种介质的光线矩阵 描述第二种介质的光线矩阵 入射光束参量 q1 出射光束参量 q2
( A1 , B1 , C1 , D1 )

( A2 , B2 , C2 , D2 )

A1q1 + B1 q2 = C1q1 + D1

q3 =

A2 q2 + B2 AT q1 + BT = C2 q2 + D2 CT q1 + DT
B2 ? ? A1 ?? D2 ? ? C1 B1 ? ? D1 ?

传输矩阵

? AT ? ? CT

BT ? ? A2 ?=? DT ? ? C2

n个类透镜介质,则为n个光线矩阵的有序乘积 ABCD定律 用 求得复杂类透镜 系统任意平面z 处的光束半径和 光斑大小

1 1 λ = ?i q ( z ) R( z ) π nω 2 ( z )

例 高斯光束的聚焦

1 1 1 λ 1 = ? = ?i ? q2 q1 f π nω012 f q2 = = 1 ?i λ π nω012 ? 1 f ?a + ib a 2 + b2 b≡

输入光束

2ω01

输出光束 l

a≡

1 f

λ π nω012

由2.5-4 1 2 3

q = z + q0

输入光束的束腰在透镜中心, 根据

ω = ω01

R1 = ∞
?a = a2 + b

得知平面3处有



1 1 λ = ?i q ( z ) R( z ) π nω 2 ( z ) 1 1 λ λ = ?i = ?i q1 R1 π nω012 π nω012

q3 = q2 + l
2

+

a

2

ib + b

2

+ l

? ?a ( a 2 + b 2 ) + l ? ? ib ( a 2 + b 2 ) 1 1 λ ? = ?i = ? 2 2 2 q3 R3 π nω3 ? ?a ( a 2 + b2 ) + l ? + b 2 ( a 2 + b 2 ) ? ?

平面3相应于输出光束的束腰 用上式可以到处新的束腰位置
l=

R3 = ∞

a f f = = a 2 + b 2 1 + ( f πω01n / λ )2 1 + ( f z01 )2

比值

ω3 f πω01n f z01 = = 2 ω0 1 + ( f πω01n) 1 + ( f z01 ) 2

定义

πω01n z01 ≡ λ

共焦参数,它越小,汇聚性越强


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