安徽省黄山市2014届高三第三次质量检测数学文试题+WORD版

2014 年安徽省黄山市高考数学三模试卷(文科)
一、选择题 1.如图所示的韦恩图中,阴影部分对应的集合是(



A. A∩ B B.?U(A∩ B) C.A∩ (?UB) D.(?UA)∩ B 2.下列判断错误的是( ) A. 平行于同一条直线的两条直线互相平行 B. 平行于同一平面的两个平面互相平行 C. 经过两条异面直线中的一条,有且仅有一个平面与另一条直线平行 D. 垂直于同一平面的两个平面互相平行 3.若 p:x ﹣4x+3>0;q:x <1,则 p 是 q 的( ) A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知三个数 2,m,8 构成一个等比数列,则圆锥曲线 A. B. C. 或 的离心率为( )
2 2

D. ) D.



5.已知复数 z1=cos23°+isin23°和复数 z2=cos37°+isin37°,则 z1?z2 为( A. B.
*

C.

6.已知数列{an},若点{n,an}(n∈N )在直线 y+2=k(x﹣5)上,则数列{an}的前 9 项和 S9=( ) A. 18 B.﹣45 C.22 D.﹣18 7.已知函数 f(x)=sin(2πx+φ)的部分图象如图所示,点 B,C 是该图象与 x 轴的交点,过点 C 的直线与该图象交于 D,E 两点,则( )? 的值为( )

A.

B.
2 2

C.1

D.2

8.如果函数 y=|x|﹣2 的图象与曲线 C:x +y =λ 恰好有两个不同的公共点,则实数 λ 的取值范围是 ( ) A. {2}∪ (4,+∞) B. (2,+∞) C.{2,4} D.(4,+∞) 9.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表

广告费用 x(万元)4 2 3 5 销售额 y(万元) 49263954 根据上表可得回归方程 = x+ 的 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为( )

A. 63.6 万元 B.65.5 万元 C.67.7 万元 D.72.0 万元 n+1 * 10.已知函数 f(x)=x (n∈N )的图象与直线 x=1 交于点 P,若图象在点 P 处的切线与 x 轴交点 的横坐标为 xn,则 log2014x1+log2014x2+…+log2014x2013 的值为( ) A.﹣1 B.1﹣log20142013 C.﹣log20142013 D.1 二、填空题 11. (在棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 M 和 N 分别是矩形 ABCD 和 BB1C1C 的中心, 则过点 A、M、N 的平面截正方体的截面面积为 _________ . 12. (5 分) (2014?黄山三模)阅读下列程序框图,运行相应程序,则输出的 S 值为 _________ .

13.已知圆 x +y +mx﹣ =0 与抛物线 y=

2

2

的准线相切,则 m=

_________ .

14.已知 O 为坐标原点,点 M(3,2) ,若 N(x,y)满足不等式组

,则

的最大

值为 _________ . 15.对于函数 y=f(x) ,如果存在区间[m,n](m<n) ,当定义域是[m,n]时,f(x)的值域也是[m, n],则称 f(x)在[m,n]上是“和谐函数”,且[m,n]为该函数的“和谐区间”,现有以下命题: 2 ① f(x)=(x﹣1) 在[0,1]上是“和谐函数”; 2 ② 恰有两个不同的正数 a 使 f(x)=(x﹣1) 在[0,a]上是“和谐函数”; ③ f(x)= +k 对任意的 k∈R 都存在“和谐区间”; ④ 存在区间[m,n](m<n) ,使 f(x)=sinx 在[m,n]上是“和谐函数”; ⑤ 由方程 x|x|+y|y|=1 确定的函数 y=f(x)必存在“和谐区间”. 所有正确的命题的符号是 _________ . 三、解答题 16. (12 分)在△ ABC 中,已知∠ A= ,边 BC=2 ,设∠ B=x,△ ABC 的周长记为 y.

(Ⅰ )求函数 y=f(x)的解析式,并指出其定义域; (Ⅱ )求函数 y=f(x)的单调区间及其值域. 17. (12 分)2014 年“五一节”期间,高速公路车辆较多,交警部门通过路面监控装置抽样调查某一 山区路段汽车行驶速度,采用的方法是:按到达监控点先后顺序,每隔 50 辆抽取一辆,总共抽取 120 辆,分别记下其行车速度,将行车速度(km/h)分成七段[60,65) ,[65,70) ,[70,75) ,[75, 80) ,[80,85) ,[85,90) ,[90,95)后得到如图所示的频率分布直方图,据图解答下列问题:

(Ⅰ )求 a 的值,并说明交警部门采用的是什么抽样方法? (Ⅱ )求这 120 辆车行驶速度的众数和中位数的估计值(精确到 0.1) ; (Ⅲ )若该路段的车速达到或超过 90km/h 即视为超速行驶,试根据样本估计该路段车辆超速行驶的 概率.

18. (12 分)已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的三视图及直观图如图所示,根据图中所给数据,解答下列 问题:

(Ⅰ )求证:C1B⊥ 平面 ABC; (Ⅱ )试在棱 CC1(不包含端点 C、C1)上确定一点 E 的位置,使得 EA⊥ EB1; (Ⅲ )求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积. 19. (13 分)已知数列{an},a1=a,a2=p(p 为常数且 p>0) ,Sn 为数列{an}的前 n 项和,且 Sn= .

(Ⅰ )求 a 的值; (Ⅱ )试判断数列{an}是不是等差数列?若是,求其通项公式;若不是,请说是理由. (Ⅲ )若记 Pn= + (n∈N ) ,求证:P1+P2+…+Pn<2n+3.
*

20. (13 分)已知椭圆 直线 l 的距离为 . (1)求椭圆的方程;

(a>b>0)和直线 l:y=bx+2,椭圆的离心率 e=

,坐标原点到

(2)已知定点 E(﹣1,0) ,若直线 y=kx+2(k≠0)与椭圆相交于 C,D 两点,试判断是否存在实数 k,使得以 CD 为直径的圆过定点 E?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由. 21. (13 分)设函数 (a>0) ,g(x)=bx +2b﹣1.
2

(1)若曲线 y=f(x)与 y=g(x)在它们的交点(1,c)处有相同的切线,求实数 a,b 的值; (2)当 时,若函数 h(x)=f(x)+g(x)在区间(﹣2,0)内恰有两个零点,求实数 a 的

取值范围; (3)当 a=1,b=0 时,求函数 h(x)=f(x)+g(x)在区间[t,t+3]上的最小值.

19. ∴ a=0;

解: (Ⅰ )依题意 a1=a,又 a1=

=0,

(Ⅱ )由(Ⅰ )知 a1=0, ∴ ,则 ,两式相减得(n﹣1)an+1=nan, =(n﹣1)p,n≥2,

故有

又 a1=0 也满足上式,∴ an=(n﹣1)p,n∈N+, 故{an}为等差数列,其公差为 p. (Ⅲ )由题意 ,

∴ Pn =

+

=

=2+



∴ P1+P2+…+Pn=(2+ ﹣ )+(2+ ﹣ )+…+(2+ =2n+3﹣ <2n+3.



20. ∴ ∴ b=1

解: (1)直线 l:y=bx+2,坐标原点到直线 l 的距离为



∵ 椭圆的离心率 e=



∴ ∴ a =3 ∴ 所求椭圆的方程是 ;
2 2 2

(2)直线 y=kx+2 代入椭圆方程,消去 y 可得: (1+3k )x +12kx+9=0 2 ∴ △ =36k ﹣36>0,∴ k>1 或 k<﹣1 设 C(x1,y1) ,D(x2,y2) ,则有 x1+x2= ∵ =(x1+1,y1) , ∴ EC⊥ ED ∴ (x1+1) (x2+1)+y1y2=0 2 ∴ (1+k )x1x2+(2k+1) (x1+x2)+5=0 ∴ (1+k )× 解得 k= >1, ∴ 当 k= 时,以 CD 为直径的圆过定点 E
2

,x1x2=

=(x2+1,y2) ,且以 CD 为圆心的圆过点 E,

+(2k+1)×(

)+5=0

21.

解: (1)因为
2

,g(x)=bx +2b﹣1,

2

所以 f′ (x)=x ﹣a,g′ (x)=2bx.…(1 分) 因为曲线 y=f(x)与 y=g(x)在它们的交点(1,c)处有相同切线, 所以 f(1)=g(1) ,且 f′ (1)=g′ (1) . 即 解得 ,且 1﹣a=2b,…(2 分) .…(3 分)

(2)当 a=1﹣2b 时,
2

(a>0) ,

所以 h′ (x)=x +(1﹣a)x﹣a=(x+1) (x﹣a) .…(4 分) 令 h′ (x)=0,解得 x1=﹣1,x2=a>0. 当 x 变化时,h′ (x) ,h(x)的变化情况如下表: x (﹣∞,﹣1)﹣1 (﹣1,a)a (a,+∞) h′ (x) + 0 ﹣ 0 + h(x) ↗ 极大值↘ 极小值↗ 所以函数 h(x)的单调递增区间为(﹣∞,﹣1) , (a,+∞) ,单调递减区间为(﹣1,a) .…(5 分) 故 h(x)在区间(﹣2,﹣1)内单调递增,在区间(﹣1,0)内单调递减.…(6 分)

从而函数 h(x)在区间(﹣2,0)内恰有两个零点,当且仅当

…(7 分)



解得



所以实数 a 的取值范围是 (3)当 a=1,b=0 时,

.…(8 分) .

所以函数 h(x)的单调递增区间为(﹣∞,﹣1) , (1,+∞) ,单调递减区间为(﹣1,1) . 由于 , ,所以 h(﹣2)=h(1) .…(9 分) .…(11 分)

① 当 t+3<1,即 t<﹣2 时,…(10 分)[h(x)]min= ② 当﹣2≤t<1 时,[h(x)]min= .…(12 分)

③ 当 t≥1 时,h(x)在区间[t,t+3]上单调递增,[h(x)]min= 综上可知,函数 h(x)在区间[t,t+3]上的最小值为[h

.…(13 分)

(x)]min=

…(14 分)


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