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江苏省石榴高级中学高三数学第一次月考

江苏省石榴高级中学 2009 届高三第一次月考 数学试题
注意事项: 1.本试卷共 160 分,考试用时 120 分钟. 2.答题前,考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题卡上.考试结束后,交回 答题卡. 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相 应答题线上. ) 1.已知 U = {1,2,3,4,5},集合 A={1,2},则 2.函数 f ( x) ? log 1 (4 x ? 3) 的递减区间为___
2

C A=
U



.

_★______. ★ .

3.若函数 y = x + (a + 2) x + 3,的图象关于直线 x=1 对称,则 a =

2

4.函数 f ( x) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? sin x ,当 x ? 0 时, f ( x) 的表达式 为 ★ . 5. 已知 p : x ? 1 , q : x ? 2 ,那么 p 是 q 的 的 ★ 条件. (填写: “充分非必要” 、

“必要非充分” 、 “充分必要” 、 “既不充分也不必要”中的一种情况)

? 1 x ?( ) ? 1( x ? 0) 6.设函数 f ( x) ? ? 2 ,已知 f (a) ? 1 ,则 a 的取值范围为____★ _. 1 ? 2 ? x ( x ? 0) 7. 已知命题 p 为“所有负数的平方都是正数” ,则命题“非 p ”是 ★ x 8. 用二分法求函数 f ( x) ? 3 ? x ? 4 的一个零点,其参考数据如下:
f(1.6000)=0.200 f(1.5625)=0.003 f(1.5875)=0.133 f(1.5562)=-0.029 f(1.5750)=0.067 f(1.5500)=-0.060 ★

.

x 据此数据,可得方程 3 ? x ? 4 ? 0 的一个近似解(精确到 0.01)为

.

9.设偶函数 f ( x) ? loga | x ? b | 在(??,0) 上递增函数,则 f (a ? 1)与f (b ? 2) 的大小关系 是 ★ . ★ ★ . .

p p 10.若函数 f(x)=x - ? 在 (1, +∞) 上是增函数, 则实数 p 的取值范围是 x 2
11.如果幂函数 y = (m - 3m + 3) x
2 m2 - m - 1

的图象不过原点,则 m 的取值是

12. 若关于 x 的方程 4 - x2 - kx - 2 = 0 只有一个实根,则实数 k 的取值





.

13. 定义运算 a ? b ? ?

?a?a ? b ? , 例如, 1 ? 2 ? 1 ,则函数 f(x)= 1 ? 2 x 的值域为 ? ? b a ? b ?



.

14.已知函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? b ( x ? R)

给出下列命题:①f(x)必是偶函数;②f(0)= f(2)
2

时,f(x)的图象必关于直线 x=1 对称;③若 a ? b ? 0 ,则 f(x)在区间 [ a, ??) 上是增函数; ④f(x)有最小值 | a ? b | ,其中正确命题的序号是
2



.

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15 15.已知函数 f ( x) ? ?

?cx ? 1 ? ? ?2
? x c2

(0 ? x ? c) (c ≤ x ? 1)

?1

满足 f (c ) ?
2

9 . 8

(1)求常数 c 的值;

(2)解不等式 f ( x) ?

2 ? 1. 8

16.(本小题满分 14 分) 已知集合 A= {x | ( x ? 2)[ x ? (3a ? 1)] ? 0} ,B= {x | (1)当 a=2 时,求 A B;

x ? 2a ? 0} x ? (a 2 ? 1)

(2)求使 B ? A 的实数 a 的取值范围

17.(本题满分 14 分)

x 2 ? 2x ? a , x ? [1, ?) 已知 b 函数 f ( x) ? x
(1) 当 a ? 0 时,判断函数 f(x)的单调性,并证明你的结论; (2) 当 a ?

1 时,求函数 f(x)的最值。 2

18.(本题满分 14 分) 随着机构改革开作的深入进行,各单位要减员增效,有一家公司现有职员 2a 人(140<2a <420,且 a 为偶数 ) ,每人每年可创利 b 万元. 据评估,在经营条件不变的前提下,每 .

裁员 多创利 0.01b 万元,但公司需付下岗职员每人每年 0.4b ..1 人,则留岗职员每人每年 .... 万元的生活费, 并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的 效益,该公司应裁员多少人?

3 , 为获得最大的经济 4

19.(本题满分 14 分) 设函数 f(x) = (1)求 m 值. (2)求 g(x)的定义域. (3)若 g(x)在[-

1og

1- mx x- 1 a

为奇函数, g(x) = f(x) +

log

(x- 1)(ax + 1) a

( a>1,且 m ? 1 )

5 3 ,- ]上恒正,求 a 的取值范围. 2 2

20.(本小题满分 16 分) 对于定义域为 D 的函数 y ? f ( x) ,若同时满足下列条件: ① f ( x) 在 D 内单调递增或单调递减; ②存在区间[ a , b ] ? D ,使 f ( x) 在[ a , b ]上的值域为[ a , b ]; 那么把 y ? f ( x) ( x ? D )叫闭函数 (1)求闭函数 y ? ? x 符合条件②的区间[ a , b ];
3

(2)判断函数 f ( x) ? (3)若 y ? k ?

3 1 x ? ( x ? 0) 是否为闭函数?并说明理由; 4 x

x ? 2 是闭函数,求实数 k 的取值范围.

江苏省石榴高级中学 2009 届高三第一次月考 数学试题参考答案
一、填空题:1.{3,4,5} 2. 12 3. 45 4. 1 5.1.2 6. 98 7 . 48 8. 32 9. m>1 10.23 11.1 12.k<-1 或 k=0 或 k>1 ; 13.(0,1] ; 14.③ 二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15.略 16.解: (1)当 a=2 时,A=(2,7) ,B=(4,5)∴ A B=(4,5)………4 分 (2)∵ B=(2a,a2+1) , 当 a<

1 时,A=(3a+1,2) 3
? 2a ? 3a ? 1
2 ?a ? 1 ? 2

………………………………………6 分

要使 B ? A,必须 ? 当 a=

,此时 a=-1;…………………………… 7 分

1 时,A= ? ,使 B ? A 的 a 不存在;……………………………………10 分 3 1 当 a> 时,A=(2,3a+1)……………………………………………………12 分 3
要使 B ? A,必须 ?

? 2a ? 2
2 ? a ? 1 ? 3a ? 1

,此时 1≤a≤3 ………………………13 分

综上可知,使 B ? A 的实数 a 的取值范围为[1,3]∪{-1}………………14 分

17.解:(1)当 a ? 0 时,函数 f(x)是 [1, ??) 单调增函数。……………1 分 证明:任取 x1,x2 ? [1, ??) 且 x1<x2,则

x12 ? 2 x1 ? a x22 ? 2 x2 ? a ( x1 ? x2 )( x1 x2 ? a) f(x1)-f(x2)= = …………………4 分 x1 x2 x1 x2
x1,x2 ? [1, ??) 且 x1<x2,a<0?

( x1 ? x2 )( x1 x2 ? a) <0……………………………6 分 x1 x2

? f(x1)<f(x2)由单调性定义知 f(x)为 [1, ??) 单调增函数。…………………………8 分
(2)当 a ?

1 时, 2

同理可证 f(x)在 [1, ? ) 是增函数,……………………………………………10 分

? 当 x=1 时,f(x)的最小值为 f (1) ?
又 f(x)无最大值

7 2

………………………………12 分

……………………………………………………………14 分

? f(x)只存在最小值为

7 2

…………………………………………………15 分

(若用导数处理则类似给分) 18.解:设裁员 x 人,可获得的经济效益为 y 万元,则

y ? (2a ? x)( b ? 0.01bx ) ? 0.4bx ? ?
依题意

b [ x 2 ? 2(a ? 70) x] ? 2ab 100

…………5 分

2a ? x ?

3 a ? 2a ? 0 ? x ? . 又140 ? 2a ? 420, 70 ? a ? 2 1 .0 ……7 分 4 2

a , 即70 ? a ? 140时, x ? a ? 70, y 取到最大值;……………10 分 2 a a (2)当 a ? 70 ? , 即140 ? a ? 210时, x ? , y 取到最大值;……………………13 分 2 2 答:当 70 < a ? 140,公司应裁员为 a - 70,经济效益取到最大值
(1)当 0 ? a ? 70 ? 当 140 < a < 210,公司应裁员为

a ,经济效益取到最大值………………………15 分 2

18.(1) f ( x)是奇函数,f ( x)=-f (-x)  loga 1 ? mx ? x ? 1 2 ? , x ? 1 ? (mx) 2 ? 1 x ? 1 1 ? mx ? (m 2 ? 1) x 2 ? 0, 又m ? 1 ?

1 ? mx 1 ? mx ?x ?1 ? ?loga ? loga x ?1 ?x ?1 1 ? mx

? m ? ?1................................................................................................4分 (2)由(1)f ( x)=loga x必须满足 ( x?1)(ax?1)?0 .................................................................6分 ?(x+1)(x-1)>0 x+1 x+1 , g ( x) ? loga ? loga ? ( x ? 1)(ax ? 1) ? x-1 x-1

1   ? x ? ?1或x ?( 1 a>1,- >-1) a ? g ( x)的定义域为{x:x ? ?1或x ? 1}............................ 8分.

3? ? 5 (3) a>1,g ( x)在 ?- ,- ? 上恒正, 2? ? 2 即( x ? 1)(ax ? 1) ? 1.........................................................10分 ? ax ? 1 ?
x

1 x ?1

? ax ? ?

?a ? ?

1 x ?1

................................................................11分

x ?1 3? ? 5 x ? ?- ,- ? 2? ? 2 ?? 1 x ?1 ?? 1 3

? 2 ? a ? 2........................................................13分

(? ) ?1 2 ? a的取值范围是 ?2,+? ? ..................................................14分

?b ? ?a 3 ? ?a ? ?1 3 20 解: (1)由题意, y ? ? x 3 在[ a , b ]上递减,则 ?a ? ?b 解得 ? ?b ? 1 ?b ? a ?
所以,所求的区间为[-1,1] (2)取 x1 ? 1, x2 ? 10, 则 f ( x1 ) ?

………4 分

………………………………………………5 分

7 76 ? ? f ( x 2 ) ,即 f ( x) 不是 (0,??) 上的减函数 4 10 1 1 3 3 , x2 ? , f ( x1 ) ? ? 10 ? ? 100 ? f ( x 2 ) , 取 x1 ? 10 100 40 400
即 f ( x) 不是 (0,??) 上的增函数 所以,函数在定义域内不单调递增或单调递减,从而该函数不是闭函数 …………9 分

(3)若 y ? k ?

x ? 2 是闭函数,则存在区间[ a , b ],在区间[ a , b ]上,函数 f ( x) 的值域

? ?a ? k ? a ? 2 ? 为[ a , b ],即 ?b ? k ? b ? 2 ,? a, b 为方程 x ? k ? x ? 2 的两个实数根, ?
即方程 x2 ? (2k ? 1) x ? k 2 ? 2 ? 0( x ? ?2, x ? k ) 有两个不等的实根 ………11 分

? ?? ? 0 ? 9 当 k ? ?2 时,有 ? f ( ?2) ? 0 ,解得 ? ? k ? ?2 ………………………………13 分 4 ? 2k ? 1 ? ? ?2 ? 2

? ?? ? 0 ? 当 k ? ?2 时,有 ? f ( k ) ? 0 ,无解 ………………………………15 分 ? 2k ? 1 ? ?k ? 2
综上所述, k ? ( ?

9 ,?2] ………………………………………………………… 4


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