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普通高级中学必修选修科目「数学」课程纲要(草案)


2006 年 12 月 06 日

普通高級中學必修選修科目「數學」課程綱要(草案) 普通高級中學必修選修科目「數學」課程綱要(草案) 選修科目
目標 理念
1. 每冊有一主題,讓學生能掌握主要脈絡,建構清晰的數學概念。 2. 學習化繁為簡、以簡御繁的數學思考方法及解題策略。 3. 注意歸納思維的訓練,讓學生發現規律性,發展數學建模基本能力。 4. 以重要的圖形與實例充實抽象思維的內涵。 5. 強調數學的應用,凸顯數學的普遍性與本質性。

原則
1. 要能把握其他學科所需要的核心題材。 2. 要能銜接大學基礎課程。

教材綱要
1. 2. 普通高級中學必修科目「數學」課程十六學分。 普通高級中學選修科目「數學」課程三至八學分。

1

數學 I:函數(4 學分) 主題 數 數 數 數
一 、 數 與 式

子題 數

內容











分 分 函數
二 、 多 項 函 數

函數 函數:

函數

) ) 函數

2

值) 2.2 插值多項函數 3.多項方程式 3.1 二次方程式的根(含複數根與複數的四則運 算) 3.2 有理根判定法、勘根定理、二分逼近法、n 次方根 3.3 實係數多項式的代數基本定理、虛根成對定 理 4.多項函數的圖形與多項不等 4.1 辨識已分解的多項函數圖形及處理其不等式 式 1. 數定 與 數 1.1 1.2
三 、 指 數 、 對 數 函 數

問題 數 數成 數、分數與實數的 的問題 及其 及 (含 (含定 、算 式 與次方問題 問題 、 法 不等 數定

2.

數、對數函數及其圖形

2.1 2.2 式) 2.3

y = 10 x 的函數圖形、 )
y = log x 函數圖形、

、對數定 的 、 、 數方程式與 題、 分





數、對數函數與 插法與 數 處理 數不等式的 、 算

3.對數定



3.1 對數 3.2 3.3

附 錄

識定理的



3

數學 II:有限數學(4 學分) 主題
一 、 數 列 與 級 數

子題 數 數學 數 數 數 ) 數

內容

二 、 排 列 、 組 合

三 、 機 率

4 分
四 、 統 計



4

數 分 數 數 : : 數 數 分 數





4

主題
一 、 數 列 與 級 數

子題

內容

附 錄

5

數學 III:平面坐標與向量(4 學分) 主題 坐標與 子題 坐標 坐標 ( ) 平 內容

一 、 三 角

4 面

坐標與 與

坐標 與

4



4 4 平面與 量

二 、 直 線



)

標 平面向量
三 、 平 面 向 量



) 數 數 與

坐標 平面

平面向量







6

主題

子題

內容

(

)

一 、 三 角

二 、 直 線

7

主題

子題

內容

(

)

一 、 三 角

二 、 直 線

8

數學 IV:線性代數(4 學分) 主題 子題 線 內容 線

: 數 線 內 內 數 線性

一 、 空 間 向 量

4

4

4



線 線



數 線 代 代數



二 、 矩 陣

線性

9

主題

子題

內容





一 、 空 間 向 量

10

主題

子題

內容





一 、 空 間 向 量

曲 線 次

二 、



11

主題

子題

內容





一 、 空 間 向 量

12

主題

子題

內容





一 、 空 間 向 量

13

主題

子題

內容





一 、 空 間 向 量

14

2

2

15

數學 V:解析幾何初步(3-4 學分) 主題 子題 數 數 3 數
一 、 三 角 函 數

內容



數 數

A sin (ω ? t + θ0 )


A

ω ? t + θ0

3



3

數 )



4



4 數 4

數 幾何 數 數 數 數




二 、 極 限 與 函 數



數 數 子



3



3 3

數 數





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數學 VI:微積分初步(4 學分) 主題 數 微分 微分 數
一 、 微 分

子題

內容

微分 數



4 微分學

4 4 4



積分 微積分 微積分 積

二 、 積 分

積分

積分 分

積分 積分 數 積 主 積

4 積分

4



: :

數 學

數學 VI 微積分 數學 VI
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指定考科之數甲微積分部分只考數學 VI 之範圍.

實施辦法
一. 教材編寫 二. 教學進度
1. 各校可配合學生學習情況,彈性調整學習進度

三. 評量
1. 學力測驗範圍:數學I至Ⅳ 2. 數學乙範圍:數學I至V(不含*部分) 3. 數學甲範圍:數學I至Ⅵ

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附錄一:綱要內容說明 一:綱要內容 附錄一:綱要內容說明
數學Ⅰ:函數
函數是表現兩量關係的數學符號,是作為數學與具體世界連結的媒介。近年來,由 於許多學科的數量化與數學化的需求,使得各國的高中數學教育特別重視函數這個主題 及其應用,在先進國家,函數的學習還輔以電腦繪圖,以建立學生函數與圖形的直觀連 結。本次課綱修訂,也因應世界潮流,加強函數這個主題。在高中階段,學生要學習基 本函數(多項函數、指對數函數、三角函數)的基本操作、性質、圖形及應用。

一、數與式
在第一章的「數與式」中,先複習整數系與有理數系,並作適度的延伸,整數的延 伸為介紹輾轉相除法,但不探討整數論的題材,有理數的延伸為介紹循環小數,但循環 小數為有理數的題材,則留待極限的章節再討論。藉由有理數的十進位表示法,導入介 紹實數的十進位直觀表示法(此處不涉及實數的連續性觀念) ,並將實數與數線作連結。 由數線上的方程式複習變數的觀念,並進行文字符號的形式運算,包括展開、分解與化 簡,以與國中課程連結,並作為學習函數的基礎。實數系的形式運算是數的至精至簡的 表現。

二、多項函數
最基本的函數是多項函數,它是由變數與係數經加法與乘法所組合而成。在第二章 「多項函數」裡,首先複習函數的定義以及一次與二次函數,作為與國中課程的銜接。 在二次函數裡,學生要複習配方法、平移、極值、判別式、正定性,能繪圖並能應用。 在單項函數 y = cx n 中,學生要能繪圖、瞭解函數的奇偶性、單調性,直觀認識凹凸性, 並作函數圖形的平移。 在一般多項式的應用,我們提出兩個課題,一是多項式的求值,一是插值多項式。 原則上多項式可以透過四則運算求值,也因為如此,多項式被用來逼近一般函數,並用 來求一般函數的近似值。另外,多項式也被用來作為插值的工具。插值方法很重要,它 可以以少量的數據表現大量資訊,展現數學的效率性。 除法是處理多項式的核心方法。一般多項式透過與低次多項式的相比(即相除) ,可
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得多項式的不同表現,並可用來求值。比如將多項式 f ( x ) 除以 ( x ? a ) ,可得 f ( a ) ;連續 除以 ( x ? a ) 可得 f ( x ) 的 ( x ? a ) 冪方展開式,它可用來求 f ( x ) 在 a 附近的近似值。又如將

f ( x ) 分別除以 ( x ? a ),( x ? b ),( x ? c ),得餘式 α , β ,γ ,可用來表現通過 (a, α ),(b, β ) ,

(c, γ ) 的插值多項式。這種將一般多項式與低次多項式相比的方法是數學思維中「以簡御
繁」的一個典型例子。在多項方程式的除法課題裡,具體多項式仍不宜超過五次,重要 是學會除法的精神。餘式定理與因式定理是除法原理的推論。因式定理可用來証明插值 多項式的唯一性。拉格朗日插值公式是多項式的另一表現法,可方便求插值。學生學到 一階、二階的拉格朗日插值即可,以避免繁瑣的計算。 多項方程式的課題是要求多項式的實根。首先處理二次方程式的求根問題,包括判 別式、根的公式解、根與係數關係,以及它們的應用。在二次方程式的複數根裡,介紹 複數的四則運算、共軛複數以及二次方程式的共軛複數根(虛根成對) ,但不涉及複數平 面以及複數的幾何意涵,此段內容留待三角函數時再處理。二次以上的整係數多項式可 用簡單的因式分解(如平方差、立方和、立方差)或牛頓定理求有理根。但此部份的多 項式不宜太高次,內容也不宜太強調,以免學生誤會實係數的多項方程的根都是有理數。 一般多項式的主要求實根的辦法是勘根定理,此處重點以低次多項式與 n 次方根為主。 最後談一般實係數多項式的虛根成對定理,並介紹一般實係數多項式可分解為一次式與 二次式乘積的代數基本定理。 多項函數的圖形與多項不等式的重點主要是讓學生辨識到已分解的多項函數的圖形 特徵(包括零根位置、重根的意涵、函數值的正負) 。圖形可在書上呈現,或以電腦繪圖 展示。

三、指數、對數函數
生活周遭與自然界中有許多呈指數成長或衰退的現象,如人口成長、細胞分裂、放 射性元素衰變、藥物代謝、複利等。透過這些實例引領學生學習以指數建立數學模型, 認識等比數列、等比級數以及指數方程式的問題,以引發學生學習指數、對數函數的動 機。在指數建模之前需先介紹指數定律、根式運算。 為解決上述指數方程式的問題,介紹以十為底的指數函數與對數函數,包括定義域 與值域、單調性、凹凸性(此處僅作割弦在函數圖形下方的直觀介紹,不涉及凹凸性的嚴 格定義)。對數定律是處理指數方程式的核心方法。對數定律包括 log( xy ) = log x + log y ,

log ( x / y ) = log x ? log y , log(x α ) = α log x 。它將乘除問題化為加減問題,次方問題化為
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乘除問題。在介紹對數定律時,不要列出太多衍生的公式,以免打亂了上述化簡的核心 思想。對數定律的應用包括處理大、小數的乘除與次方問題、指數方程式的應用問題、 指數不等式的應用問題,以及認識一般算幾不等式。無應用意義的指數、對數方程式與 不等式應予刪除。 1 log x log a 的換底公式,也就是對數函數的換底只是在Y軸上的伸縮。傳統上換底公式常製造出許 關於一般底的對數函數,僅需介紹 y = log a x 等價於 a y = x ,以及 log a x = 多難題,並無實用的意義,這類題材應予刪除。

數學 II:有限數學
二十世紀以計算機的發明,提供人類有力工具處理大量數據,促使許多學門進行數 量化與數學化的革命,計算機科學與統計科學也因運而生。有限數學是相關基礎數學的 統稱,包括離散數學(數列與級數、排列組合)、離散的古典機率論,以及簡單的統計。 雖然有限數學的課題上仍是古典的內容,但因應時代的發展,應有新的視角,特別應強 調它的實用內涵,而不要鑽研到人工化的難題。

一、數列與級數
數列與級數的章節是作為有限數學的先備知識。此處主要是讓學生發現數列的規律 性,歸納成公式,並用數學歸納法加以證明。核心的公式包括一階遞迴關係與二項式展 開的二變元遞迴關係。級數部分包括基本的求和公式(如等比級數與多項式求和公式) 與Σ符號的操作。

二、排列、組合
排列組合以及計數的問題,最基本的公式通常並不複雜,學生學習的困難常在於無 法把文字敘述的題目,適當地「翻譯」與「對應」到該用的公式,同時應該強調分辨「計 數對象是什麼」的重要性,也就是要分清楚「什麼跟什麼是不同的物件」 。
21

排列組合的題材應盡量與機率統計的題材相互呼應,不相應的內容宜避免,以往教 材中的難題應刪除。

三、機率
對於機率與統計,主要讓學生了解隨機的本質,並能學到估計的概念,而不只是學 到數學的計算。各種概念產生的背後原因,如機率的性質,期望值及變異數、信賴區間 等,更應闡釋清楚。

四、統計

數學 III:坐標與向量幾何
坐標幾何是透過直角坐標系的架設,將幾何問題代數化,透過代數的形式運算解決 幾何問題。本冊的架構是先談在垂直與平行概念下的直線及其應用,再來談三角與三角 測量。有了三角的基礎後,可以進入具角度概念下的向量幾何,透過向量的運算,處理 幾何中長度角度面積等問題。

一、直線
本章探討在垂直與平行的概念下的直線方程式及其應用。直線的型式主要談點斜 式,其他型式如斜截式、兩點式等不需另立名稱,可再應用時才推導,不要讓學生背太 多公式,而是要讓他們多練習推演。在兩線關係中,先談平行與垂直關係,如過一點垂 直或平行於另一給定直線的直線方程式。其次談兩聯立方程式的幾何意涵 (相交、平行) , 以及一些幾何與物理的應用,如外心、反射、鏡射等問題。在線性規劃這一節裡,將直 線與具體世界做連結,可使學生體認到數學的應用性與普遍性。

二、三角
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本章探討三角形的邊角關係及其應用。角度的概念由直角三角形與極坐標切入,並 連結到直角坐標系。在極坐標下,廣義角度只需談±360°的範圍,向徑在 r ≥ 0 的範圍即可。 三角形的邊角關係先介紹銳角的正弦、餘弦與正切。對廣義角三角函數的求值是透過參 考角與補角關係來處理。學生透過特殊角的三角函數的求值,熟悉直角坐標與極坐標的 變換。 三角的核心內容為正弦與餘弦定理。正弦定理由面積公式推得,在向量幾何時,它 發展成外積公式。餘弦定理由距離公式推得,差角公式與其為等價公式,在向量幾何時 它發展成內積的公式。餘弦定理、差角公式、內積可用直角坐標方法統一處理。海龍公 式則為正弦與餘弦定理結合的應用。 差角公式是計算兩線或兩向量交角的核心公式,其衍生公式如和角、倍角、半角公 式,可用於三角函數的求值與三角測量。和差化積與積化和差的題材因涉及不同週期的 三角函數的叠合,不需在高中時處理,此題材應予刪除。 最後透過平面與立體的三角測量,讓學生學會三角的應用。三角測量應注意測量的 策略與實用性,不宜出不可行或太困難的問題。

三、平面向量
向量在物理上是用來表現力與速度,它是只有長度、方向意涵而不管起始點的抽象 符號。由幾何角度而言,用坐標幾何探討幾何性質時,應與所架設的坐標系的原點所在 無關,這正符合向量是不管起始點的概念,因此向量成為探討平面幾何自然且精簡的語 言。

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向量概念與運算要將其有向線段的意涵與位置向量的坐標意涵做緊密的結合。位置 向量所形成的向量空間( ? 2 空間)具代數運算的結構,即線性組合、內積、外積,它就 如同實數系般,是向量至精至簡的表現,可將幾何問題代數化,也可將線性方程組問題 賦予幾何意涵,是學生未來學習線性代數、多變量微積分、向量分析、多變量統計分析 的基礎。因此,位置向量的線性組合、內積與外積是本章的重點。而純粹以有向線段(沒 有坐標表現的向量)所推導平面幾何性質的題材應予減少。 向量的線性組合題材包括向量的合成與分解,向量的分解應與二元一次聯立方程組 相結合。平面上的點可由兩不平行向量的線性組合來表現,可用來作特殊點的定位,如 重心、外心,但傳統的分點公式不宜過度延伸。平面上的直線可由兩向量以帶參數的線 性組合方式表現,可用來刻劃直線上的運動。 內積與外積是在直角坐標系下,兩單位向量所夾角的餘弦與正弦的表現。事實上, 經由餘弦定理可得 a b cos θ = a1b1 + a2 b2 ,經由正弦定理可得 a b sin θ = a1b2 ? a2 b1。這兩 個公式是向量幾何的核心公式。左端是具幾何表現的投影與高,右端展現代數的雙線性、 對稱性與反對稱性。 內積的應用包括兩向量的直交化(將向量分解成對另一向量平行與垂直的兩個分 量)、直線的法線式、點與直線的距離、直線與圓的關係(柯西不等式的應用)、兩直線的 夾角、兩直線垂直的判定等。傳統柯西不等式的應用不宜過度延伸。 外積的應用包括面積的計算與兩直線平行的判定。二階行列式(即外積)應與二元

? a x + b1 y = c 1 一次聯立方程組連結。二元一次聯立方程組 ? 1 有兩個意涵,即兩直線關係與 ?a2 x + b2 y = c2
線性組合 c = xa + yb 。其有解的判定為行列式不等於 0,分別代表兩直線不平行,或兩行
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向量 a 、 b 不平行,其公式解為克拉瑪公式。

數學 IV:線性代數
一、空間向量
首先介紹空間中的線、面及其相互關係,如垂直、平行、相交。其次介紹直角坐標 系以及距離公式。距離公式是三維空間的畢氏定理,是空間幾何的基石。 空間向量的舖陳與平面向量大致相同,包括線性組合、內積與外積,以及三元一次 聯立方程組的應用。空間向量的線性組合包括特殊點的定位、直線與平面的參數式。 空間中兩向量的內積是其夾角的餘弦在直角坐標系下的表現,具雙線性與交換性。 內積的應用包括兩向量的直交化(正射影、高、柯西不等式)、平面的法線式、兩平面 的夾角、點與面的距離、以及兩向量垂直的判定。 空間中兩向量的外積是其夾角的正弦以及公垂向量在直角坐標系下的表現。外積性 質有雙線性與反對稱性,外積的主要應用包括,計算兩向量所張出之平行四邊形的面積、 求兩向量所張出的平面方程式、求兩歪斜線的距離。 體積是空間幾何的另一主題。在介紹體積時,要先說明平行六面體的體積公式為底 面積乘以高。再來介紹三階行列式的體積公式。行列式要三元一次聯立方程組的幾何意 涵相結合,即行列式不等於 0 對應於三平面交於一點,或三行向量所形成的平行六面體 體積不為 0。

二、矩陣
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矩陣是線性代數、離散數學、多變量微積分、多變量統計分析的基本工具,對自然 科學與社會科學的學生都需要。 矩陣的介紹可由線性方程組切入,介紹高斯消去法,並配合實用的例子。其次介紹 一般矩陣的加法、純量乘法、乘法。矩陣的應用介紹轉移矩陣。最後介紹二階方陣的線 性映射意涵與二階反方陣,此部分的學習應與線性組合相連結。

三、二次曲線
平面解析幾何處理平面上的一般曲線,最簡單的曲線是二次曲線。在此章介紹圓、 橢圓、雙曲線、拋物線的標準式,以及相對應的焦點、長短軸、準線、漸近線。雙曲線 x2 y2 部份包括 2 ? 2 = ±1 與 xy = c 的兩種形式。 a b 在二次曲線與直線的關係中,僅討論圓的情況,也不探討圓錐曲線的光學性質,此 部份留待大學時再處理。

數學 V:解析幾何初步
一、三角函數
在三角函數裡首先介紹弧度的觀念,並介紹定義在單位圓上的三角函數及其周期性 質。討論它們的倒數關係、商數關係、平方關係,但三角恆等式不宜過度操作。 三角函數的應用包括橢圓的參數式及其應用,波動現象的刻劃,如正餘弦函數的叠 合。

二、極限與函數

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數學 VI:微積分初步
一、微分 二、積分的計算與應用

27

附錄二:綱要說明範例 附錄二:綱要說明範例
數學 I:函數
一、數與數線
1.數與數線 1.1 數線上的有理點及其十進位的表示法 透過有理數的相除意涵,認識有理數可以用有限小數或循環小數來表示,此處讓學生 操作分母為一位數的有理數即可。

1.2 實數系:實數的十進位表示法、四則運算、絕對值、大小關係 實數與數線上的點有一一對應,透過不斷地十等分的細分,直觀介紹實數可用有限 或無限小數表示。

2 可表為無限小數
定義絕對值 根數的運算與化簡:如
1 = 2 +1 2 ?1

a2 = a
算幾不等式 ab ≤
a+b 2

2. 數線上的幾何: 2.1 數線上兩點距離與分點公式

如能算出介於 a , b 之間且與 a , b 距離之比為 2:3 之點 x 。
2.2 含絕對值的一次方程式與不等式

x ? 3 < 2 且 x ? 1 < 1 之解的範圍為 1 < x < 2

0

1

2

3

4

5

x

28

3. 文字、符號的運算 對文字符號所組成的代數式能進行展開、分解及化簡等形式運算。

3.1 乘法公式與因式分解(立方和、立方差)

(a + b)

3

、 ( a + b ) ( a 2 ? ab + b 2 ) 、 ( a ? b ) ( a 2 + ab + b 2 ) 、 ( a + b + c ) 、
2

( x + y ? 1)( x ? y + 2 ) 、 (1 ? x ) (1 + x + x 2 ) 的展開式與逆運算
3.2 分式與根式的運算與化簡

a 2 ? b2 ( a + b )( a ? b ) 能化簡繁分式與根式,如: = = a ?b、 a+b a+b

1 2ab 1 = = 、 2 2 1?1 1? a +b ?a? ?b? ? + ? ? ? +? ? 2?a b? ?c? ?c?

c a 2 + b2

二、多項函數
1.簡單多項函數及其圖形 1.1 複習一次、二次函數、配方法、圖形、極值、判別式、正定性、應用實例

y = mx + b = m ( x ? x0 ) 之 m, x0 , b 之幾何意涵
正定性:判斷 x 2 ? x + 4 恆為正 極值問題的應用
1.2 單項函數之奇偶性、單調性、凹凸性、圖形平移

瞭解函數 y = x n , n = 1, 2, 3, 4 在 [ ?1,1] 的行為

29

型如 y = cx n , n 為正整數的函數之奇偶性、單調性、凹凸性,其中凹凸性僅作直觀 的介紹,如: x 3 在 x < 0 為凸,在 x > 0 時為凹,不涉及凹凸性的嚴格定義。 瞭解 c 的正負、大小與函數 y = cx n 圖形的關係 能畫出 y = c ( x ? h ) + k 之圖形
n

2.多項式的運算與應用 2.1 乘法、除法(含綜合除法)、除法原理(含餘式定理、因式定理)及其應用(含多項函數

的求值)

( x ? a ) ( x n?1 + x n?2 a + ? + a n?1 ) = x n ? a n ,n = 2,3,4
除法中除式為一次或二次式 透過連續的多項式綜合除法,求
f ( x ) = 2 x 3 ? 5 x 2 + 6 x + 3 = a + b ( x ? 1) + c ( x ? 1) + d ( x ? 1) 中的 a , b, c, d 與求
2 3

f (1.01) 之二位小數近似值。

2.2 插值多項函數:透過因式定理證明插值多項式的唯一性

設通過 (1,1) , ( 2, 3) , ( 3, 7 ) 之多項式為 f ( x ) = a + b ( x ? 1) + c ( x ? 1)( x ? 2 ) ,求 a , b, c 及

30

?1? f? ? ?2?

插值多項式:通過 (1, 3) , ( 2, 5) , ( 3,8) 之多項式可表示為

f ( x) = 3 ×

( x ? 2 )( x ? 3) ( x ? 1)( x ? 3) ( x ? 1)( x ? 2 ) ? 3? + 5× + 8× ,求 f ? ? 之值。 (1 ? 2 )(1 ? 3) ( 2 ? 1)( 2 ? 3) ( 3 ? 1)( 3 ? 2 ) ?2?

3.多項方程式 3.1 二次方程式的根(含複數根):判別式、公式解、複數的引進(不引進複數平面與複數 的幾何意涵)、複數的四則運算、共軛複數、根與係數關係 ?6 = 6 i 根與係數關係: 設 x 2 + 5 x + 3 = 0 之二根為 α 與 β ,求 α 2 + β 2 、 α 3 + β 3 3.2 有理根判定法、勘根定理、二分逼近法、n 次方根 本節談論的是一般實係數之多項式,整係數多項式之因式分解不必太過強調,以免 學生誤會實係數多項式的根都是有理根。 四次以下多項式的因式分解(應以能用到第一章的乘法公式為限) 勘根定理: f ( x ) = x 3 + 2 x 2 + 3x + 4 的實根、 x n = a 的求解

3.3 實係數多項式的代數基本定理、虛根成對定理

證明虛根成對定理,並告知實係數多項式可分解為一次式與二次式的乘積:

f ( x ) = k ( x ? a1 ) 1 ? ( x ? ak ) k ( x 2 + b1 x + c1 ) ? ( x 2 + bm x + cm )
r r s1

sm

其中二次式為

質式。 利用除法求 f ( x ) = 5 x 4 + 3x 3 + 2 x ? 1 在 x = 2 + i 之值
31

4. 多項函數的圖形與多項不等式 4.1 辨識已分解的多項函數圖形及處理其不等式問題 只談低次或已分解的多項不等式問題,並能辨識函數圖形特徵(根的位置、重根、 函數值正負的區間,重根不超過三次),儘量透過電腦繪圖協助學生建立圖形與函數的 連結。

( x ? 1)( x + 2 ) ( x ? 4 ) > 0 、 ( x ? 1)( x ? 2 )
2

3

(x

2

+ x + 1) > 0

x3 ? 1 > 0 、 x4 ? 2x2 ? 3 > 0

三、指數、對數函數
1.指數定律與指數建模 1.1 指數為整數、分數與實數的指數定律 n 次根數的操作 指數為分數的指數函數的單調性

1.2 指數建模問題 複利、人口成長、細胞分裂、放射元素衰變、藥物代謝、貸款等問題 等比數列、等比級數

2.指數、對數函數及其圖形
2.1 介紹 y = 10 x 的函數圖形、性質及其特徵(單調性) 2.2 介紹 y = log x 函數圖形、性質及特徵(含定義域、對數定律、單調性、凹凸性、算幾不
32

等式) 算幾不等式 ab ≤
a+b log a + log b ?a +b? 等價於 ≤ log ? ? ,等式成立於 a = b 2 2 ? 2 ?
1

a1 + ? + a n n log a1 + ? + log a n ? a + ? + an 等價於 ≤ log? 1 n n ?

一般算幾不等式 (a1 ? a n )n ≤

? ?, ?

此處凹凸性僅作割弦在函數圖形下方的直觀介紹,不涉及凹凸性的嚴格定義。

2.3 一般底的指數、對數函數與換底公式

y = a x 等價於 x = log a y a x = 10α x , log a x =
1

α

log x ,α = log a ,也就是指數函數的換底不過是定義域上的伸

縮;對數函數的換底則是在值域上的伸縮。
3.對數定律的應用 3.1 對數表、內插法與使用計算器 3.2 科學記號、首尾數,處理乘除與次方問題 3.3 指數方程式與指數不等式的應用問題,如複利、人口成長、細胞分裂、放射元素衰變、

藥物代謝、貸款等問題。

33

數學 II:有限數學
一、數列與級數
1.數列 1.1 發現數列的規律性 一階遞迴關係 由具體實例讓學生由前數項推測下一項,並歸納出遞迴關係,如 an +1 = an + d 、 an +1 = ran 、 an +1 = an + n 、 an +1 = an + n 2 、 an +1 = ( n + 1) an 1.2 數學歸納法

2. 級數 2.1 介紹Σ符號及其基本操作 展開式與Σ形式的互換 Σ的性質 ∑ ( ak + bk ) = ∑ ak + ∑ bk , ∑ cak = c ∑ ak
k =1 k =1 k =1 k =1 k =1 n n n n n

換指標 ∑ ak = ∑ ak ?1
k =1 n k =2 n

n

n +1

歸納出 ∑ k 、 ∑ k 2 、 ∑
k =1 k =1

1 之公式,並用數學歸納法證明。 k =1 k ( k + 1)

n

二、排列、組合

IV.2.1 集合 IV.2.1.1 集合的定義、集合的表示法、集合元素的計數(應介紹符號 |S|,用以表示一個 集合 S 的元素個數)。

34

IV.2.1.2 窮舉法,樹狀圖:原始的計數仍然出自窮舉法,但可使用樹狀圖幫助組織資料, 以達成計數目的。 例: 電腦裡的檔案通常依照樹狀結構組織起來,例如(括弧中數字表示檔案個數) : 我的電腦

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所以總共有 10+8+3+5+7+21+4+1+3+6 = 68 個檔案。 IV.2.1.3 一一對應原理:在兩集合之間如果能建立一一對應,則兩集合的元素數相等。 例: 有 51 個人參加網球單淘汰賽,就是說任何一位選手只要輸一場,就被淘汰出局。並且每 一場比賽都一定有一位得勝,不允許有和局。在每一輪比賽中,將選手盡可能地配對相 比。如果有奇數位選手,則暫時剩下一位。只要比賽進行足夠多次,最後就會有一位冠 軍出現。請問總共要比賽幾場,才能產生冠軍?因為 51 不算是太大的數目,當然可以使 用直接安排比賽程序得出答案。但是更能看出問題核心的辦法,是觀察出下面的一一對 應。因為每一場比賽會產生唯一的失敗者,而且每位選手如果會失敗,也只會失敗一次, 所以比賽的場次與失敗者之間有一個一一對應,也就是說比賽場數等於失敗者人數。因 為最後只有冠軍一個人從來不曾失敗,所以一共剛好比賽 50 場。

35

IV.2.2 計數原理:加法原理、乘法原理、取捨原理 加法原理:假設 A 與 B 是不相交的有限集合,則 |A ∪ B| = |A| + |B|。 介紹 A, B 為兩集合時,乘積集合 A × B 的定義。乘法原理:|A × B| = |A|?|B| 取捨原理只考慮最多三個集合間的取捨,令 A, B, C 為三個有限集合,則 (1) |A ∪ B| = |A| + |B| ? |A ∩ B| (2) |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| ? |A ∩ B| ? |B ∩ C| ? |C ∩ A| + |A ∩ B ∩ C| 另外可用文氏圖說明取捨原理。 IV.2.3 排列 IV.2.3.1 直線排列、重複排列 直線排列: 1. n 個相異物件的排列數為階乘數 n!。 (球與籃子模式:把編號是 1 到 n 的球,放入編號是 1 到 n 的籃子裡,每個籃子恰放一 個球,放法總數為階乘數 n!。) 2. 從 n 個元素的集合中,每次取出 k 個相異元素做排列,則總數為排列數 Pkn = n! 。 (n ? k )!

(球與籃子模式:把編號是 1 到 k 的球,放入編號是 1 到 n 的籃子裡,每個籃子最多放 一個球,放法總數為排列數 Pkn 。) 重複排列:從 n 個元素的集合中,每次取出 k 個元素做排列,允許重複取出同樣的 元素,則總數為 nk。 (球與籃子模式:把編號是 1 到 k 的球,放入編號是 1 到 n 的籃子裡,每個籃子裡 的球數沒有限制,放法總數為 nk。) 重複排列可看做是乘法原理的推廣,例如投銅板,出現正面記為 1,出現反面記為 0。若
36

令集合 A={0,1},則投 n 次所有可能結果的集合為 An = A × A × . . . × A(共乘 n 次),其 元素個數為 2n。 IV.2.4 組合 IV.2.4.1 組合、重複組合 組合:從 n 個元素的集合中每次取出 k 個相異元素,不同取法的總數是組合數 ?n? n! ? ?= ? k ? k! (n ? k )! 。 ? ? (球與籃子模式:把 k 個沒有編號且不可分辨差異的球,放入編號是 1 到 n 的籃子 ?n? 裡,每個籃子最多放一個球,放法總數為組合數 ? ? 。) ?k ? ? ? ?n? (當代組合數學日漸以 ? ? 為組合數的標準符號,建議高中課本中以此符號,取代 ?k ? ? ? C(n,k)或 C kn 。) ?n? n! 由組合數的基本公式 ? ? = ? k ? k! (n ? k )! ,經簡單計算得出的式子,盡量賦予選取物件式 ? ? 的組合解釋。 重複組合:從 n 個元素的集合中每次取出 k 個元素,允許重複取出同樣的元素,則 ? n + k ? 1? 不同取法的總數為重複組合數 ? ? k ?。 ? ? ? (球與籃子模式:把 k 個沒有編號且不可分辨差異的球,放入編號是 1 到 n 的籃子 ? n + k ? 1? 裡,每個籃子裡的球數沒有限制,放法總數為重複組合數 ? ? k ? 。) ? ? ? 對於給定的 n 與 k,方程 x1 + x2 + ? ? ? + xn = k 的非負整數解總數也是重複組合數 ? n + k ? 1? ? ? k ?。 ? ? ? (建議重複組合數不需再引進符號 H(n,k)或 H kn 來表示。) IV.2.5 二項式定理
37

IV.2.5.1 以組合概念導出二項式定理 利用組合的概念推導出 (x + y)n 展開式中一般項的形式。

IV.2.5.2 巴斯卡三角 利用二項式定理所推導的各種公式,盡量賦予選取物件式的,或者計數棋盤上路徑的解 釋,以增加學生對於組合的直觀認識。

三、機率
1.樣本空間與事件 藉由集合來說明事件之未發生,幾個事件的同時發生、至少有一件發生等。 班上同學有人生日相同的機率 樣本空間為投銅板五次的所有可能,事件為「正面出現的次數為 3」 2.機率的定義與性質 藉由生活中的實例,以說明機率函數要滿足的基本條件。並證明機率函數的一些性 質。 3.條件機率與貝氏定理 3.1 獨立事件、條件機率、貝氏定理

4.隨機變數 4.1 機率質量函數 班上同學的學測級分相對次數圖(X 軸為學測級分,Y 軸為該成績之相對次數) 投銅板三次,正面出現的機率質量函數圖(X 軸為正面出現的次數(X=0,1,2,3),Y 軸 為該次數出現的機率) 4.2 期望值 對一隨機變數,常想粗略地知道其值究竟多大,期望值就是常被拿來扮演這種以一 單一的值,來代表一隨機現象中變數大小的角色。 4.3 變異數
38

期望值像是隨機變數之一核心,隨機變數之可能值,則散佈在期望值的左右。變異 數之正的平方根,稱為標準離差,便是用來表示隨機變數之可能值,與其期望值偏離之 大小。 5.二項分布 5.1 重複試驗、二項分布 說明此分布之由來,且強調處處可見。給出其機率密度函數,並以二項式定理,驗 證此確為一機率密度函數。 ?n? k n?k 假設每次買彩券中獎的機率為 p,買 n 次彩券中獎 k 次的機率: ? ? ( p ) (1 ? p ) ?k ? 5.2 二項分布之性質 繪出二項分布機率密度函數之圖形,求出期望值 np 及變異數 np (1 ? p ) 。

四、統計
1.數據分析 1.1 分析一維數據:平均數與標準差、數據的標準化 平均數: ? = 1? n ? ? ∑ xk ? ,標準差: σ = n ? k =1 ?
xi ? ? 1? n 2? ? ∑ ( xk ? ? ) ? 。將數據 xi 轉為 xi = σ n ? k =1 ?

1.2 分析二維數據:散佈圖、相關係數

2 抽樣與統計推論 2.1 抽樣方法:簡單隨機抽樣

說明常要收集資料以對隨機現象做推論或預測。並說明何時要普查,何時要抽樣調 查,並介紹隨機抽樣法。
2.2 介紹及使用亂數表

介紹亂數表之使用,並說明何時可使用
2.3 二項分布與常態分布

介紹常態分布及其圖形。對二項分布,說明當實驗次數較多,可以常態分布做為其 近似。
39

2.4 信賴區間與信心水準的解讀 對一給定的 p 及 n,以亂數表模擬投擲出現正面機率為 p 之銅板 n 次,介紹信心水準 的意義。對一給定的信心水準,給出 p 之信賴區間公式。並說明在相同的 n、p 下,若全 班每位同學皆給一信賴區間,是否大多數的同學,所得之信賴區間會涵蓋 p。 附錄:最小平方法(先將數據標準化)

40

數學 III:坐標與向量幾何
一、直線
1.直線方程式及其圖形 1.1 斜率、點斜式(其他型式如兩點式不特別提及公式,可在例中推導) 1.2 兩線關係(垂直、平行、相交)、聯立方程式 過直線外一點與該直線平行、垂直的直線方程式。 三角形的外心 三線共點

2.線性規劃 2.1 二元一次不等式,能夠在坐標平面上標示滿足二元一次不等式的區域 2.2 線性規劃(目標函數為一次式) :學生應了解平行直線系 ax + by = k 。線性規劃中目標 函數限為一次式。

二、三角
1. 廣義角與極坐標 1.1 直角三角形的邊角關係(正弦、餘弦,正切) 、平方關係 只談正弦、餘弦,正切的定義及正餘弦的平方、餘角關係

1.2 廣義角與極坐標 1.3 廣義角的正弦、餘弦、正切及補角關係 引進參考角的概念,利用補角關係,將廣義角的三角函數求值化為銳角三角函數之 求值。參考角 α 的定義為廣義角 θ 與 X 軸的銳夾角,如
41

θ = ±150°, α = 30°; θ = ±225°, α = 45°; θ = ±300°, α = 60° .
1.4 直角坐標與極坐標的變換 0 ≤ r < ∞, 0 ≤ θ < 360°

2 正弦、餘弦定理 2.1 面積與正弦定理、長度與餘弦定理、海龍公式

面積與正弦定理:將△ABC 之A點置於原點,B 置於 ( c, 0 ) ,則 C 點置於

( b cos A, b sin A) ,由面積公式可得
1 △ABC 面積= c ? b sin A 2

同理可得

1 △ABC 面積= a ? c sin B 2 1 △ABC 面積= a ? b sin C 2

長度與餘弦定理:將△ABC 之 A 點置於原點,B 置於 ( c, 0 ) ,則 C 點的坐標為

( b cos A, b sin A) ,由距離公式得 a 2 = ( b cos A ? c )
海龍公式

2

+ ( b sin A) = b 2 + c 2 ? 2bc cos A
2

3. 差角公式

設 A ( cos θ1 , sin θ1 ) ,B ( cos θ 2 , sin θ 2 ) ,應用餘弦定理於△OAB,由可得

cos (θ1 ? θ 2 ) = cos θ1 cos θ 2 + sin θ1 sin θ 2

( cos θ2 ,sin θ2 ) ( cos θ1 , sin θ1 )

給兩直線方程式求其交角
42

和角、倍角、半角公式 計算 cos15
4.三角測量

三角測量應注意測量的策略及其實用性。 4.1 查表或使用計算器 4.2 含平面與立體測量

三、平面向量
1.平面向量的表示法 1.1 幾何表示、坐標表示,加減法、係數乘法

向量為有向線段的幾何表示法 證明簡單平面幾何的性質,如三角形兩邊中點連線定理。 求三角形的外心、重心。 向量為位置向量的坐標表示法
1.2 線性組合、平面上的直線參數式

向量的合成:線性組合、分點公式、三角形的重心 ?4? ?1? ?2? 向量的分解,如將 ? ? 分解為 ? ? 與 ? ? 的線性組合 ? 5? ?2? ?1? 直線的參數式與直線上的運動

? ?1? 能在平面上標示出 ? x ? ? + ? ? 2?
2.平面向量的內積

? ? 2? y ? ? 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1? 的區域 ?1? ?

2.1 內積與餘弦定理、正射影、柯西不等式、法向量、兩直線的夾角、點到直線的距離
43

內積與餘弦定理 a = ( a1 , a2 ) , b = ( b1 , b2 ) 由餘弦定理得 ( a1 ? b1 ) + ( a2 ? b2 ) = a + b ? 2 a b cos θ
2 2 2 2

( b1 , b2 )
b
θ

( a1 , a2 )
a

展開可得 a ? b = a b cos θ ,其中 a ? b 定義為 a1b1 + a2 b2 平行四邊形定理的證明 柯西不等式 ax + by ≤ ( a 2 + b2 )( x 2 + y 2 ) ,可處理圓與直線關係。

兩向量的直交化:將向量(4, 5)分解為與(1, 2)垂直與平行的兩個分量。

3.面積與二階行列式 3.1 面積公式與二階行列式的定義與性質 三角形面積的行列式公式 三角形△OAB,O=(0,0),A=(a,b),B(c,d) y

B ( b1 , b2 )

A ( a1 , a2 )

?OAB面積 = =

1 1 1 b1b2 + ( a2 + b2 )( a1 ? b1 ) ? a1a2 2 2 2

1 ( a1b2 ? a2 b1 ) 2

x O D C 由 a , b 向量所張開的平行四邊形面積
a b ? a ?b
2 2

(

)

2

=

(a

2 1

+ a2 2 )( b12 + b2 2 ) ? ( a1b1 + a2 b2 ) = a1b2 ? a2 b1
2

行列式的性質 3.2 兩直線幾何關係的代數判定

? a x + b1 y = c 1 考慮聯立方程組 ? 1 ,其幾何關係是指兩線為相交、平行或重叠, ?a2 x + b2 y = c2
其線性組合關係是指 c 可否表現為 a 、 b 的線性組合,
44

其代數判定是指 a 、 b 所形成之行列式是否為 0。

45

數學 IV:線性代數
一、空間向量
1.空間概念 1.1 空間中兩直線、兩平面、及直線與平面的位置關係

2. 空間向量的坐標表示法 2.1 空間坐標系:點坐標、距離公式 2.2 空間向量的加減法、係數乘法,線性組合、直線與平面的參數式

3.空間向量的內積 3.1 內積與餘弦定理、兩向量的直交化、柯西不等式 可由坐標幾何定義向量內積,再由餘弦定理證明 a ? b = a b cos θ 。 3.2 平面的法線式、兩平面的夾角、點到平面的距離、兩向量垂直的判定

4.三元一次聯立方程組 4.1 加減消去法、代入消去法 4.2 含直線的參數式、點到直線的距離、兩平行線的距離 4.3 三平面幾何關係的代數判定

? a1 x + b1 y + c1 z = d1 ? 考慮三元一次聯立方程組 ?a2 x + b2 y + c2 z = d 2 ,探討其三平面關係之意涵、線性組 ?a x + b y + c z = d 3 3 3 ? 3
何之意涵以及其行列式之判定

5.外積、體積與行列式
46

5.1 外積、兩向量所張出之平行四邊形面積 兩向量之公垂向量 空間中兩向量所張出之平行四邊形面積
A =| a | | b | ? a ? b
2 2 2

(

)

2

=

a2 b2

a3 b3

2

+

a3 b3

a1 b1

2

+

a1 b1

a2 b2

2

兩歪斜線的距離
5.2 三向量所張出之平行六面體體積與三階行列式的定義與性質

空間中平行六面體體積為底面積乘以高 三階行列式與平行六面體的體積 行列式的性質與降階法

二、矩陣
1.線性方程組與矩陣

含列運算與高斯消去法。

2.矩陣的運算 2.1 矩陣的加法、純量積、乘法

含方陣與行矩陣的乘法

3.平面上的線性映射與二階方陣 ?1 2 ? ?1? ?0? ?1? ? 2 ? 令A=? ? , A 將 ? 0 ? 與 ? 1 ? 分別映射到 ? 2 ? 與 ? ?1 ? 。 ? 2 ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 行列式為線性映射面積比的意涵
47

二階反矩陣 4.矩陣的應用 4.1 轉移矩陣 舉應用實例。

三、二次曲線
從二次曲線的定義(介紹焦點、準線)推得二次曲線的標準式,只談對稱軸或漸近線是 X、Y 軸的二次曲線。此處目的是讓學生熟悉根式的操作與配方法,並能繪製二次曲線之 圖形。同時透過平移與伸縮讓學生認識一般二次曲線都可以化簡成標準式。一般二次曲 線與直線的關係不談,留到多變量微積分處理。此處僅談圓與直線關係,並解二元二次 與二元一次聯立方程式。 1.圓與直線的關係 1.1 相切、相割、不相交 1.2 二元一次與二元二次聯立方程式 2.橢圓、雙曲、拋物線 2.1 橢圓、雙曲、抛物線之標準式 橢圓

( x ? c)

2

+ y2 +

( x + c)

2

+ y 2 = 2a

雙曲線:

( x ? c)

2

+ y2 ?

( x + c)

2

+ y 2 = 2a

介紹雙曲線的漸近線與共軛雙曲線。 介紹漸近線為 X, Y 軸的雙曲線

( x ? c)

2

+ ( y ? c) ?
2

( x + c)

2

+ ( y + c ) = 2c ? xy =
2

1 2 c 2
48

3.坐標變換 3.1 平移:平面上的點、二次曲線在不同的平行坐標系之表現 圖形的平移: ?x = x ? h ( x ? h ) + ( y ? k ) = 1 圖形是 x 2 + y 2 = 1 圖形的平移 透過 ? 了解 a2 b2 a 2 b2 ?y = y ? k
2 2

3.2 二次曲線標準化(配方、平移) 能透過配方法將 ax 2 + cy 2 + dx + ey + f = 0 化成 a ( x ? h ) + c ( y ? k ) = ah 2 + ck 2 ? f
2 2

3.3 伸縮:中心在原點的二次曲線之伸縮及所導出的二次曲線系 圖形的伸縮:對標準式的伸縮。此處用到二次式的齊次性。

x2 y 2 ± = z (等高線) a 2 b2

x y x2 y 2 x2 y2 2 透過 x = , y = 了解 2 ± 2 = t 是 2 ± 2 = 1 圖形的伸縮。 t t a b a b

49

數學 V:解析幾何初步
一、三角函數
1.一般三角函數的性質與圖形 1.1 弧度 1.2 三角函數的定義域、值域、週期性質與圖形 1.3 倒數關係、商數關係、平方關係

2.三角函數及其應用 這裡主要談的是三角函數的應用,不宜涉及太多的三角方程式與恆等式。 2.1 橢圓的參數式 2.2 波動: 正餘弦的疊合,三角函數之合成,如 A sin (ω ? t + θ0 ) ,A 為振幅、 ω ? t + θ0 為相 角 *3. 反三角函數及其圖形 3.1 反三角函數的定義域與值域

4.複數的極式 4.1 介紹複數平面、向徑、輻角與複數的極式、複數乘法的幾何意義 4.2 棣美弗定理,複數的 n 次方根

( cos α + i sin α )( cos β + i sin β ) = cos (α + β ) + i sin (α + β )
複數的 n 次方根的僅談根的求法,以及複數的等比級數,如 1 + ω + ω 2 + ? + ω n ?1,不 做需要根的變形的級數和問題。

二、極限與函數
50

1.數列及其極限 1.1 數列的極限及極限的性質 1.2 無窮等比級數、循環小數 2.函數的概念 2.1 函數的定義域與值域、四則運算、合成函數 2.2 函數的例子及其圖形 絕對值函數、 y = 根式函數 y =
c ,n=1,2 以及這些函數的平移 xn

x , y = ax 2 + bx + c 、及其圖形

*3. 函數的極限 3.1 函數的極限 3.2 連續函數、中間值定理

51

數學 VI:微積分初步
一、微分
1.導數與切線 1.1 舉應用實例

2.微分的操作 2.1 微分的四則運算 2.2 多項函數之微分

VI.2.2.3 連鎖法則(f(ax+b)的微分) VI.2.3 泰勒多項式 VI.2.3.1 高次微分 VI.2.3.2 泰勒多項式

3.函數性質之判定 3.1 平均值定理、上升、下降、函數極值之一階檢定法 3.2 低次多項式之繪圖 4.微分學的應用 4.1 極值問題 4.2 一階逼近法 4.3 牛頓求根法
52

二、積分的計算與應用
1. 積分的定義 微積分基本定理 2.1 微積分基本定理在面積與高、距離與速度的意涵 定積分與不定積分的計算 3.1 只含多項式之積分 (不涉及分部積分與變數變換法) 2. 積分的應用 4.1 以求圓面積、球體體積、角錐體體積、自由落體運動方程式、作功為主

53


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