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2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(宁夏.海南.理)含答案


2007 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(宁夏)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.第 II 卷第 22 题为选考题, 其他题为必考题.考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效.考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的准 考证号、姓名,并将条形码粘贴在指定位置上. 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号; 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或炭素笔书写,字体工整,笔迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损. 5.作选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的 标号涂黑. 参考公式: 样本数据 x1 , x 2 , ? , x n 的标准差
1 n

锥体体积公式
1 3

s ?

[( x1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? ? ? ( x n ? x ) ]
2 2 2

V ?

Sh

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式
V ? Sh

其中 S 为底面面积、 h 为高 球的表面积、体积公式
S ? 4 π R ,V ?
2

4 3

πR

3

其中 S 为底面面积, h 为高

其中 R 为球的半径

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知命题 p : ? x ? R , sin x ≤ 1 ,则( A. ? p : ? x ? R , sin x ≥ 1 C. ? p : ? x ? R , sin x ? 1 )

B. ? p : ? x ? R , sin x ≥ 1 D. ? p : ? x ? R , sin x ? 1
1 2 a? 3 2 b ?(

1) ? 2.已知平面向量 a ? (1,, b ? (1, 1) ,则向量 ? A. ( ? 2, 1) 0 C. ( ? 1, ) 1) B. ( ? 2, 2 D. ( ? 1, )



第 1 页 共 11 页

3.函数 y ? sin ? 2 x ?
?
y

?

π? ? π ? ? 在区间 ? ? , π ? 的简图是( 3? ? 2 ?
1


y

?

? 3

1
? 6
?

?

? 2

O

x

?

? 2

?

? 3

O
?1

? 6

?

x

?1

A.
y
1
?

B.
y
? ? 6

1

?

? 2

?

? 6

O

? 3

x

?

? 2

O
?1

? 3

?

x

?1

C.

D.

开始
k ?1

4.已知 ? a n ? 是等差数列, a1 0 ? 1 0 ,其前 10 项和 S 1 0 ? 7 0 ,则 其公差 d ? ( A. ?
2 3

) B. ?
1 3

C.

1 3

D.

2 3

S ?0

5.如果执行右面的程序框图,那么输出的 S ? ( A.2450 B.2500 C.2550 D.2652 6.已知抛物线 y ? 2 p x ( p ? 0 ) 的焦点为 F ,
2


k ≤ 50 ?



? 是
S ? S ? 2k

输出 S 结束

点 P1 ( x1, y1 ), P2 ( x 2, y 2 ) , P3 ( x 3, y 3 ) 在抛物线上, 且 2 x 2 ? x1 ? x 3 , 则有( A. F P1 ? F P2 ? F P3 C. 2 F P2 ? F P1 ? F P3 ) B. F P1 ? F P2 D. F P2
2

k ? k ?1

2

2

? F P3

2

? F P1· F P3

7.已知 x ? 0 , y ? 0 , x, a, b, y 成等差数列, x, c, d , y 成等比数列,则 最小值是( ) A. 0 B. 1

(a ? b) cd

2



C. 2

D. 4

第 2 页 共 11 页

8.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出 的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的体积是 ( ) A. B.
4000 3 8000 cm
3

20

20
3

20 侧视图

cm

正视图

3

C. 2000cm D. 4000cm

3

10

3

10
? ? 2 2

9.若

c o s 2? π? ? sin ?? ? ? 4? ?

,则 c o s ? ? s i n? 的

20 俯视图

值为( A. ?
7 2
1 2

) B. ?
1 2

C.

D.
1

7 2

2 10.曲线 y ? e 2 在点 (4, e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(

x



A.

9 2

e

2

B. 4 e

2

C. 2 e

2

D. e

2

11.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次,三人的测试成绩如下表 甲的成绩 环数 频数 7 5 8 5 9 5 10 5 环数 频数 乙的成绩 7 6 8 4 9 4 10 6 环数 频数 丙的成绩 7 4 8 6 ) 9 6 10 4

s1, s 2, s 3 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则有(

A. s 3 ? s1 ? s 2 C. s1 ? s 2 ? s 3

B. s 2 ? s1 ? s 3 D. s 2 ? s 3 ? s1

12.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱,这个四棱锥的底面为正方形,且 底面边长与各侧棱长相等, 这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等. 设四棱锥、 三棱锥、 三棱柱的高分别为 h1 , h 2 , h ,则 h1 : h 2 : h ? ( A. 3 : 1 : 1 B. 3 : 2 : 2 C. 3 : 2 : )
2

D. 3 : 2 : 3

第 3 页 共 11 页

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题-第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 做答,第 22 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2,焦点到渐近线的距离为 6,则该双曲线的离心 率为 . 14.设函数 f ( x ) ?
( x ? 1)( x ? a ) x ?5 ? 10i 3 ? 4i

为奇函数,则 a ?



15. i 是虚数单位,

?

. (用 a ? bi 的形式表示, a, b ? R )

16.某校安排 5 个班到 4 个工厂进行社会实践,每个班去一个工厂,每个工厂至少安排一个 班,不同的安排方法共有 种. (用数字作答) 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 如图,测量河对岸的塔高 A B 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D .现 测得 ? B C D ? ? , ? B D C ? ? , C D ? s ,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 ? ,求塔高 A B .

S

18. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 S ? A B C 中,侧面 S A B 与侧面 SA C 均为等边 三角形, ? B A C ? 90 ° , O 为 B C 中点. (Ⅰ)证明: SO ? 平面 A B C ; (Ⅱ)求二面角 A ? S C ? B 的余弦值. 19. (本小题满分 12 分)
B
2

O

C

A

在平面直角坐标系 xO y 中,经过点 (0, 2 ) 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 同的交点 P 和 Q . (I)求 k 的取值范围;

x

? y ? 1 有两个不
2

2

(II)设椭圆与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为 A, B ,是否存在常数 k ,使得向量
??? ? ??? ???? ? O P ? O Q 与 A B 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由.

第 4 页 共 11 页

20. (本小题满分 12 分) 如图, 面积为 S 的正方形 A B C D 中有一个不规则的图形 M , 可按下面方法估计 M 的面积: 在正方形 A B C D 中随机投掷 n 个点,若 n 个点中有 m 个点落入 M 中,则 M 的面积的估计 值为
m n
1 0 0 0 0 个点,以 X 表示落入 M 中的点的数目.

S ,假设正方形 A B C D 的边长为 2,M 的面积为 1,并向正方形 A B C D 中随机投掷
D
C

(I)求 X 的均值 E X ; (II)求用以上方法估计 M 的面积时, M 的面积的估计值与实际
???? 值之差在区间 ( ? 0.03, ) 内的概率.
k

M

附表: P ( k ) ?
k

?C
t?0

t 10000

? 0 .2 5 ? 0 .7 5
t

10000 ? t

A

B
2575 0 .9 5 9 0

2424
0 .0 4 0 3

2425 0 .0 4 2 3

2574 0 .9 5 7 0

P (k )

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) ? ln( x ? a ) ? x
2

(I)若当 x ? ? 1 时, f ( x ) 取得极值,求 a 的值,并讨论 f ( x ) 的单调性; (II)若 f ( x ) 存在极值,求 a 的取值范围,并证明所有极值之和大于 ln
e 2



22.请考生在 A, B, C 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时, 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22.A(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 P 如图,已知 A P 是 ? O 的切线, P 为切点, A C 是 ? O 的割线,与 ? O 交于 B, C 两点,圆心 O 在 ? P A C 的 内部,点 M 是 B C 的中点. (Ⅰ)证明 A, P, O, M 四点共圆; (Ⅱ)求 ? O AM ? ? APM 的大小.
B A M

O

C

22.B(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
? O 1 和 ? O 2 的极坐标方程分别为 ? ? 4 cos ? , ? ? ? 4 sin ? .

(Ⅰ)把 ? O 1 和 ? O 2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)求经过 ? O 1 , ? O 2 交点的直线的直角坐标方程.

22.C(本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 ;不等式选讲

第 5 页 共 11 页

设函数 f ( x ) ? 2 x ? 1 ? x ? 4 . (I)解不等式 f ( x ) ? 2 ; (II)求函数 y ? f ( x ) 的最小值.

2007 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案(宁夏)
一、选择题 1.C 2.D 7.D 8.B 二、填空题 13. 3 14. ? 1 三、解答题

3.A 9.C 15. 1 ? 2i

4.D 10.D 16.240

5.C 11.B

6.C 12.B

17.解:在 △ B C D 中, ? C B D ? π ? ? ? ? . 由正弦定理得
BC sin ? B D C ? CD sin ? C B D
s sin ? · sin (? ? ? )



所以 B C ?

C D sin ? B D C sin ? C B D

?



在 R t△ A B C 中, A B ? B C tan ? A C B ?

s tan ? sin ? · sin (? ? ? )


S

18.证明: (Ⅰ) 由题设 A B = A C = SB = SC ? S A , 连结 O A ,△ A B C 为等腰直角三角形,所以 O A ? O B ? O C ?
2 2
A O ? B C ,又 △ S B C 为等腰三角形,故 SO ? B C ,且 O

SA ,且

M

C

SO ?

2 2

S A ,从而 O A ? SO ? SA .
2 2 2

B

A

所以 △ S O A 为直角三角形, SO ? A O . 又 AO ? BO ? O . 所以 SO ? 平面 A B C . (Ⅱ)解法一: , 取 SC 中 点 M , 连 结 A M O M ? S, C A M .S C ?

O M 由 ( Ⅰ ) 知 S O? ,

O, C

? A S

A C , 得

∴ ? O M A 为二面角 A ? S C ? B 的平面角.

第 6 页 共 11 页

由 A O ? B C, A O ? SO, SO ? B C ? O 得 A O ? 平面 SB C . 所以 A O ? O M ,又 A M ?
3 2 SA ,

故 sin ? A M O ?

AO AM

?

2 3

?

6 3



所以二面角 A ? S C ? B 的余弦值为 解法二:

3 3



以 O 为坐标原点,射线 O B, O A 分别为 x 轴、 y 轴的正半轴,建立如图的空间直角坐标系
O ? xyz . 0 0) 0 0) 1, 0 1) 设 B (1,, ,则 C ( ? 1,, , A (0, 0), S (0,, .
???? ? 1 ? ? 1 ? ???? ? 1 1 ? ??? 1? ? 1 0 ? M 1, S 0 ? 0 S C 的中点 M ? ? ,, ? , M O ? ? ,, ? , A ? ? , ? ? , C ? ( ? 1,, 1) . 2? 2? 2? ?2 ?2 ? 2

???? ??? ? ? ???? ??? ? ∴ M O S C ? 0, A S C ? 0 . · M ·

z
S

???? ???? ? 故 M O ? SC, M A ? SC, < M O , M A ? 等 于 二 面 角
A ? S C ? B 的平面角. ???? ? ???? ???? ? MO · co s ? M O, A ? ? ???? M ? M O·

???? MA 3 , ???? ? 3 MA

M

O

C

所以二面角 A ? S C ? B 的余弦值为

3 3



x

B

A

y

19.解: (Ⅰ)由已知条件,直线 l 的方程为 y ? kx ?
x
2

2,

代入椭圆方程得

? ( kx ?

2 ) ? 1.
2

2
?1
2 ? 2 ? k ? x ? 2 2 kx ? 1 ? 0 ?2 ?

整理得 ?



直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 ? ? 8 k ? 4 ?
2

?1 ?2

2 ? 2 ? k ? ? 4k ? 2 ? 0 , ?

第 7 页 共 11 页

解得 k ? ?

2 2

或k ?

2 2

? .即 k 的取值范围为 ? ? ∞ , ? ?

?

2 ? ?? 2 ? ?

? 2 ? , ∞?. ? ? ? 2 ? ? ?

(Ⅱ)设 P ( x1, y 1 ), Q ( x 2, y 2 ) ,则 O P ? O Q ? ( x1 ? x 2, y1 ? y 2 ) , 由方程①, x1 ? x 2 ? ?
4 2k 1 ? 2k
2

??? ?

????





又 y 1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2 2 .
0) 1) A 1) 而 A ( 2, , B (0,, B ? ( ? 2, . ??? ?



所以 O P ? O Q 与 A B 共线等价于 x1 ? x 2 ? ? 2 ( y1 ? y 2 ) , 将②③代入上式,解得 k ?
2 2
2 2

??? ?

????

??? ?



由(Ⅰ)知 k ? ?

或k ?

2 2

,故没有符合题意的常数 k .

20.解: 每个点落入 M 中的概率均为 p ?
? ? 1? 4?

1 4



依题意知 X ~ B ? 1 0 0 0 0, ? . (Ⅰ) E X ? 1 0 0 0 0 ?
1 4 ? 2500 .
? ? X 10000 ? ? 4 ? 1 ? 0 .0 3 ? , ?

(Ⅱ)依题意所求概率为 P ? ? 0 .0 3 ?

X ? ? P ? ? 0 .0 3 ? ? 4 ? 1 ? 0 .0 3 ? ? P ( 2 4 2 5 ? X ? 2 5 7 5) 10000 ? ?
2574

?

t ? 2426

?

C 1 0 0 0 0 ? 0 .2 5 ? 0 .7 5
t t

10000 ? t

2574

?

t ? 2426

?

C 1 0 0 0 0 ? 0 .2 5 ? 0 .7 5
t t

10000 ? t

2425

?

?C
t?0

t 10000

? 0 .2 5 ? 0 .7 5
t

1 0 0 0 0 ?1

? 0.9570 ? 0.0423 ? 0.9147 .

21.解:

第 8 页 共 11 页

(Ⅰ) f ? ( x ) ?

1 x?a

? 2x ,
3 2

依题意有 f ? ( ? 1) ? 0 ,故 a ?
2x ? 3x ? 1
2



从而 f ? ( x ) ?

x?

3 2

?

( 2 x ? 1)( x ? 1) x? 3 2



3 ? 3 ? ? f ( x ) 的定义域为 ? ? , ∞ ? ,当 ? ? x ? ? 1 时, f ? ( x ) ? 0 ; 2 ? 2 ?

当 ?1 ? x ? ? 当x ? ?
1 2

1 2

时, f ?( x ) ? 0 ;

时, f ?( x ) ? 0 .
? ? 3 ? ? ? ? 1 ? ?

? ? ? 从而, f ( x ) 分别在区间 ? ? , 1 ? , ? , ∞ ? 单调增加,在区间 ? ? 1, ? 2 2

? ?

1? ? 单调减少. 2?

? (Ⅱ) f ( x ) 的定义域为 ( ? a, ∞ ) , f ? ( x ) ?

2 x ? 2ax ? 1
2

x?a



方程 2 x ? 2 ax ? 1 ? 0 的判别式 ? ? 4 a ? 8 .
2 2

(ⅰ)若 ? ? 0 ,即 ? 2 ? a ? (ⅱ)若 ? ? 0 ,则 a ? 若a ?

2 ,在 f ( x ) 的定义域内 f ? ( x ) ? 0 ,故 f ( x ) 的极值.
2.

2 或a ? ?

2 , x ? ( ? 2, ∞ ) , f ? ( x ) ? ?

( 2 x ? 1) x? 2

2


? ? 2 , ∞ ? 时,f ? ( x ) ? 0 , ? 所以 f ( x ) ?? ? ? 2 ? ?

当x ? ? 无极值.

2 2

? 时,f ?( x ) ? 0 , x ? ? ? 2, 当 ? ?

?

2 ? ?? 2 ? ?

? 若 a ? ? 2 , x ? ( 2, ∞ ) , f ? ( x ) ?

( 2 x ? 1) x? 2

2

? 0 , f ( x ) 也无极值.

(ⅲ)若 ? ? 0 ,即 a ?
?a ? a ?2
2

2 或 a ? ?
a ?2
2

2 , 则 2 x ? 2 a x ? 1 ? 0有 两 个 不 同 的 实 根
2

x1 ?

2

, x2 ?

?a ?



2

当 a ? ? 2 时, x1 ? ? a, x 2 ? ? a ,从而 f ? ( x ) 有 f ( x ) 的定义域内没有零点,故 f ( x ) 无极

第 9 页 共 11 页

值. 当a ?
2 时, x1 ? ? a , x 2 ? ? a , f ? ( x ) 在 f ( x ) 的定义域内有两个不同的零点,由根值

判别方法知 f ( x ) 在 x ? x1, x ? x 2 取得极值. 综上, f ( x ) 存在极值时, a 的取值范围为 ( 2, ∞ ) . ?
f ( x ) 的极值之和为

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ln ( x1 ? a ) ? x1 ? ln ( x 2 ? a ) ? x 2 ? ln
2 2

1 2

? a ? 1 ? 1 ? ln 2 ? ln
2

e 2
P

. 22.A (Ⅰ)证明:连结 O P, O M . 因为 A P 与 ? O 相切于点 P ,所以 O P ? A P . 因为 M 是 ? O 的弦 B C 的中点,所以 O M ? B C .

A

O

B

M

C 于是 ? O P A ? ? O M A ? 180 ° . 由圆心 O 在 ? P A C 的内部, 可知四边形 A P O M 的对角互补, 所以 A, P, O, M 四点共圆. (Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 A, P, O, M 四点共圆,所以 ? O A M ? ? O P M .

由(Ⅰ)得 O P ? A P . 由圆心 O 在 ? P A C 的内部,可知 ? O P M ? ? A P M ? 90 ° . 所以 ? O A M ? ? A P M ? 90 ° . 22.B 解:以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单 位. (Ⅰ) x ? ? co s ? , y ? ? sin ? ,由 ? ? 4 cos ? 得 ? ? 4 ? co s ? .
2

所以 x ? y ? 4 x .
2 2

即 x ? y ? 4 x ? 0 为 ? O 1 的直角坐标方程.
2 2

同理 x ? y ? 4 y ? 0 为 ? O 2 的直角坐标方程.
2 2

(Ⅱ)由

? x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0, ? x1 ? 0,? x 2 ? 2 ? 解得 ? . ? ? 2 2 ?x ? y ? 4y ? 0 ? y 1 ? 0,? y 2 ? ? 2 ?

0 ? 即 ? O 1 , ? O 2 交于点 (0, ) 和 ( 2, 2 ) .过交点的直线的直角坐标方程为 y ? ? x .

22.C解: (Ⅰ)令 y ? 2 x ? 1 ? x ? 4 ,则

y

y ? 2
O 1

?
第 10 页 共 11 页

4

x

2

1 ? x≤ ? , ? ? x ? 5, 2 ? 1 ? ....... y ? ? 3 x ? 3, ? ? x ? 4,........3 分 2 ? ? x ? 5, x ≥ 4. ? ?
2 2) 作出函数 y ? 2 x ? 1 ? x ? 4 的图象,它与直线 y ? 2 的交点为 ( ? 7, 和 ? , ? . ?3 ? ?5 ?

? ? 所以 2 x ? 1 ? x ? 4 ? 2 的解集为 ( ? x, 7 ) ? ? , x ? . ?3 ?

?5

?

(Ⅱ)由函数 y ? 2 x ? 1 ? x ? 4 的图像可知,当 x ? ? 值?
9 2

1 2

时, y ? 2 x ? 1 ? x ? 4 取得最小



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