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2020高中数学 课时分层作业2 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用 新人教A版选修2-3

2020
课时分层作业(二)分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用

(建议用时:45 分钟)

[基础达标练]

一、选择题

1.由数字 0,1,2,3,4 可组成无重复数字的两位数的个数是( )

A.25

B.20

C.16

D.12

C [分两步:先选十位,再选个位,可组成无重复数字的两位数的个数为 4×4=16.]

2.某年级要从 3 名男生,2 名女生中选派 3 人参加某次社区服务,如果要求至少有 1 名女生,那么不同的

选派方案有( )

A.6 种

B.7 种

C.8 种

D.9 种

D [可按女生人数分类:若选派一名女生,有 2×3=6 种;若选派 2 名女生,则有 3 种.由分类加法计数原

理,共有 9 种不同的选派方法.]

3.由数字 1,2,3,4 组成的三位数中,各位数字按严格递增(如“134”)或严格递减(如“421”)顺序排列的

数的个数是( )

【导学号:95032020】

A.4

B.8

C.16

D.24

B [由题意分析知,严格递增的三位数只要从 4 个数中任取 3 个,共有 4 种取法;同理严格递减的三位数也

有 4 个,所以符合条件的数的个数为 4+4=8.]

4.从 1,2,3,4,5 五个数中任取 3 个,可组成不同的等差数列的个数为( )

A.2

B.4

C.6

D.8

D [第一类,公差大于 0,有①1,2,3,②2,3,4,③3,4,5,④1,3,5,共 4 个等差数列;第二类,公差小于

0,也有 4 个.

根据分类加法计数原理可知,共有 4+4=8 个不同的等差数列.]

5.(a1+a2+a3+a4)·(b1+b2)·(c1+c2+c3)展开后共有不同的项数为( )

A.9

B.12

C.18

D.24

D [由分步乘法计数原理得共有不同的项数为 4×2×3=24.故选 D.]

二、填空题

6.小张正在玩“QQ 农场”游戏,他计划从仓库里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡萝卜这 5 种种子中选出 4

种分别种植在四块不同的空地上(一块空地只能种植一种作物),若小张已决定在第一块空地上种茄子或辣椒,则

不同的种植方案共有________种.

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【导学号:95032021】 48 [当第一块地种茄子时,有 4×3×2=24 种不同的种法;当第一块地种辣椒时,有 4×3×2=24 种不同 的种法,故共有 48 种不同的种植方案.] 7.如图 1?1?6 所示,从点 A 沿圆或三角形的边运动到点 C,则不同的走法有________种.
图 1-1-6 6 [由 A 直接到 C 有 2 种不同的走法,由 A 经点 B 到 C 有 2×2=4 种不同的走法.因此由分类加法计数原理 共有 2+4=6 种不同走法.] 8.甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多 安排一人,并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有________种. 20 [分三类:若甲在周一,则乙丙有 4×3=12 种排法; 若甲在周二,则乙丙有 3×2=6 种排法; 若甲在周三,则乙丙有 2×1=2 种排法. 所以不同的安排方法共有 12+6+2=20 种.] 三、解答题 9.如图 1?1?7 所示,用 6 种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色,每个格子涂一种颜色,要求相邻的两个格 子颜色不同,且两端的格子的颜色也不同,不同的涂色方法共有多少种(用数字作答).
【导学号:95032022】
图 1?1?7 [解] 不妨将图中的 4 个格子依次编号为①②③④,当①③同色时,有 6×5×1×5=150 种方法;当①③异 色时,有 6×5×4×4=480 种方法.所以共有 150+480=630 种方法. 10.用数字 1,2,3,4,5,6 组成无重复数字的三位数,然后由小到大排成一个数列. (1)求这个数列的项数; (2)求这个数列中的第 89 项的值. [解] (1)完成这件事需要分别确定百位、十位和个位数,可以先确定百位,再确定十位,最后确定个位, 因此要分步相乘. 第一步:确定百位数,有 6 种方法. 第二步:确定十位数,有 5 种方法. 第三步:确定个位数,有 4 种方法. 根据分步乘法计数原理,共有 N=6×5×4=120 个三位数.

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所以这个数列的项数为 120.

(2)这个数列中,百位是 1,2,3,4 的共有 4×5×4=80 个,

百位是 5 的三位数中,十位是 1 或 2 的有 4+4=8 个,

故第 88 个为 526,故从小到大第 89 项为 531.

[能力提升练]

一、选择题

1.把 10 个水果分成 3 份,要求每份至少一个,至多 5 个,则不同的分法种数是( )

A.5

B.6

C.4

D.3

C [由于分成 3 份,每份至少 1 个,至多 5 个,故有一份 1 个水果,则其余两份只能是一份 5 个,一份 4

个;有一份 2 个水果,则其余两份可能一份 5 个,一份 3 个,或两份都是 4 个;有一份 3 个水果,则其余两份只

能是一份 4 个,一份 3 个.

∴共有 1+2+1=4(种).]

2.如图 1?1?8 所示,花坛内有 5 个花池,有 5 种不同颜色的花卉可供栽种,每个花池内只能种同种颜色的

花卉,相邻两池的花色不同,则栽种方案最多有( )

【导学号:95032023】

图 1?1?8

A.180 种

B.240 种

C.360 种

D.420 种

D [区域 2,3,4,5 地位相同(都与其他 4 个区域中的 3 个区域相邻),故应先种区域 1,有 5 种种法,再种区

域 2,有 4 种种法,接着种区域 3,有 3 种种法,种区域 4 时应注意:区域 4 与区域 2 同色时区域 4 有 1 种种法,

此时区域 5 有 3 种种法;区域 4 与区域 2 不同色时区域 4 有 2 种种法,此时区域 5 有 2 种种法,故共有 5×4×3×(3

+2×2)=420 种栽种方案.故选 D.]

二、填空题

3.如图 1?1?9 的阴影部分由方格纸上 3 个小方格组成,我们称这样的图案为 L 形,那么在由 3×5 个小方格

组成的方格纸上可以画出不同位置的 L 形图案的个数为________.(注:其他方向的也是 L 形)

图 1-1-9 32 [每四个小正方形图案都可画出四个不同的 L 形图案,该图中共有 8 个这样的小正方形.故可画出不同

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位置的 L 型图案的个数为 4×8=32.] 4.平面内有 7 个点,其中有 5 个点在一条直线上,此外无三点共线,经过这 7 个点可连成不同直线的条数
是________. 【导学号:95032024】
12 [设 5 个点所在直线为 l,直线外两点为 A,B.解决本题可分三类: 第一类,确定直线的两点都在直线 l 上时,确定的直线为 l,只有这 1 条直线; 第二类,确定直线的两点中一点在 l 上,另一点不在 l 上时,可以分两步完成选这两个点的任务,第一步从 共线的 5 点中选一个点,有 5 种选法,第二步,从 A、B 中选一个点,有 2 种选法,故共有 5×2=10(条)直线; 第三类,确定直线的两点均不在 l 上,则只能是 A、B 两点,故能确定 1 条直线. 由分类加法计数原理,共可确定 1+10+1=12(条)直线.] 三、解答题 5.某人有 4 种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多),要在如图 1?1?10 所示的 6 个点 A,B,C,A1,B1,C1 上各装一个灯泡,要求同一条线段两端的灯泡不同色,则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有多少种?
【导学号:95032025】
图 1-1-10 [解] 第一步,在点 A1,B1,C1 上安装灯泡,A1 有 4 种方法,B1 有 3 种方法,C1 有 2 种方法,共有 4×3×2 =24(种)方法. 第二步,从 A,B,C 中选一个点安装第 4 种颜色的灯泡,有 3 种方法. 第三步,再给剩余的两个点安装灯泡,假设剩下的为 B,C,若 B 与 A1 同色,则 C 只能选 B1 点颜色; 若 B 与 C1 同色,则 C 有 A1,B1 处两种颜色可选.故 B,C 选灯泡共有 3 种方法,由分步乘法计数原理可得, 共有 4×3×2×3×3=216(种)方法.