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四川省绵阳市绵阳中学2013年自主招生数学试题

四川省绵阳市绵阳中学 2013 年自主招生数学试题
一.选择题: (本大题共 12 个小题,每个 4 分,共 48 分,将所选答案填涂在机读卡上) 1、下列因式分解中,结果正确的是( ) A. x2 y ? y3 ? y( x2 ? y 2 ) B. x4 ? 4 ? ( x2 ? 2)( x ? 2)( x ? 2) D. 1 ? (a ? 2)2 ? (a ? 1)(a ? 3)

1 C. x2 ? x ? 1 ? x( x ? 1 ? ) x

2、 “已知 二次 函数 y ? ax2 ? bx ? c 的 图像 如图 所示, 试判 断
a?b?c与

0 的大小.”一同学是这样回答的: “由图像可知:当 x ? 1 时 y ? 0, 所以 a ? b ? c ? 0 .”他这种说明问题的方式体现的数学思想 方法叫 做( ) A.换元法 B.配方法 C.数形结合法 D.分类讨论法 3、已知实数 x 满足 x2 ? A.-2

1 1 1 ? x ? ? 4 ,则 x - 的值是( x2 x x B.1 C.-1 或 2

) D.-2 或 1

4、若直线 y ? 2 x ? 1 与反比例函数 y ? 还必过点( A. (-1,6) ) B.(1,-6)

k k 的图像交于点 P(2, a) ,则反比例函数 y ? 的图像 x x
C.(-2,-3)
m? n

D.(2,12) )

5、现规定一种新的运算: “ *” : m*n ? ( m? )n A.

5 1 ,那么 * =( 2 2

5 B.5 C.3 D.9 4 6、 一副三角板, 如图所示叠放在一起, 则 ?AOB ? ?COD = ( ) A.180° B.150 ° C.160° D.170° 7、某中学对 2005 年、2006 年、2007 年该校住校人数统计时发现,2006 年比 2005 年增加 20%,2007 年比 2006 年减少 20%,那么 2007 年比 2005 年( ) A.不增不减 B.增加 4% C.减少 4% D.减少 2%
8、一半径为 8 的圆中,圆心角θ为锐角,且 ? ? A.8 B.10

3 ,则角θ所对的弦长等于( 2
C. 8 2 D.16



9、一支长为 13cm 的金属筷子(粗细忽略不计) ,放入一个长、宽、高分别是 4cm、3cm、16cm 的长方体水槽中,那么水槽至少要放进( )深的水才能完全淹没筷子。 A.13cm B. 4 10 cm C.12cm D. 153 cm

10、 如图, 张三同学把一个直角边长分别为 3cm,4cm 的直角三角形硬纸板, 在桌面上翻滚 (顺 时针方向) ,顶点 A 的位置变化为 A ? A1 ? A2 , 其中第二次翻滚时被桌面上一小木块挡住, 使纸 板一边 A2C1 与桌面所成的角恰好等于 ?BAC , 则

A 翻滚到 A2 位置时共走过的路程为(
A. 8 2 cm B. 8? cm

) C. 2 29 cm D. 4? cm

11、一辆汽车从甲地开往乙地,开始以正常速度匀速行驶,但行至途中汽车出了故障,只好 停下修车,修好后,为了按时到达乙地,司机加快了行驶速度并匀速行驶。下面是汽车 行驶路程 S(千米)关于时间 t(小时)的函数图象, 那么能大致反映汽车行驶情况的图像是 ( )

A B C D 12、由绵阳出发到成都的某一次列车,运行途中须停靠的车站依次是:绵阳→罗江→黄许→ 德阳→广汉→清白江→新都→成都.那么要为这次列车制作的车票一共有( ) A.7 种 B.8 种 C.56 种 D.28 种 二. 填空题(共 6 个小题,每个小题 4 分,共 24 分。将你所得答案 填在答卷上) 13、根据图中的抛物线可以判断: 当 x ________时, y 随 x 的增大而减小; 当 x ________时, y 有最小值。 14、函数 y ?
x?2 中,自变量 x 的取值范围是__________. x ?x?2
2

AB 上的两个动 15、如图,在圆 O 中,直径 AB ? 10,C,D 是上半圆 ?
AC ? BE · BD =____________. 点。弦 AC 与 BD 交于点 E ,则 AE · 16、下图是用火柴棍摆放的 1 个、2 个、3 个??六边形,那么摆 100 个六边形,需要火柴棍______根。

17、在平面直角坐标系中,平行四边形四个顶点中,有三个顶点坐标分别是(-2,5) , (-3, -1) , (1,-1) ,若另外一个顶点在第二象限,则另外一个顶点的坐标是_______________. 18、参加保险公司的汽车保险,汽车修理费是按分段赔偿,具体赔偿细则如下表。某人在汽

车修理后在保险公司得到的赔偿金额是 2000 元,那么此人的汽修理费是________元. 汽车修理费 x 元 0 ? x ? 500 500 ? x ? 1000 1000 ? x ? 3000 ?? 三.解答题(共 7 个小题,满分 78 分,将解题过程写在答卷上) 19、 (10 分)先化简,再求值: 其中 x ? ?22 ? 赔偿率 60% 70% 80% ??

x 10 5 x3 ? x 2 , ? 2 ? ? 2 x?2 x ?4 x?2 x ? x?2

1 2 ?1

? 2(tan 45? ? cos30?)0 .

20、 (10 分)在 ?ABC 中, ?C ? 90?, AC ? 中点,求证: AE ? EB .

1 BC .以 BC 为底作等腰直角 ?BCD , E 是 CD 的 2

21、(10 分)绵阳中学为了进一步改善办学条件,决定计划拆除一部分旧校舍,建造新校舍。 拆除旧校舍每平方米需 80 元, 建造新校舍每平方米需要 800 元, 计划在年内拆除旧校舍 与建造新校舍共 9000 平方米, 在实施中为扩大绿化面积, 新建校舍只完成了计划的 90% 而拆除旧校舍则超过了计划的 10%,结果恰好完成了原计划的拆、建总面积。 (1)求原计划拆、建面积各是多少平方米? (2)若绿化 1 平方米需要 200 元,那么把在实际的拆、建工程中节余的资金全部用来绿 化,可绿化多少平方米?

22、 (10 分)已知直线 y ? x ? a 与 y 轴的负半轴交于点 A ,直线 y ? ?2 x ? 8 与 x 轴交于点 B , 与 y 轴交于点 C , AO : CO ? 7 : 8 ( O 是坐标原点) ,两条直线交于点 P . (1)求 a 的值及点 P 的坐标; (2)求四边形 AOBP 的面积 S .

23、 (12 分) 如图:已知 AB 是圆 O 的直径,BC 是圆 O 的弦, 圆 O 的割线 DEF 垂直于 AB 于 点G , 交 BC 于点 H , DC ? DH . (1)求证: DC 是圆 O 的切线;
BO 成立,说明理由。 (2)请你再添加一个条件,可使结论 BH 2 ? BG· (3)在满足以上所有的条件下, AB ? 10, EF ? 8. 求 sin ?A 的值。

24、 (12 分) 如图, 菱形 ABCD 的边长为 12cm,?A =60 ? , 点 P 从点 A 出发沿线路 AB ? BD 做 匀速运动,点 Q 从点 D 同时出发沿线路 DC ? CB ? BA 做匀速运动. (1)已知点 P, Q 运动的速度分别为 2cm/秒和 2.5cm/秒,经过 12 秒后, P、Q 分别到 达 M 、N 两点,试判断 ?AMN 的形状,并说明理由; (2)如果(1)中的点 P、Q 有分别从 M 、N 同时沿原路返回,点 P 的速度不变,点 Q 的速度改为 v cm/秒,经过 3 秒后, P、Q 分别到达 E、 F 两点,若 ?BEF 与题(1)中的
?AMN 相似,试求 v 的值.

25、 (14 分)在 ?ABC 中, ?C ? 90?, AC , BC 的长分别是 b, a ,且 cot B ? AB ? cos A . (1)求证: b 2 ? a ; (2)若 b =2,抛物线 y ? m( x ? b)2 ? a 与直线 y ? x ? 4 交于点 M ( x1 , y1 ) 和点 N ( x2 , y2 ) , 且
?MON 的面积为 6( O 是坐标原点).求 m 的值;

(3)若 n2 ?

4a , p ? q ? 3 ? 0 ,抛物线 y ? n( x2 ? px ? 3q) 与 x 轴的两个交点中,一个交 2 b

点在 原点的右侧,试判断抛物线与 y 轴的交点是在 y 轴的正半轴还是负半轴,说明理由.

综合素质测试数学科目参考答案
一.选择题(本大题共 12 个小题,每个 4 分,共 48 分,将所选答案填涂在机读卡上)

1.B

2.C 12.D

3.D

4.C

5.D

6.A

7.C

8.A

9.C

10.D

11.C

二.填空题(共 6 个小题,每个小题 4 分,共 24 分。将你所得答案填在答卷上) 13. <1 、 =1 ; 14. x>-2 且 x ? 1 ; 18. 2687.25 15. 100 ;

16. 501 ;

17.(-6,5) ;

三.解答题(共 7 个大题,共 78 分) 19、 (10 分) (1)化简原式=

x 10 x?2 x 2 ( x ? 1) ? ? ? x ? 2 ( x ? 2)( x ? 2) 5 ( x ? 2)( x ? 1)

?

x?2 x2 ( x ? 2)( x ? 1) ? ? ? x ?1 x?2 x?2 x?2

求值:

x ? ?4 ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1

?原式 ? x ? 1 ? 2 ? 2
20、 (10 分) 过 E 作 EF // BC 交 BD 于 F
?ACE ? ?ACB ? ?BCE ? 135?

?DFE ? ?DBC ? 45? ? ?EFB ? 135? ??????①
又 EF // BC

1 2

1 AC ? BC ??????????② 2

? EF ? AC ?????????????????③
CE ? FB

??EFB ? ?ACE ?

? ? 又 ?DBE ? ?DEB ? 90??

?CEA ? ?DBE

??DEB ? ?CEA ? 90?

故 ?AEB ? 90?

? AE ? EB
21、 (10 分) 解: (1)由题意可设拆旧舍 x 平方米,建新舍 y 平方米,则

? x ? y ? 9000 ? x ? 4500 ?? ? ?1.1x ? 0.9 y ? 9000 ? y ? 4500
答:原计划拆建各 4500 平方米。

(2)计划资金 y1 ? 4500 ? 80 ? 4500 ? 800 ? 3960000 元 实用资金 y2 ? 1.1? 4500 ? 80 ? 0.9 ? 4500 ? 800 ? 4950 ? 80 ? 4050 ? 800
? 396000 ? 3240000 ? 3636000

?节余资金:3960000-3636000=324000 ?可建绿化面积=

324000 ? 1620 平方米 200

答:可绿化面积 1620 平方米 22、 (10 分) 解: (1)因直线 y ? x ? a 与 y 轴负半轴交于点 A ,故 a ? 0 又由题知 B(4,0) 而 AO : CO ? 7 : 8

C (0,8)
故 a ? ?7

?x ? 5 ?y ? x ? 7 由? 得? 即 P(5, ?2) ? y ? ?2 x ? 8 ? y ? ?2
故: a ? ?7 ,点 P 的坐标为(5,-2) (2)过 P 作 PD ? y 轴于点 D ,依题知:

OB ? 4 OD ? 2 PD ? 5

AD ? 5

1 1 1 1 43 S四边形AOBP ? S梯形OBPD ? S?ADP ? (OB ? PD) ? OD ? ? AD ? PD ? ? (4 ? 5) ? 2 ? ? 5 ? 5 ? 2 2 2 2 2

23、 (12 分) 解: (1)连接 OD、 OC 相交于 M ,由题可知 ?ACB ? 90?

CO ? AO ??ACO ? ?CAO, ?CAO ? ?B ? 90?
?B ? ?BHG ? 90? ??DCH ? ?DHC

??CAO ? ?BHG 又 DC ? DH
??DCH ? ?ACO ? OC ? PC ,即 DC 为切线 ?BOH

??DCH ? ?HCO ? ?ACO ? ?OCH ? 90?

(2)加条件: H 为 BC 的中点, ?OH ? HB ??BHG

?

BH BG ? BO BH

? BH 2 ? BO ? BG
? AG ? BG ? EG2 ? 16
? BG ? 2 或 8(舍)

(3)由题已知 AB ? 10、EF ? 8 ? EG ? 4

? ( AB ? BG) BE ? 16 即 BG2 ? 10BG ? 16 ? 0

又 BH 2 ? BG ? BO ? 2 ? 5 ? 10

? BH ? 10

? BC ? 2 10
24、 (12 分)

? sin A ?

BC 2 10 10 ? ? AB 10 5

解: (1) ?A ? 60? AD ? AB ? 12

? BD ? 12

又 Vp ? 2cm / s ? S p ? vP ? t ? 2 ?12 ? 24cm

? P 点到达 D 点,即 M 与 D 重合
vQ ? 2.5cm / s SQ ? vQ ? t ? 2.5 ?12 ? 30cm
? ?AMN 为直角三角形

? N 点在 AB 之中点,即 AN ? BN

(2) v p ? 2m / s

t ? 3s

? S p ? 6cm

? E 为 BD 的中点,又 ?BEF 与 ?AMN 相似

??BEF 为直角三角形
① Q 到达 F1 处: vQ = =1 cm / s

3 3

9 ? 3cm / s 3 18 ③ Q 到达 F3 处: SQ =6+12=18, vQ ? ? 6cm / s 3
② Q 到达 F2 处: SQ =9, vQ ? 25、 (14 分) (1)证明:

a b cot B ? ,cos A ? , cot B ? AB ? cos A b AB ? a ? b2
故a ? 4

a b ? ? AB ? b AB

(2) b ? 2 且 a ? b 2

? y ? m( x ? 2)2 ? 4

? y ? m( x ? 2)2 ? 4 由? ,得 ?y ? x ? 4
mx2 ? (4m ? 1) x ? 4m ? 0 ??????①
要使 抛物线与直线有交点,则方程①中 ? ? 0 得m??

1 8

过 O 作 OD ? MN 于 D ,设 E、 F 为直线 y ? x ? 4 与坐标轴的交点,则 E (?4,0), F (0, 4)

? DO ? 2 2
又 S?MON ?

1 ? OD ? MN ? 6 2
2 ?3 2

? MN ?

6

过 M 、N 分别作 x 轴、 y 轴的平行线交于点 P 则 MP ? x2 ? x1 又 y2 ? x2 ? 4

NP ? y2 ? y1
y1 ? x1 ? 4 即 NP ? x2 ? x1

故 MN ? 2 x2 ? x1

? x2 ? x1 ? 3 即 ( x2 ? x1 )2 ? 9
4m ? 1 ? ? x1 ? x2 ? 由方程①得 ? m ? x x ? 4 ? 1 2

1 4m ? 1 2 ) ? 4? 4 ? 9 得 m ? 1 或 m ? ? 9 m 4 a (3) n2 ? 2 且 b2 ? a ? n2 ? 4 ? n ? ?2 b

?(

又 p ? q ? 3 ? 0 ,即 p ? 9 ? 3 ,即 y ? n[ x2 ? (9 ? 3) x ? 39] ? n( x ? 3)( x ? 9) 抛物线与 x 轴的两个交点中有一个在原点右侧,故 q ? 0 而抛物线与 y 轴交点为 (0,3nq )

?当 n ? 2 时, 3nq ? 0 ,交 y 轴于负半轴
当 n ? ?2 时, 3nq ? 0 ,交 y 轴于正半轴


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