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河北省衡水中学11-12学年高一下学期期末考试(数学理)

2011—2012 学年度第二学期期末考试 高一年级数学(理科)试卷

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

注意事项:1.答卷Ⅰ前,考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2.答卷Ⅰ时,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。

一、 选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答

案的序号填涂在答题卡上)

1、已知向量

? a

?

? (2,t), b

?

(1,2),

若t

?

t1 时,

? a

? ∥b

;t

?

t2

时,

? a

?

? b

,则(

)

A. t1 ? ?4,t 2? ?1 B. t1 ? ?4,t 2? 1

C. t1 ? 4,t 2? ?1

2、若 a、b、c?R, a ? b ,则下列不等式恒成立的是 (

)

D. t1 ? 4,t 2? 1

A. 1 ? 1 ab
C. a 2 ? b 2

B. a ? b c2 ?1 c2 ?1
D. a | c |? b | c |

开始 i ? 1, s ? 1

3、下列函数中,在区间(0,? )上为增函数且以? 为周期的函数是( ) 2

i ? i ?1

A.

y

?

sin

x 2

B. y ? sin x

s ? 2(s ?1)

C. y ? ? tan x D. y ? ?cos2x

4、如果执行右面的程序框图,那么输出的 S ? ( )

A.22

B.46

C. 94

5、在△ABC 中,若 a2 ? a2 ? c2 ? b2 ,则△ABC 是( b2 b2 ? c2 ? a2

A.等腰三角形

B.直角三角形

D.190 )

i ? 5?
否 是
输出s
结束
第 4 题图

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

6、如图:是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图,

甲 53 1

368 2

4 79 3

14


45 2 6 3 78 57

则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是 ( )

A.62

B.63

C.64

D.65

7、函数 y ? tan(? x ? ? )(0 ? x ? 4) 的图象与 x 轴交于 A 点, 42

过点 A 的直线 l 与函数的图象交于 B,C 两点,

第 6 题图

则 (OB ? OC) ?OA ? ( )

A.4

B.10

C.6

D. 8

8、实数

x,

y

满足

?y ? 0 ??x ? y ? 0 ??2x ? y ? 2

?

0

,则

t

?

y x

?1 ?1

的取值范围是





A.

????

1 2

,1???

B.

????

1 2

,

??

? ??

C.

????1,

1 3

? ??

D.

????

1 2

,

1? 3 ??

9、在区间 (1,2) 上,不等式 ? x2 ? mx ? 4 ? 0 有解,则 m 的取值范围为(



A. m ? ?4

B. m ? ?4 C. m ? ?5

D. m ? ?5

10、锐角三角形 ABC 中,内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ,若 B ? 2A,则 b 的取值范围是 a

()

A. ( 2, 3) B. ( 2,2)

C. (0,2)

D. (0, 3)

11、已知 ?ABC的面积为

S

,且

?
AB?

?
AC

? 1,



1

?

S

?

3

??
,则 AB, AC 夹角的取值范围

2

2

是( )

A. (? , ? ) 64

B. (? , ? ) 62

C. (? , ? ) 32

D. (? , ? ) 43

12、已知△ABC 的面积为 1,设 M 是△ ABC 内的一点(不在边界上),定义 f (M ) ? (x, y, z) ,

其中 x, y, z 分别表示△ MBC ,△ MCA,△ MAB 的面积,若 f (M ) ? (x, y, 1) ,则 1 ? 4 2 xy

的最小值为( )

A.8

B.9 C.16

D.18

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

二、 填空题(每题5分,共20分。把答案填在答题纸的横线上)

13、设关于的一元二次不等式 ax2 ? bx ?1 ? 0 的解集为 (?1, 1) ,则 a ? b ?



3

14、不等式

2x2 3x 2

? 5x ?1 ? 7x ? 2

?

1 的解集是______________.

15、方程 2x2 ? 8x ? a ? 0 在区间 (1,4) 上有两个不同的根,则 a 的取值范围是___________.

??

??

16、已知在四边形 ABCD 中,AB=AD=4,BC=6,CD=2, 3 AB? AD? 4CB? CD ? 0 ,求三角形

ABC 的外接圆半径 R 为

.

三、 解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,

写在答题纸的相应位置) 17、(本小题满分 10 分)

求值:

3 tan12? ? 3 .

sin12?(4cos2 12? ? 2)

18、(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,已知 B=45°,D 是 BC 边上的一点,AD=10, AC=14,DC=6,求 AB 的长.

19、(本小题满分 12 分)

某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间,将测试结果按如下方式
分成五组:第一组 ?13,14) ;第二组 ?14,15) ……第五组 ?17,18?.下图是按上述分组方法得到的频
率分布直方图. (I)若成绩大于或等于 14 秒且小于 16 秒认为良好,求该班在这次百米测试中成绩良好的人 数;
(II)设 m 、 n 表示该班某两位同学的百米测试成绩,且已知 m, n ?[13,14) ? [17,18], 求事
件“ m ? n ? 1 ”的概率.

0.38

频率 组距

0.32

0.16

0.08 0.06

O

13 14 15 16 17 18



19题 图

20、(本小题满分 12 分)

已知向量

? a

?

(sin

x,?1)

? b

?

(

3

c os x,?

1) ,函数

f

(x)

?

? (a

?

? b)

?

? a

?

2

2

(1)求函数 f (x) 的值域;

(2)已知 a,b, c 分别为△ABC 内角 A,B,C 的对边, a ? 2 3 ,且 f (A) ? 1,求 A 和△ABC 面积的最大值。

21、(本小题满分 12 分)
某人上午 7:00 时,乘摩托车以匀速 v 千米/时 (4 ? v ? 20) 从 A 地出发到相距 50 千米的 B 地

去,然后乘汽车以匀速 w 千米/时 (30 ? w ?100) 自 B 地向相距 300 千米的 C 地驶去,要求 在当天 16:00 时至 21:00 时这段时间到达 C 地.设汽车所需要的时间为 x 小时, 摩托车所 需要的时间为 y 小时. (1)写出满足上述要求的 x, y 的约束条件; (2)如果途中所需的经费为 p ,且 p ? 100 ? 3(5 ? x) ? 2(8 ? y) (元),那么 v , w 分别
是多少时所要的经费最少?此时需花费多少元?
22、(本小题满分 12 分)
已知 f (x) ? ax2 ? x ? a, a ? R 。 (1)若不等式 f (x) ? (a ?1)x2 ? (2a ? 1)x ? 3a ?1对任意实数 x ?[?1,1]恒成立,求实数 a 的
取值范围;
(2)若 a ? 0 ,解不等式 f (x) ? 1。

2011—2012 学年度第二学期期末考试

高一年级数学(理科)试卷答案

一、CBDCD CDACA DD

二、13、-1;

14、

??x ?

|

1 3

?

x

?

2?? ; ?

15、(6,8);

16、 2 21 3

(
17、解:原式=

3 sin12? ? 3) ? 1

cos12?

sin12?

2(2cos2 12? ?1)

?

3 sin12? ? 3cos12? sin 24? ? (2cos2 12? ?1)

2 ?

3(1 sin12? ? 2

3 2

cos12?)

?

2

sin 24? ? cos24?

3 sin(12? ? 60?) 1 sin 48?

?

?4

3

2

18、 解: 在△ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得

cos ? AD2 ? DC2 ? AC2 = 100 ? 36 ?196 ? ? 1 ,… 3 分

2AD DC

2?10? 6

2

? ? ADC=120°, ? ADB=60° ……… 6 分

在△ABD 中,AD=10, ? B=45°, ? ADB=60°, 由正弦定理得 AB ? AD , ………9 分
sin ?ADB sin B

?AB= AD sin ?ADB ? 10sin 60? ? 10?

3 2 ?5

6.

sin B

sin 45?

2

2

……… 12 分

19、解:(1)由直方图知,成绩在[14,16) 内的人数为: 50? 0.16 ? 50? 0.38 ? 27 (人)

所以该班成绩良好的人数为 27 人………………..4 分

(2)由直方图知,成绩在[13,14) 的人数为 50?0.06 ? 3 人,……………5 分

设为 x, y, z ;成绩在[17,18) 的人数为 50?0.08 ? 4 人,……………6 分

设为 A,B,C,D.

若 m, n ?[13,14) 时,有 xy, xz, yz 3 种情况;

若 m, n ?[17,18) 时,有 AB, AC, AD, BC, BD, CD 6 种情况;

若 n, m 分别在[13,14) 和[17,18) 内时,

A

B

C

D

x

xA

xB

xC

xD

y

yA

yB

yC

yD

z

zA

zB

zC

zD

共有 12 种情况。……………………………………8 分

所以基本事件总数为 21 种,

……………10 分

事 件 “ | n ? m |? 1 ” 所 包 含 的 基 本 事 件 个 数 有 12 种 . ∴ P ( | n ? m |? 1 )

=4 7
20、

……………………………………12 分

所以 f (x) 的值域为[?1,1]

所以 bc ?12 ? 2bc , bc ?12,当且仅当 b ? c ? 2 3 时取等号

此时 S?ABC

?

1 bc sin 2

A

?3

3

所以 ?ABC 面积的最大值为 3 3

21、解:(1)依题意得:

v

?

50 y



w

?

300 x

,又

4

?

v

?

20



30

?

w

? 100



? 3 ? x ? 10

所以 ?? ? ?

5 ? y ? 25

2

2

,所以满足条件的点的范围是图中阴影部分:

??9 ? x ? y ? 14

(2) p ? 100 ? 3? (5 ? x) ? 2? (8 ? y) ,

?3x ? 2y ?131? p ,

作出一组平行直线 3x ? 2y ? t (t 为参数),

由图可知,当直线 3x ? 2y ? t 经过点 (10, 4) 时, 其在 y 轴上截距最大, 此时 p 有最小值,即当 x ? 10, y ? 4 时, p 最小,

此时 v ? 12.5, w ? 30, pmin ? 93 元
?
22、解:(1)原不等式等价于 x2 ? 2ax ? 2a ?1 ? 0 对任意的实数 x ?[?1,1]恒成立,

设 g(x) ? x2 ? 2ax ? 2a ?1 ? (x ? a)2 ? a2 ? 2a ?1
○1 当 a ? ?1时, gmin (x) ? g(?1) ? 1 ? 2a ? 2a ?1 ? 0,得 a ?? ; ○2 当 ?1 ? a ? 1时, gmin (x) ? g(a) ? ?a 2 ? 2a ? 1 ? 0 ,得 ?1 ? 2 ? a ? 1; ○3 当 a ? 1 时, gmin (x) ? g(1) ? 1 ? 2a ? 2a ?1 ? 0,得 a ? 1 ;

综上 a ? 1 ? 2

(3) ax2 ? x ? a ?1 ? 0 ,即 (x ?1)(ax ? a ?1) ? 0

因为 a ? 0 ,所以 (x ?1)(x ? a ?1) ? 0 ,因为 1? (? a ?1) ? 2a ?1

a

a

a

所以当 ? 1 ? a ? 0 时,1 ? ? a ?1 , 解集为{x|1 ? x ? ? a ?1 };

2

a

a

当 a ? ? 1 时, (x ?1)2 ? 0 ,解集为? ; 2

当 a ? ? 1 时,1 ? ? a ?1 , 解集为{x| ? a ?1 ? x ? 1}

2

a

a