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2017-2018学年度第一学期江苏省南通如皋市高三年级第一次联考数学试卷(含答案)


2017~2018 学年度高三年级第一学期教学质量调研(一)

数学试题(理科)
一.填空题:本大题共 14 小题,每题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 上. .......

12.
1 ? ln x ? , x ? 1, ? ? x 13.已知函数 f ? x ? ? ? 若 g ? x ? ? f ? x ? ? m 有三个零点,则实数 m 的取 ?2 x 2 ? mx ? m ? 5 , x ≤1, ? 2 8 ?

值范围是 ▲ . 14.在△ABC 中,若
1 2 1 , , 成等差数列,则 cosC 的最小值为 ▲ . tan A tan C tan B

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内 作答,解答时应写出文字说明、 ........ 证明过程或演算步骤.

16.已知函数 f ? x ? ? x3 ?

3 ? k ? 1? x2 ? 3kx ? 1,其中 k ? R . 2

(1)当 k ? 3 时,求函数 f ? x ? 在 ? 0 , 5? 上的值域; (2)若函数 f ? x ? 在 ?1, 2? 上的最小值为 3,求实数 k 的取值范围. 18.如图,矩形 ABCD 是某小区户外活动空地的平面示意图,其中 AB=50 3米,AD=100 米. 现拟在直角三角形 OMN 内栽植草坪供儿童踢球娱乐(其中,点 O 为 AD 的中点, OM⊥ON,点 M 在 AB 上,点 N 在 CD 上) ,将破旧的道路 AM 重新铺设.已知草坪成本 为每平方米 20 元,新道路 AM 成本为每米 500 元,设∠OMA=θ,记草坪栽植与新道路铺 设所需的总费用为 f(θ). (1)求 f(θ)关于 θ 函数关系式,并写出定义域; (2)为节约投入成本,当 tanθ 为何值时,总费用 f(θ)最小?
D N C

O 高三数学(理科) 第 1 页 共 10 页 A θ M (第 18 题图) B

19.已知二次函数 f ? x ? 为偶函数且图象经过原点,其导函数 f ' ? x ? 的图象过点 ?1, 2? . (1)求函数 f ? x ? 的解析式; (2)设函数 g ? x ? ? f ? x ? ? f ' ? x ? ? m ,其中 m 为常数,求函数 g ? x ? 的最小值.

20.设函数 f ? x ? ? a ln x ?

1 ? 1. x

(1)当 a ? 2 时,求函数 f ? x ? 在点 ?1, f ?1?? 处的切线方程; (2)讨论函数 f ? x ? 的单调性; (3)当 0 ? a ?
a 1 1 时,求证:对任意 x ? , +? ,都有 1 ? x 2 2

?

?

? ?

x?a

? e.

高三数学(理科)

第 2 页

共 10 页

2017~2018 学年度高三年级第一学期教学质量调研(一)

数学试题(理科)参考答案
一.填空题:本大题共 14 小题,每题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 上. ....... 1. ?1 , 4? 5.2
?1 ? 1? 9. ? , ?2 ?

2. 0 , 2 ? ? 6.

?

3.2 7.2

4.4 8. ?1, ? ?? 11. ?3 14.

1 3
10. ? ?3 , 2?

12. ? ?9 , ? 5?

7 13. 1, ? ? 4?

?

1 3

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内 作答,解答时应写出文字说明、 ........ 证明过程或演算步骤.

?? ? 15.解: (1)因为 m ? ? sin x , cos x ? , n ?

,且 m ∥ n , ? 23 ,1 2?
?? ?

所以 sin x ?

1 3 ? cos x ? ,即 tan x ? 3 .……………………………………4 分 2 2

? π? 又 x ? ?0 , ? , ? 3?

π .……………………………………………………………………6 分 3 ?? ?? ? 3 ? 3 1 , ,且 m ? n ? , (2)因为 m ? ? sin x , cos x ? , n ? 2 2 5

所以 x ?

?

?

3 1 3 π 3 sin x ? cos x ? ,即 sin x ? ? .……………………………8 分 2 2 5 6 5 π π 3 令 ? ? x ? ,则 x ? ? ? ,且 sin ? ? , 6 6 5

所以

? ?

高三数学(理科)

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共 10 页

? π? ?π π? 因为 x ? ?0 , ? ,故 ? ? ? , ? , 3 ? ? ?6 2?

所以 cos? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? 所以 sin x ?

??
3 5

2

?

4 .……………………………………11 分 5

?

π π π π π π ? sin ? ? ? ? sin ? ? ? sin ? cos ? cos ?sin 12 6 12 4 4 4
3 2 4 2 2 ? ? ? ? ?? .………………………………14 分 5 2 5 2 10

? ?

? ? ?

16.解: (1)由题意可知,不等式 x 2 ? mx ? 2m2 ? x ? k 的解集为 ? ?2 , 6? , 即不等式 x2 ? ? m ? 1? x ? 2m2 ? k ? 0 的解集为 ? ?2 , 6? , 所以方程 x2 ? ? m ? 1? x ? 2m2 ? k ? 0 的两个实根分别为 ?2 ,6,
? ??2 ? 6 ? m ? 1, 根据一元二次方程根与系数的关系,可得 ? 2 ? ??2 ? 6 ? ?2m ? k ,
?m ? 3 , 解得 ? ……………………………………………………………………6 分 ?k ? ?6 .

(2)由题意可知,对任意 x ? ?1, ? ? ? ,恒有 x 2 ? mx ? 2m2 ? 0 , 即对任意 x ? ?1, ? ? ? ,恒有 ? x ? m?? x ? 2m? ? 0 ,
??m ? 1 , 所以 ? ? 2m ? 1 ,

解得 ?1 ? m ?

1 .………………………………………………………………14 分 2

3 2 ' 2 16. 解: (1) 当 k ? 3 时,f ( x) ? x ? 6 x ? 9 x ? 1,f ( x) ? 3x ? 12x ? 9 ? 3( x ? 1)(x ? 3) , ' 令 f ( x) ? 0 得 x1 ? 1, x2 ? 3 ,列表:

x

0

1? ?0 ,

1

3? ?1,
?

3

5? ?3 ,

5

f '? x? f ? x?
1

+ ↗

0 极大值 5

0 极小值 1
共 10 页

+ ↗ 21


第 4 页

高三数学(理科)

由上表知,函数 f ? x ? 的值域为 [1,21] .……………………………………6 分 (2) f ' ( x) ? 3x 2 ? 3(k ? 1) x ? 3k ? 3( x ? 1)(x ? k ) , ① 当 k ? 1 时, ?x ? [1,2], f ' ( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在区间 [1,2] 单调递增, 所以 f ( x) min ? f (1) ? 1 ?

3 5 (k ? 1) ? 3k ? 1 ? 3 ,即 k ? (舍) . 2 3

…………………………………………………8 分 ② 当 k ? 2 时, ?x ? [1,2], f ' ( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在区间 [1,2] 单调递减, 所以 f ( x) min ? f (2) ? 8 ? 6(k ? 1) ? 3k ? 2 ? 1 ? 3 ,符合题意. …………………………………………………10 分 ③ 当 1 ? k ? 2 时, 当 x ? [1, k ) 时, f ' ( x) ? 0 f ( x) 区间在 [1, k ) 单调递减; 当 x ? (k ,2] 时, f ' ( x) ? 0 f ( x) 区间在 ( k ,2] 单调递增. 所以 f ( x) min ? f (k ) ? f (2) ? 3 ,不符合题意. 综上所述:实数 k 取值范围为 k ? 2 . ……………………………………14 分 b c 17.解: (1)由 c-b=2bcosA 及正弦定理 可得, ? sin B sin C
sin C ? sin B ? 2sin B cos A ,

(*)……………………………2 分

sin ? ? π ? ? A ? B ?? ? ? sin B ? 2sin B cos A ,
即 sin ? A ? B ? ? sin B ? 2sin B cos A , 所以 sin A cos B ? cos A sin B ? sin B ? 2sin B cos A , 整理得 sin A cos B ? cos A sin B ? sin B , 即 sin ? A ? B ? ? sin B ,…………………………………………………………4 分 又 A,B 是△ABC 的内角, 所以 B ? ? 0 , π? , A ? B ? ?0 , π? , 所以 A ? B ? B 或 A ? B ? B ? π (舍去) , 即 A=2B.………………………………………………………………………6 分
高三数学(理科) 第 5 页 共 10 页

(2)由 cosB=

3 3 及 B ??0 , π ? 可知, sin B ? 1 ? cos2 B ? 1 ? 4 4
3 4
2

??

2

?

7 . 4

由 A=2B 可知, cos A ? cos 2 B ? 2 cos 2 B ? 1 ? 2 ?

, ? ? ?1 ? 1 8

3 7 3 sin A ? sin 2 B ? 2sin B cos B ? 2 ? ? ? 7. 4 4 8

由(*)可得, sin C ? sin B ? 2sin B cos A ? 在△ABC 中,由正弦定理

7 7 1 5 ? 2? ? ? 7 .……10 分 4 4 8 16

b c b 5 可得, ,解得 b ? 4 , ? ? 5 sin B sin C 7 7 16 4

1 1 3 15 所以△ABC 的面积 S ? bc sin A ? ? 4 ? 5 ? 7? 7 .………………14 分 2 2 8 4
18.解: (1)据题意,在 Rt?OAM 中,OA=50,∠OMA=θ, 所以 AM=

50 50 ,OM= . tan ? sin ?

据平面几何知识可知∠DON=θ. 在 Rt?ODN 中,OD=50,∠DON=θ,所以 ON=

50 . cos ?

1 50 50 50 所以 f(θ)= 20 ? S?OMN ? 500 ? AM = 20 ? ? ? ? 500 ? 2 sin ? cos? tan ?
= 25000 ?

1 .………………………………………6 分 ? sin?1cos? ? tan ??
π ;当点 N 与点 C 重合时,θ 取最 6

据题意,当点 M 与点 B 重合时,θ 取最小值 大值

π π π ,所以 ≤ ? ≤ . 6 3 3 1 1 ?π π? 所以 f(θ)= 25000 ? ,其定义域为 ? , ? .………………8 分 ? sin ? cos? tan ? ?6 3? 1 1 π π (2)由(1)可知,f(θ)= 25000 ? , ≤? ≤ . ? sin ? cos? tan ? 6 3

?

?

?

?

? 0 ? cos2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? ? ? f ' ?? ? = 25000 ? ? sin 2 ? ? ? sin ? cos ? ?2 ? ? ?
? sin 2 ? ? cos 2 ? 1 ? ? ? = 25000 ? ? 2 sin 2 ? ? ? ? ? sin ? cos ? ? ?

?

?

高三数学(理科)

第 6 页

共 10 页

= 25000 ?

sin 2 ? ? 2cos 2 ?

? sin ? cos? ?

2



?π π? 令 f ' ?? ? =0,得 tan ?0 ? 2 ,其中 ? 0 ? ? , ? ,列表: ?6 3?

θ

π 6

, ? ? ?π 6
0

?0

?? ,π 3?
0

π 3

f ' ?? ?
f ?? ?
7 ? 25000 3

?

0

?

5 ? 25000 3



极小值 50000 2

所以当 tan ? ? 2 时,总费用 f(θ)取最小值 50000 2 ,可节约投入成本. …………………………………………………16 分 法二:f(θ)= 25000 ?

1 sin ? ? cos ? 1 = 25000 ? ? ? ? sin?1cos? ? tan ? ? sin ? cos? tan ? ?
2 2

1 1 ? ? ? tan ? tan ? 2 = 25000 ? ? tan ? ? ? ≥ 25000 ? 2 tan ?
= 25000 ? tan ? ? 当且仅当 tan ? ?

tan ? ?

2 ? 50000 2 ,…………13 分 tan ?

2 ,即 tan ? ? 2 时,取等号. …………………………15 分 tan ?

所以当 tan ? ? 2 时,总费用 f(θ)最小,可节约投入成本.…………………16 分 19.解: (1)因为二次函数 f ? x ? 经过原点,可设 f ? x ? ? ax2 ? bx ? a ? 0? , 又因为 f ? x ? 为偶函数, 所以对任意实数 x ? R ,都有 f ? ? x ? ? f ? x ? ,即 a ? ?x ? ? b ? ?x ? ? ax2 ? bx ,
2

所以 2bx ? 0 对任意实数 x ? R 都成立,故 b ? 0 . 所以 f ? x ? ? ax2 , f ' ? x ? ? 2ax , 又因为导函数 f ' ? x ? 的图象过点 ?1, 2? , 所以 2a ? 1 ? 2 ,解得 a ? 1 . 所以 f ? x ? ? x 2 .…………………………………………………………………5 分
高三数学(理科) 第 7 页 共 10 页

m ? 2 x ? 2x ?m , x ? , ? ? 2 (2)据题意, g ? x ? ? f ? x ? ? f ' ? x ? ? m ? x2 ? 2x ? m ,即 g ? x ? ? ? m ? x2 ? 2 x ? m , x≥ , ? 2 ?
① 若

m ? ?1 ,即 m ? ?2 . 2

当x?

m m 2 时, g ? x ? ? x2 ? 2x ? m ? ? x ? 1? ? m ? 1 ,故 g ? x ? 在 ?? , 上单调 2 2

?

?

递减; 当 x≥

m m 2 时, g ? x? ? x2 ? 2x ? m ? ? x ? 1? ? m ? 1 ,故 g ? x ? 在 , ? 1 上单调 2 2

?

?

递减,在 ? ?1, ? ? ? 上单调递增. 故 g ? x ? 的最小值为 g ? ?1? ? ?m ? 1 .……………………………………8 分 ② 若 ?1 ≤ 当x?

? ? m m 当 x ≥ 时, g ? x? ? ? x ? 1? ? m ? 1 ,故 g ? x ? 在 ? , ? ? ? 上单调递增. 2 2 m m 故 g ? x ? 的最小值为 g ? ? ? . ……………………………………11 分 2 4
m m 2 时, g ? x? ? ? x ? 1? ? m ? 1 ,故 g ? x ? 在 ?? , 上单调递减; 2 2
2
2

m ≤1 ,即 ?2 ≤ m ≤ 2 . 2

③ 若

m ? 1 ,即 m ? 2 . 2 m 2 时, g ? x? ? x2 ? 2x ? m ? ? x ? 1? ? m ? 1 ,故 g ? x ? 在 ? ?? , 1? 上单调递 2

当x?

m 减,在 1, 上单调递增; 2
当 x≥

? ?

m m 2 时,g ? x? ? x2 ? 2x ? m ? ? x ? 1? ? m ? 1 , 故 g ? x? 在 , ? ? 上单调 2 2

?

?

递增. 故 g ? x ? 的最小值为 g ?1? ? m ? 1. ……………………………………14 分 综上所述,当 m ? ?2 时, g ? x ? 的最小值为 ? m ? 1 ; 当 ?2 ≤ m ≤ 2 时, g ? x ? 的最小值为

m2 ; 4

当 m ? 2 时, g ? x ? 的最小值为 m ? 1 .…………………………16 分
高三数学(理科) 第 8 页 共 10 页

20.解: (1)当 a ? 2 时, f ? x ? ? 2ln x ?

1 1 ? 1 , f ?1? ? 2ln1 ? ? 1 ? 0 , x 1

f '? x? ?

2 1 2 1 ? , f ' ?1? ? ? 2 ? 1 , x x2 1 1

所以函数 f ? x ? 在点 ?1, 0 ? 处的切线方程为 y ? 0 ? 1? ? x ? 1? , 即 x ? y ? 1 ? 0 . ……………………………………………………………4 分 (2) f ? x ? ? a ln x ?
1 ? ?? , ? 1,定义域为 ? 0 , x

f '? x? ?

a 1 ax ? 1 ? ? 2 . x x2 x

① 当 a ≤ 0 时, f ' ? x ? ? 0 ,故函数 f ? x ? 在 ? 0 , ? ?? 上单调递减; ② 当 a ? 0 时,令 f ' ? x ? ? 0 ,得 x ? x
f '? x?
f ? x?

?0 ,1 a?
?

1 . a

1 a
0

, ? ?? ?1 a

?




极小值

综上所述,当 a ≤ 0 时, f ? x ? 在 ? 0 , ? ?? 上单调递减;

1 1 当 a ? 0 时, 函数 f ? x ? 在 0 , 上单调递减, 在 , ? ? 上单调递增. a a
……………………………………………………………9 分 (3)当 0 ? a ? 显然,

? ?

?

?

1 1 时,由(2)可知,函数 f ? x ? 在 0 , 上单调递减, a 2

? ?

1 1 2? ? 0 , , ? 2 ,故 ?1, a a

? ?

所以函数 f ? x ? 在 ?1, 2 ? 上单调递减,

a a , +?? ,都有 0 ? ? 1 ,所以 1 ? 1 ? ? 2 . ?1 2 x x a 1 a 所以 f ?1 ? ? ? f ?1? ,即 a ln ?1 ? ? ? ?1 ? 0 , x 1? a x
对任意 x ?
x

所以 a ln 1 ?

a a 1 ,即 ln ?1 ? ? ? , ? ? a x? x ? a x x?a
高三数学(理科) 第 9 页 共 10 页

所以 ? x ? a ? ln 1 ? 所以 1 ?

? ?

? ax ?

a a ? 1 ,即 ln 1 ? x x

? ?

x?a

?1,

x?a

? e .……………………………………………………………16 分

高三数学(理科)

第 10 页

共 10 页


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