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2019年人教A版必修四高中数学2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 同步习题及答案

§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理 课时目标 角与垂直. 1.理解并掌握平面向量基本定理.2.掌握向量之间的夹 1.平面向量基本定理 (1)定理:如果 e1,e2 是同一平面内的两个______向量,那么对于这 一平面内的______向量 a,__________实数 λ1,λ2,使 a= ____________________________. (2)基底:把________的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内________向 量的一组基底. 2. 两向量的夹角与垂直 →=b,则________ (1)夹角:已知两个__________a 和 b,作→ OA=a,OB =θ (0°≤θ≤180°),叫做向量 a 与 b 的夹角. ①范围:向量 a 与 b 的夹角的范围是______________. ②当 θ=0°时,a 与 b________. ③当 θ=180°时,a 与 b________. (2)垂直:如果 a 与 b 的夹角是________,则称 a 与 b 垂直,记作 ______________. 一、选择题 1.若 e1,e2 是平面内的一组基底,则下列四组向量能作为平面向量 的基底的是( ) 1 B.2e1+e2,e1+ e2 2 D.e1+e2,e1-e2 ) A.e1-e2,e2-e1 C.2e2-3e1,6e1-4e2 →与→ 2.等边△ABC 中,AB BC的夹角是( A.30°B.45°C.60°D.120° 3.下面三种说法中,正确的是( ) ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基 底; ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基 底;③零向量不可作为基底中的向量. A.①②B.②③C.①③D.①②③ →1=a,OP →2=b,P → → → 4.若OP 1P=λPP2(λ≠-1),则OP等于( A.a+λbB.λa+(1-λ)b 1 λ C.λa+bD. a+ b 1+λ 1+λ 5.如果 e1、e2 是平面 α 内两个不共线的向量,那么在下列各命题中 不正确的有( ) ) ①λe1+μe2(λ、μ∈R)可以表示平面 α 内的所有向量; ②对于平面 α 中的任一向量 a, 使 a=λe1+μe2 的实数 λ、 μ 有无 数多对; ③若向量 λ1e1+μ1e2 与 λ2e1+μ2e2 共线,则有且只有一个实数 λ, 使 λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2); ④若实数 λ、μ 使 λe1+μe2=0,则 λ=μ=0. A.①②B.②③C.③④D.② 6.如图,在△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,F 是 AD 上的一点,且 1 AE = ,连结 CF 并延长交 AB 于 E,则 等于( 5 EB ) AF FD 1 1 1 1 A. B. C. D. 12 3 5 10 题 号 答 案 1 2 3 4 5 6 二、填空题 7.设向量 m=2a-3b,n=4a-2b,p=3a+2b,试用 m,n 表示 p,p =________. 8.设 e1、e2 是不共线的两个向量,给出下列四组向量:①e1 与 e1+ e2;②e1-2e2 与 e2-2e1;③e1-2e2 与 4e2-2e1.其中能作为平面内所 有向量的一组基底的序号是________.(写出所有满足条件的序号) →=b.若点 D 满足→ 9.在△ABC 中,→ AB=c,AC BD=2→ DC,则→ AD= ____________. 10.在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点,若→ AC= →+μAF →,其中 λ、μ∈R,则 λ+μ=________. λAE 三、解答题 11.如图所示,已知△ABC 中,D 为 BC 的中点,E,F 为 BC 的三等分 →=b,用 a,b 表示→ →,→ 点,若→ AB=a,AC AD,AE AF. → 12.如图所示, 已知△AOB 中,点 C 是以 A 为中点的点 B 的对称点, OD →=a,→ =2→ DB,DC 和 OA 交于点 E,设OA OB=b. →; (1)用 a 和 b 表示向量→ OC、DC →=λOA →,求实数 λ 的值. (2)若OE 能力提升 13.如图所示,OM∥AB,点 P 在由射线 OM、线段 OB 及 AB 的延长线围 →=xOA →+yOB →,则 x 的取值范围 成的阴影区域内(不含边界)运动,且OP 1 是________;当 x=- 时,y 的取值范围是____________. 2 14.如图所示,在△ABC 中,点 M 是 BC 的中点,点 N 在边 AC 上,且 AN=2NC,AM 与 BN 相交于点 P,求证:AP∶PM=4∶1. 1.对基底的理解 (1)基底的特征 基底具备两个主要特征:①基底是两个不共线向量;②基底的选择是 不唯一的. 平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所 有向量的一组基底的条件. (2)零向量与任意向量共线,故不能作为基底. 2.准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解,即平面内任一向量都可 以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式,且分解是唯一的. (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想,用向量解决几 何问题时,我们可以选择适当的基底,将问题中涉及的向量向基底化 归,使问题得以解决. §2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理 答案 知识梳理 1.(1)不共线 任意 有 2.(1)非零向量 ∠AOB ①[0°,180°] ②同向 ③反向 (2)90° 作业设计 1.D 2.D 3.B → → → → → → 4.D [∵P 1P=λPP2,∴OP-OP1=λ(OP2-OP) →1+λOP →2 ∴(1+λ)→ OP=OP →= 1 OP →