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2018年高考数学专题22函数的基本性质理.


专题 2.2
【三年高考】

函数的基本性质

1. 【2017 课标 1,理 5】函数 f ( x) 在 (??, ??) 单调递减,且为奇函数.若 f (1) ? ?1 ,则满足

?1 ? f ( x ? 2) ? 1 的 x 的取值范围是
A. [?2, 2] 【答案】D B. [?1,1] C. [0, 4] D. [1,3]

x x 2.【2017 北京,理 5】已知函数 f ( x ) ? 3 ? ( ) ,则 f ( x )

1 3

(A)是奇函数,且在 R 上是增函数 (C)是奇函数,且在 R 上是减函数 【答案】A

(B)是偶函数,且在 R 上是增函数 (D)是偶函数,且在 R 上是减函数

?1? ?1? ?1? 【解析】 f ? ? x ? ? 3 ? ? ? ? ? ? ? 3x ? ? f ? x ? ,所以函数是奇函数,并且 3x 是增函数,? ? ? 3? ? 3? ?3?
?x

?x

x

x

是减函数,根据增函数-减函数=增函数,所以函数是增函数,故选 A. 3.【2017 山东,理 15】若函数 e x f ? x ? ( e ? 2.71828? 是自然对数的底数)在 f ? x ? 的定义域上单调递 增,则称函数 f ? x ? 具有 M 性质.下列函数中所有具有 M 性质的函数的序号为 ① f ? x ? ? 2? x 【答案】①④ ② f ? x ? ? 3? x ③ f ? x ? ? x3 ④ f ? x ? ? x2 ? 2 .

?e? ?x 【解析】① e f ? x ? ? e ? 2 ? ? ? 在 R 上单调递增,故 f ? x ? ? 2 具有 ? 性质; ?2?
x x ?x

x

② e x f ? x ? ? e x ? 3? x ? ? ? 在 R 上单调递减,故 f ? x ? ? 3 不具有 ? 性质;
?x

?e? ? 3?

x

③ e f ? x ? ? e ? x ,令 g ? x ? ? e ? x ,则 g? ? x ? ? e ? x ? e ? 3x ? x e
x x 3 x 3 x 3 x 2

2 x

? x ? 2? ,?当 x ? ?2 时,

g? ? x ? ? 0 ,当 x ? ?2 时, g? ? x ? ? 0 ,? ex f ? x ? ? ex ? x3 在 ? ??, ?2? 上单调递减,在 ? ?2, ?? ? 上
单调递增,故 f ? x ? ? x 不具有 ? 性质;
3

1

x x 2 x 2 ④ e f ? x ? ? e x ? 2 ,令 g ? x ? ? e x ? 2 ,则

?

?

?

?

2 g ? ? x ? ? e x ? x2 ? 2? ? e x ? 2 x ? e x ?? x ? 1? ? 1? ? 0 ,? e x f ? x ? ? e x ? x 2 ? 2 ? 在 R 上单调递增,故 ? ?

f ? x ? ? x2 ? 2 具有 ? 性质.
4.【2017 江苏,11】已知函数 f ( x) ? x3 ? 2 x ? e x ?
1 , 其中 e 是自然对数的底数. 若 ex

f (a ? 1) ? f (2a2 ) ≤ 0 ,则实数的取值范围是
【答案】 [ ?1, ]

.学。

1 2

5.【2016 年高考北京理数】已知 x , y ? R ,且 x ? y ? 0 ,则(



A.

1 1 ? ?0 x y

B. sin x ? sin y ? 0

C. ( ) ? ( ) ? 0 D. ln x ? ln y ? 0
x y

1 2

1 2

【答案】C

6.【2016 高考山东理数】已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x<0 时, f ( x) ? x ?1 ;当 ?1 ? x ? 1 时,
3

f (? x) ? ? f ( x) ;当 x ?
(A)? 2 【答案】D

1 1 1 时, f ( x ? ) ? f ( x ? ) .则 f(6)= ( 2 2 2
(C)0 (D)2



(B)? 1

2

【解析】当 x ?

1 1 1 1 时, f ( x ? ) ? f ( x ? ) ,所以当 x ? 时,函数 f ( x ) 是周期为的周期函数,所以 2 2 2 2

3 f (6) ? f (1) ,又函数 f ( x) 是奇函数,所以 f (1) ? ? f (?1) ? ? ?? ?1? ? 1? ? 2 ,故选 D. ? ?

7. 【2016 高考天津理数】已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间(- ? ,0)上单调递增.若实数

a 满足 f (2

a ?1

) ? f (? 2) ,则 a 的取值范围是______.

【答案】 ( , ) 【解析】由题意 f ( x ) 在 (0, ??) 上递减,又 f ( x ) 是偶函数,则不等式 f (2
a ?1

1 3 2 2

) ? f (? 2) 或化为

f (2

a ?1

) ? f ( 2) ,则 2

a ?1

? 2 , a ?1 ?

1 3 1 1 3 ,解得 ? a ? ,即答案为 ( , ) . 2 2 2 2 2

8. 【2016 年高考四川理数】已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数,当 0<x<1 时,

5 f ( x) ? 4 x ,则 f (? ) ? f (1) = 2
【答案】-2

.

【解析】因为函数 f ( x ) 是定义在 R 上周期为 2 的奇函数,所以

f (?1) ? ? f (1), f (?1) ? f (?1 ? 2) ? f (1) ,所以 ? f (1) ? f (1) ,即 f (1) ? 0 ,
1 5 5 1 1 1 f (? ) ? f (? ? 2) ? f (? ) ? ? f ( ) ? ?4 2 ? ?2 ,所以 f (? ) ? f (1) ? ?2 . 2 2 2 2 2

9. 【2016 高考江苏卷】设 f ( x ) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间 [?1,1) 上,

? x ? a, ?1 ? x ? 0, 5 9 ? 其中 a ? R. 若 f (? ) ? f ( ) ,则 f (5a) 的值是 f ( x) ? ? 2 2 2 ? 5 ? x ,0 ? x ? 1, ?
【答案】 ?

.

2 5

5 1 9 1 1 1 2 3 【解析】 f (? ) ? f (? ) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? a ? ? ? a ? ,因此 2 2 2 2 2 2 5 5 3 2 f (5a) ? f (3) ? f (1) ? f (?1) ? ?1 ? ? ? 5 5
10. 【2015 高考湖南,理 5】设函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) ,则 f ( x ) 是( A.奇函数,且在 (0,1) 上是增函数 C. 偶函数,且在 (0,1) 上是增函数 B. 奇函数,且在 (0,1) 上是减函数 D. 偶函数,且在 (0,1) 上是减函数
3



【答案】A. 【解析】显然, f ( x ) 定义域为 ( ?1,1) ,关于原点对称,又∵ f (? x) ? ln( 1 ? x) ? ln(1 ? x) ? ? f ( x) , ∴ f ( x) 为奇函数,显然, f ( x ) 在 (0,1) 上单调递增,故选 A. 11.. 【2015 高考天津,理 7】已知定义在 R 上的函数 f ? x ? ? 2
x?m

? 1 ( m 为实数)为偶函数,
)

记 a ? f (log0.5 3), b ? f ? log2 5? , c ? f ? 2m? ,则 a, b, c 的大小关系为( (A) a ? b ? c (B) a ? c ? b (C) c ? a ? b (D) c ? b ? a 【答案】C

【2017 考试大纲】 (1)理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义; 结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. (2)会运用函数图像理解和研究函数的性质. 【三年高考命题回顾】 纵观前三年各地高考试题, 对函数性质的考查是高考命题的重点,不管是何种函数,都要与函数性质 联系起来,主要考查单调性、奇偶性、对称性、周期性以及几方面的综合,且常以复合函数或分段函 数的形式出现,达到一题多考的目的.纯性质题一般为选择题、填空题,属中低档题,若结合导数研 究函数性质的多为解答题,这类题往往有固定的解题思维,也应为学生得分的题目. 【2018 年高考复习建议与高考命题预测】 由前三年的高考命题形式, 对单调性(区间)问题的考查的热点有: (1)确定函数单调性(区间) ; (2)应用函数单调性求函数值域(最值) 、比较大小、求参数的取值范围、解(或证明)不等式;函 数单调性,此部分知识在高考命题中以选择题和填空题的形式出现,或与导数结合出一个解答题,主 要考查函数的单调性,求函数的单调区间,以及求函数值域(最值) ,确定参数范围,作为把关题存 在.函数奇偶性与函数的周期性,此部分知识在高考命题中多以选择题和填空题的形式出现,一般难
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度不大,只要会判断简单函数的奇偶性,而函数的周期性,有时和数列结合出些周期数列问题,可用 归纳推理得到.即对函数单调性的考察.在函数值的比较大小,求函数的值域,解相关的不等式方面有 着重要的应用.对函数奇偶性的考察,一个是图形一个是方程的形式.对函数周期性的考察,周期性主 要研究函数值有规律的出现,在解决三角函数里面体现的更明显.而且“奇偶性”+“关于直线

x ? k ”对称,求出函数周期的题型在高考中也时不时出现.在 2018 年函数性质的复习,首先要在定
义上下功夫,其次要从数形结合的角度认识函数的单性质,深化对函数性质几何特征的理解和运用, 同时要注意以下方面: 1.性质通过数学语言给出的 这类问题一般没有解析式,也没有函数方程,有的是常见的函数性质语言比如:单调递增,奇函数等 等,它通常和不等式联立在一起考查,处理方式主要是通过它所给的性质画出函数的草图然后解决就 可以了. 2.性质通过方程和不等式给出的 这类问题通常是考查的抽象函数有关问题,抽象函数因其没有解析式,其性质以方程(或不等式)给 出而成为解题依据. 所以在解题时要搞清楚常见方程和不等式所告诉的含义是什么. 3. 性质通过解析式给出的 这类问题有解析式,但考虑的方向不是代人求值问题,而是通过观察解析的特点,从而得到函数的性 质,用性质去解决相关问题,考虑的性质一般是先看看函数的对称性,再看看单调性,进一步作出相 关的草图就可以解决了.

【2018 年高考考点定位】 高考对函数性质的考查有三种主要形式:一是考察单调性,可以从函数图象、单调性定义、导数来理 解;二是考察奇偶性,要从图象和定义入手,尤其要注意抽象函数奇偶性的判断;三是对称性和周期 性结合,用以考察函数值重复出现的特征以及求解析式. 【考点 1】函数的单调性 【备考知识梳理】 1.单调性定义:一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 A . 区间 I ? A . 如果对于区间 I 内的任意两个值 x1 , x2 , 当 x1<x2 时,都有 f ( x1 )<f ( x2 ), 那么就说 y=f ( x) 在区间 I 上是单调增函数, I 称为 y=f ( x) 的单调增区间.

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如果对于区间 I 内的任意两个值 x1 , x2 , 当 x1<x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么就说 y=f ( x) 在区间

I 上是单调减函数, I 称为 y=f ( x) 的单调减区间.
2.利用图象判断函数单调性:在定义域内的某个区间上,若函数图象从左向右呈上升趋势,则函数在 该区间内单调递增;若函数图象从左向右呈下降趋势,则函数在该区间单调递减. 【规律方法技巧】 一.判断函数单调性的方法: 1. 定义及变形:设 x1 , x2 , 是函数 y=f ( x) 定义域内某个区间内的任意两个不等的自变量,若

f (x1 ) ? f (x 2 ) f (x1 ) ? f (x 2 ) ? 0 ,则函数在该区间内单调递减;若 ? 0 ,则函数在该区间内单调递 x1 ? x2 x1 ? x2
增. 常见结论: (1)增函数 ? 增函数 ? 增函数,减函数 ? 减函数 ? 减函数,增函数 ? 减函数 ? 增函数, 减函数 ? 增函数 ? 减函数; (2)函数 ? f ? x ? 与函数 f ? x ? 的单调性相反; (3) k ? 0 时,函数 f ? x ? 与

f ? x?

k

的单调性相反( f ? x ? ? 0 ) ;

k ? 0 时,函数 f ? x ? 与
二.单调区间的求法

f ? x?

k

的单调性相同( f ? x ? ? 0 ).

1.利用基本初等函数的单调区间; 2.图象法:对于基本初等函数及其函数的变形函数,可以作出函数图象求出函数的单调区间. 3.复合函数法:对于函数 y ? f ? ? g ? x ?? ? ,可设内层函数为 u ? g ? x ? ,外层函数为 y ? f ?u ? ,可以 利用复合函数法来进行求解,遵循“同增异减”,即内层函数与外层函数在区间 D 上的单调性相同, 则函数 y ? f ? ? g ? x ?? ? 在区间 D 上单调递增;内层函数与外层函数在区间 D 上的单调性相反,则函数

y? f ? ? g ? x ?? ? 在区间 D 上单调递减.
4.导数法: 不等式 f ? ? x ? ? 0 的解集与函数 f ? x ? 的定义域的交集即为函数 f ? x ? 的单调递增区间, 不 等式 f ? ? x ? ? 0 的解集与函数 f ? x ? 的定义域的交集即为函数 f ? x ? 的单调递减区间. 【注】函数的多个递增区间或递减区间不能合并,在表示的时候一般将各区间用逗号或“和”字进行
6

连接. 三.对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义,结合题目所给性质和相应的条件,对任 意 x1 、x2 在所给区间内比较 f ? x1 ? ? f ? x2 ? 与 0 的大小, 或 同号) .有时根据需要,需作适当的变形:如 x1 ? x2 ? 【考点针对训练】 1. 【天津市第一中学 2017 届高三下学期第五次月考】 已知定义在 R 上的奇函数 f ? x ? 满足: 当x ? 0
2 时, f ? x ? ? x ? sinx ,若不等式 f ? ?4t ? ? f 2m ? mt 对任意实数 t 恒成立,则实数 m 的取值范

f ? x1 ? 与1 的大小 (要求 f ? x1 ? 与 f ? x2 ? f ? x2 ?

x1 或 x1 ? ? x1 ? x2 ? ? x2 等. x2

?

?

围是( A.

) B.

? ??, ? 2 ?

??

2, 0

?

C.

? ??, 0 ? ? ?

2, ??

?

D.

? ??, ? 2 ? ? ?

2, ??

?

【答案】A 【解析】因为当 x ? 0 时, f ? ? x ? ? 1 ? cosx ? 0 ,所以由奇函数的对称性可知函数 f ? x ? 在 R 上单
2 2 t ? 2m ? 0 ,当 m ? 0 时,不等式不成立,故 调递增,则原不等式可化为 ?4t ? 2m ? mt ,即 mt ? 4

2 2 m?0, 此时判别式 16 ? 8m ? 0 , 即m ? 2, 所以 m ? 2 或 m ? ? 2 , 由于 m ? 0 , 所以 m ? ? 2 ,

应选答案 A.

ex a ? , 2. 【河北省衡水中学 2017 年高考猜题卷 (一) 】 已知函数 f ? x ? ? 对于任意的 x1 , x2 ??1, 2? , 2 ex
? 且 x1 ? x2 , ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? x1 ? x2 ? ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是( )

? e2 e2 ? A. ? ? , ? ? 4 4?
【答案】B

? e2 e2 ? B. ? ? , ? ? 2 2?

? e2 e2 ? C. ? ? , ? ? 3 3?

2 2 D. ? ? ?e , e ? ?

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【考点 2】函数的奇偶性 【备考知识梳理】 1.函数的奇偶性的定义: 对于函数 f ( x) 定义域内定义域内任意一个 x ,若有 f (? x) ? ? f ( x) ,则 函数 f ( x) 为奇函数;若有 f (? x) ? f ( x) ,那么函数 f ( x) 为偶函数 2.奇偶函数的性质:⑴ 定义域关于原点对称; ⑵ 偶函数的图象关于 y 轴对称;⑶ 奇函数

的图象关于原点对称;⑷ 奇+奇=奇,奇 ? 奇=偶,偶+偶=偶,偶 ? 偶=偶,奇 ? 偶=奇.⑸ f ( x) 为偶 函数 ? f ( x) ? f (| x |) . 【规律方法技巧】 1.利用定义判断函数奇偶性的步骤: ⑹ 若奇函数 f ( x) 的定义域包含 0 ,则 f (0) ? 0 .

2.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式 f ? x ?+f (-x)= 0 (奇函数) 或

f ? x ? -f (-x)=0 (偶函数))是否成立.
3.通过函数图象的对称关系也可以判断奇偶性.若图象关于原点对称,则函数是奇函数;若图象关 于 y 轴对称,则函数是偶函数. 4.抽象函数奇偶性的判断方法:(1)利用函数奇偶性的定义,找准方向(想办法出现 f (-x),f ? x ? ); (2)巧妙赋值,合理、灵活地变形配凑;(3)找出 f (? x) 与 f ? x ? 的关系,得出结论.
8

5.已知函数的奇偶性求函数的解析式.抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式,或充分利用 奇偶性产生关于 f ? x ? 的方程,从而可得 f ? x ? 的解析式. 6. 已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数. 常常采用待定系数法: 利用 f ? x ? ? f (-x)= 0 产生关于字母的恒等式,由系数的对等性可得知字母的值. 7.奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点 对称的区间上的单调性相反. 【考点针对训练】 1. 【河南省息县第一高级中学 2017 届高三第七次适应性】 若函数 f ? x ? ? 是偶函数,则实数 t ? ( A. ?2 【答案】D B. 2 C. 1 ) D. ?1

te x ? t ? 2 1 ? x ? ln ? x2 ? 1 ex ?1 1? x

1? x ?0 1? x te x ? t ? 2 , h ? x? ? 【解析】由 { 1 ? x ,知定义域为 ? ?1,0? ? ? 0,1? ,令 g ? x ? ? ln ,则 1? x ex ?1 x e ?1 ? 0
g ? ? x ? ? ln 1? x 1? x 1? x ? ?ln ? ? g ? x ? ,? g ? x ? ? ln 是奇函数,则 1? x 1? x 1? x

te x ? t ? 2 2 2 2 ? t ? ?x ? 0 ,整 h ? x? ? ?t? x 是奇函数,由 h ? x ? ? h ? ?x ? ? 0 ,即 t ? x x e ?1 e ?1 e ?1 e ?1
理得 2t ?

2 2e x ? ? 0 ,解得 t ? ?1 ,故选 D. ex ?1 1 ? ex
a 3 ? x 是 R 上的奇函数,则 2 2 ?1

2. 【河北省衡水中学 2017 届高三下学期第三次摸底】已知 f ? x ? ?

f ? a ? 的值为(
A.

) C.

7 6

B.

1 3

2 5

D.

2 3

【答案】A 【解析】因为 f ? x ? ?

a 3 a 3 ? x 是 R 上的奇函数,所以 f ? 0 ? ? ? ? 0 ,得 a ? 3 , 2 2 ?1 2 2

3 3 ? x . 2 2 ?1 3 3 7 f ? a ? ? f ? 3? ? ? ? .故选 A. 2 9 6 f ? x? ?

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【考点 3】周期性和对称性 【备考知识梳理】 1.周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值时,都有

f(x+T)=f(x),那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期.
2.最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做

f(x)的最小正周期.
3.关于函数周期性常用的结论:(1)若满足 f ( x+a)=-f ? x ? ,则

f ( x+2a)=f [( x+a)+a]=-f ( x+a)=f ? x ? ,所以 2a 是函数的一个周期( a ? 0 );(2)若满足
f ( x+a )=
( a ? 0 ); (3)若函数满足 f ( x ? a )=-

1 1 ,则 f ( x+2a)=f [( x+a)+a]= = f ( x ) ,所以 2a 是函数的一个周期 f ( x) f ( x ? a)

1 ,同理可得 2a 是函数的一个周期( a ? 0 ). (4)如果 y ? f ( x) 是 f ( x)

R 上的周期函数, 且一个周期为 T, 那么 f ( x ? nT ) ? f ( x)(n ? Z ) . (5) 函数图像关于 x ? a, x ? b 轴 对称 ? T ? 2(a ? b) . (6)函数图像关于 ?a,0?, ?b,0? 中心对称 ? T ? 2(a ? b) . (7)函数图像关于

x ? a 轴对称,关于 ?b,0? 中心对称 ? T ? 4(a ? b) .
【规律方法技巧】 2π 1. 求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法, 形如 y=Asin(ω x+φ ), 用公式 T= |ω | 计算.递推法:若 f(x+a)=-f(x),则 f(x+2a)=f=-f(x+a)=f(x),所以周期 T=2a.换元法: 若 f(x+a)=f(x-a),令 x-a=t,x=t+a,则 f(t)=f(t+2a),所以周期 T=2a. 2.判断函数的周期只需证明 f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数,且周期为 T,函数的周 期性常与函数的其他性质综合命题. 3.根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,在解决具体问题时,要注意结 论:若 T 是函数的周期,则 kT(k∈Z 且 k≠0)也是函数的周期. 4.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题,关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化 为已知区间上的问题,体现了转化思想. 【考点针对训练】 1. 【重庆市巴蜀中学 2017 届高三三模】定义在 R 上的奇函数 f ? x ? 满足 f ? x ? 2? ? f ? x ? 2? ,且 当 x ? ?2,0 时, f ? x ? ? 3 ?1 ,则 f ?9? ? (
x

?

?



10

A. -2 【答案】D

B. 2

C. ?

2 3

D.

2 3

【解析】由 f ? x ? 2? ? f ? x ? 2? 得函数是周期为 4 的周期函数,且为奇函数,故

f ? 9 ? ? f ?1? ? ? f ? ?1? ? ? 3?1 ? 1 ?

?

?

2 . 3

2. 【河南省豫北重点中学 2017 届高三 4 月联考】已知定义在 R 上的函数 f ? x ? 对任意实数 x 满足

f ? x ? 2? ? f ? x ? , f ? 2 ? x ? ? f ? x ? ,且当 x ??0,1? 时, f ? x ? ? x2 ?1 ,则函数 y ? f ? x ? 与
y? 1 x 的图象的交点个数为( 2
B. 4 C. 6 D. 8 )

A. 2

【答案】C 【解析】由 f ? x ? 2? ? f ? x ? 可知函数 f ? x ? 的周期为 2,由 f ? 2 ? x ? ? f ? x ? 可知 f ? x ? 的图象关于 直线 x ? 1 对称,根据条件可以画出函数 y ? f ? x ? 与 y ? 个.

1 x 的图象,如图所示,由图可知,交点共 6 2

【应试技巧点拨】 1.单调性的判断方法: a.利用基本初等函数的单调性与图像:只需作出函数的图象便可判断函数在相应区间上的单调性; b.性质法: (1)增函数 ? 增函数 ? 增函数,减函数 ? 减函数 ? 减函数,增函数 ? 减函数 ? 增函数,减 函数 ? 增函数 ? 减函数; (2)函数 ? f ? x ? 与函数 f ? x ? 的单调性相反; (3) k ? 0 时,函数 f ? x ? 与

f ? x?

k

的单调性相反( f ? x ? ? 0 ) ; k ? 0 时,函数 f ? x ? 与

f ? x?

k

的单调性相同( f ? x ? ? 0 ).

c.导数法: f ? ? x ? ? 0 在区间 D 上恒成立,则函数 f ? x ? 在区间 D 上单调递增; f ? ? x ? ? 0 在区间 D 上 恒成立,则函数 f ? x ? 在区间 D 上单调递减. d.定义法:作差法与作商法(常用来函数单调性的证明,一般使用作差法). 【注】分段函数的单调性要求每段函数都满足原函数的整体单调性,还需注意断点处两边函数值的大
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小比较. 2.单调区间的求法:a.利用已知函数的单调区间来求; b.图象法:对于基本初等函数及其函数的变形函数,可以作出函数图象求出函数的单调区间. c.复合函数法:对于函数 y ? f ? ? g ? x ?? ? ,可设内层函数为 u ? g ? x ? ,外层函数为 y ? f ?u ? ,可以 利用复合函数法来进行求解,遵循“同增异减”,即内层函数与外层函数在区间 D 上的单调性相同, 则函数 y ? f ? ? g ? x ?? ? 在区间 D 上单调递增;内层函数与外层函数在区间 D 上的单调性相反,则函数

y? f ? ? g ? x ?? ? 在区间 D 上单调递减.
d.导数法: 不等式 f ? ? x ? ? 0 的解集与函数 f ? x ? 的定义域的交集即为函数 f ? x ? 的单调递增区间, 不 等式 f ? ? x ? ? 0 的解集与函数 f ? x ? 的定义域的交集即为函数 f ? x ? 的单调递减区间. 【注】函数的多个递增区间或递减区间不能合并,在表示的时候一般将各区间用逗号或“和”字进行 连接. 3. 在公共定义域内,①两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数;②两个偶函数的和、 积是偶函数; ③一个奇函数,一个偶函数的积是奇函数. 4. 奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点 对称的区间上的单调性相反. 5. 关于函数周期性常用的结论 (1)若满足 f ( x+a)=-f ? x ? ,则 f ( x+2a)=f [( x+a)+a]=-f ( x+a)=f ? x ? ,所以 2a 是函数 的一个周期( a ? 0 );(2)若满足 f ( x+a )=

1 1 ,则 f ( x+2a)=f [( x+a)+a]= = f ( x) f ( x ? a) 1 ,同理可得 2a 是函 f ( x)

f ( x) ,所以 2a 是函数的一个周期( a ? 0 );(3)若函数满足 f ( x ? a )=数的一个周期( a ? 0 ).

(4)如果 y ? f ( x) 是 R 上的周期函数,且一个周期为 T,那么 f ( x ? nT ) ? f ( x)(n ? Z ) . (5)函数图像关于 x ? a, x ? b 轴对称 ? T ? 2(a ? b) . (6)函数图像关于 ?a,0?, ?b,0? 中心对称 (7)函数图像关于 x ? a 轴对称,关于 ?b,0? 中心对称 ? T ? 4(a ? b) . ? T ? 2(a ? b) .

1.【安徽省巢湖市柘皋中学 2017 届高三最后一次模拟】下列函数中,与函数 y ? x 的单调性和奇偶
3

12

性一致的函数是( A. y ?

) C. y ? x ?

x

B. y ? tanx

1 x

D. y ? e x ? e? x

【答案】D

2. 【山西省孝义市 2017 届高三考前热身训练】 已知函数 y ? f ? x ? ,满足 y ? f ? ?x ? 和 y ? f ? x ? 2? 是偶函数,且 f ?1? ? A.

?
3

,设 F ? x ? ? f ? x ? ? f ? ?x ? ,则 F ?3? ? ( C.

)

? 3

B.

2? 3

?

D.

4? 3

【答案】B 【解析】由题得 f(x)=f(? x),f(x? 2)=f(? x? 2),∴f(? x)=f(? x? 4),∴y=f(x)是周期函数,且周期为 4, 则 F ? 3? ? f ? 3? ? f ? ?3? ? 2 f ? 3? ? 2 f ? ?1? ? 2 f ?1? ?

2? .本题选择 B 选项. 3

3. 【辽宁省庄河市高级中学 2017 届高三第四次模拟】若对 ?x, y ? R ,有

f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f ? y ? ? 2 ,则函数 g ? x ? ?
A. 4 B. 6 C. 9 D. 12

2x ? f ? x ? 的最大值与最小值的和为 ( x ?1
2



【答案】A

4. 【湖南省长沙市长郡中学 2017 届高三临考冲刺训练】定义在 都有 A. 或 B. ,则不等式 C.

上的单调函数 )

对任意的

的解集为( D.

13

【答案】A 【解析】令 ,则 ,解得 ,所以 ,可得 ,解得 ,所以 ,所以 ,又因为 是增函数,由 .故本题选 . ,所以 ,则

5. 【陕西省实验中学 2017 届高三下学期模拟】已知定义在 R 上的函数 y ? f ? x ? 满足条件

f ? x ? 4? ? ? f ? x ? ,且函数 y ? f ? x ? 2? 是偶函数,当 x ? ? 0, 2? 时, f ? x ? ? lnx ? ax ( a ?
当 x ? ?2,0? 时, f ? x ? 的最小值为 3,则 a 的值等于( A. e2 【答案】A B.

1 ) , 2

?



e

C. 2

D. 1

【解析】因为函数 y ? f ? x ? 2? 是偶函数,所以 f ? x ? 2? ? f ? ?x ? 2? ,即 f ? x ? 4? ? f ? ?x ? .当

x ???2,0? 时,
?x ?? 0,2?,f ? x ? ? ?? f ? x ? 4? ? ? f ? ?x ? ? ? ln ? ?x ? ? ax . f ? ? x ? ? ? ? a ? ?
1 1 1? ? x ? ? ? ? ?2, 0 ? ,函数 y ? f ? x ? 在 ? ?2, ? ? 函数单减,在( ? , 0) 单调递 a a a? ?
增. f min ? x ? ? f ? ?

1 x

1 ? ax ? 0 ,有 x

1 ? 1? 2 ? ? ?ln ? 1 ? 1 ? lna ? 3 ,解得 a ? e ,故选 A. a ? a?

6. 【江西省南昌市 2017 届高三二模】 已知函数 f ? x ? ? sinx ? x , 则不等式 f ? x ? 2? ? f ?1 ? 2x ? ? 0 的解集是( ) A. ? ??, ? ? 【答案】D

? ?

1? 3?

B. ? ? , ?? ?

? 1 ? 3

? ?

C.

?3, ???

D.

? ??,3?

14

7. 【四川省南充市 2017 届第三次诊断】 已知 f ? x ? ? { 那么 a 的取值范围是( A. ) C. ?1, ?? ?

? 3 ? a ? x, x ? ? ??,1? 是 , ? ??, ??? 上的增函数, a x , x ? ?1, ?? ?

? 0,3?

B. ?1,3?

D. ? ,3 ? ?2 ?

?3

?

【答案】D

3? a ? 0
【解析】若分段函数在 ? ??, ??? 上是单调递增函数,需满足 { a ? 1 ,解得:

3? a ? a
D.

3 ? a ? 3 ,故选 2

8. 【福建省宁德市 2017 届高三毕业班第三次质量检查】已知函数 f ? x ? 是定义域为 R 的奇函数,且
2 当 x ? 0 时, f ? x ? ? log2 ? x ?1? ? 2 ? a ,则满足 f x ? 3 x ? 1 ? 9 ? 0 的实数 x 的取值范围是

x

?

?

( A.



? ?2, ?1?

B.

? ?1,0?

C.

? 0,1?

D. ?1, 2 ?

【答案】D
0 【解析】因为 f ? 0? ? log 2 ?0 ?1? ? 2 ? a ? 0 ,所以 a ? 1 .据题设可知,当 x ? 0 时,

f ? x ? ? ?log2 ? ?x ?1? ? 2? x ? 1.又分析知 f ? x ? 在 R 上单调递增,所以若 f ? x ? ? 9 ? 0 ,则
2 有 x ? 3x ? 1 ? ?3 , 解得 1 ? x ? 2 . f ? x ? ? ?9 ? f ? ?3? .所以 x ? ?3 ,又因为 f ? x 2 ? 3 x ? 1? ? 9 ? 0 ,

故选 D.
x 9. 【河南省息县第一高级中学 2017 届高三第七次适应性考试】 已知函数 f ? x ? ? 2 ? m 的图象与函

数 y ? g ? x ? 的图象关于 y 轴对称, 若函数 y ? f ? x ? 与函数 y ? g ? x ? 在区间 1, 2 上同时单调递增或 同时单调递减,则实数 m 的取值范围是( A. ? , 2 ? ?2 ? 【答案】A ) D.

? ?

?1

?

B.

? 2, 4?

C. ? ??,

? ?

1 ??? 4, ?? ? ? 2 ?

?4, ???

15

10. 【河北省武邑中学 2017 届高三下学期第三次模拟】定义在 R 上的奇函数 f ? x ? 满足

f ? x ? 4? ? ? f ? x ? ,且在区间 ?0, 2? 上是增函数,则 (

) D.

A. f ? 2? ? f ?5? ? f ?8? B. f ?8? ? f ? 2? ? f ?5? C. f ?5? ? f ? 2? ? f ?8?

f ?5? ? f ?8? ? f ? 2?
【答案】D 【解析】奇函数 f ? x ? 在区间 0, 2 上单调递增且 f ? x ? ? f ? 0? ? 0 ,已知奇函数在关于原点对称的 两个区间上具有相同的单调性, 故奇函数 f ? x ? 在区间 ?2,0 上单调递增且 f ? x ? ? f ? 0? ? 0, 从而函 数 f ? x ? 在 ?2, 2 上单调递增。由奇函数 f ? x ? 中任意 x 满足 ? f ? x ? ? f ? ?x ? ,且题设

? ?

?

?

?

?

f ? x ? 4? ? ? f ? x ? ,故 f ?8? ? ? f ?8 ? 4? ? ? f ? 4? ? f ? 4 ? 4? ? f ?0? ; f ?5? ? ? f ?5 ? 4? ? ? f ?1? ? f ? ?1? ;由 ?1 ? 0 ? 2 ,故 f ? ?1? ? f ? 0? ? f ? 2? ,即 f ?5? ? f ?8? ? f ? 2? .故本题正确答案为 D.
11. 【河南八市 2016 年 4 月高三质检卷】已知函数 f ( x) ? ? x x ? 2x ,则下列结论正确的是( A. f ( x ) 是偶函数,递增区间是 (0, ??) C. f ( x ) 是奇函数,递增区间是 (??, ?1) 【答案】D 【解析】函数的定义域为 R , f (? x) ? ? ? ? x ? ? x ? 2 ? ? x ? ? x x ? 2 x ? ? ? x x ? 2 x ? ? f ( x) ,即 B. f ( x ) 是偶函数,递减区间是 (??, ?1) D. f ( x ) 是奇函数,递增区间是 (?1,1) )

?

?

16

函数为奇函数.又 f ( x) ? ? x x ? 2 x ? ?

? ? x 2 ? 2 x, x ? 0 ? ,画出图像,可知选 D. 2 ? ? x ? 2 x, x<0

12. 【湖北 2016 年 9 月三校联考】已知定义在 R 上的函数 f ?x? ? 2

x ?m

? 1 ( m ? R )为偶函数.记

? 4? ?, b ? f log2 5 , c ? f ?2m ? ,则 a, b, c 的大小关系为( a? f? log 1 ? ? 3 ? ?
A. a ? b ? c 【答案】B B. c ? a ? b C. a ? c ? b

?

?

) D. c ? b ? a

【解析】函数 f ( x) 为偶函数,则有 f ( x) ? f (? x) ,可求得 m ? 0 ,即 f ( x) ? 2 ?1 ,又
x

log 1 4 ? ?2 log 3 2, 所以 0 ? 22log 3 2 ?1 ? 4,2log 2 5 ?1 ? 4, c ? 0,即c ? a ? b ,故本题的正确选项为 B.
3

13. 【2016 年湖南师大附中高三月考】已知函数 y=f(x)对任意自变量 x 都有 f(x+1)=f(1-x), 且函数 f(x)在 1,+∞)上单调.若数列{an}是公差不为 0 的等差数列,且 f(a6)=f(a20),求{an}的前 25 项之和. 【解析】 由已知函数关系可知 a6 ? a20 ? 2 , 又 ?a n ?是等差数列, 所以 a6 ? a20 ? a5 ? a21 ? a4 ? a22 ?

a3 ? a23 ? a2 ? a24 ? a1 ? a25 ? a7 ? a19 ? a8 ? a18 ? a9 ? a17 ? a10 ? a16 ? a11 ? a15 ? a12 ? a14 ? 2a13 ? 2
,所以数列的前 25 项和为 12 ? 2 ? 1 ? 25 . 14. 【湖南师范大学附属中学 2016 届高三月考(三) 】已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足

f ( x ? 2) ? f ( x) ? 0 ,且当 x ? ?0, 2? 时, f ( x) ? 3x ? 1,则 f (2015) 的值为(
A. ?2 【答案】A B. 0 C.2 D.8



【解析】由已知, f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,则 f ( x ? 4) ? ? f ( x ? 2) ? f ( x) ,所以 f ( x) 是周期为 4 的周 期函数.所以 f (2015) ? f (3) ? ? f (1) ? ?2 ,选 A.

17

15. 【河北省衡水中学 2016 届高三七调】已知函数 F ? x ? ? e 满足 F ? x ? ? g ? x ? ? h ? x ? ,且
x

g ? x ? , h ? x ? 分别是 R 上的偶函数和奇函数,若 ?x ? ? 0, 2? 使得不等式 g ? 2x ? ? ah ? x ? ? 0 恒成立,
则实数 a 的取值范围是( A. ??, 2 2 【答案】B )

?

?

B. ??, 2 2 ?

?

?

C. 0, 2 2 ?

?

?

D. 2 2, ??

?

?

e x ? e? x e x ? e? x 【解析】由题意可得 g ( x) ? , h( x ) ? ,不等式 g (2 x) ? ah( x) ? 0 为 2 2 e2 x ? e?2 x e x ? e? x x ?x 2 x ?x ? a? ? 0, 设t ? e ?e , 则不等式化为 t ? 2 ? at ? 0 , 又 t ? e ? e 是增函数, 2 2
2 则当 x ? (0, 2] 时, t ? (0, e ?

t2 ? 2 2 1 2 ] a ? ? t ? ,易知 t ? 2 ? at ? 0 ,此时不等式 可化为 2 e t t

t?

2 2 ? 2 2 (当且仅当 t ? 2 时取等号) ,因此 t ? 的最小值是 2 2 ,所以 a ? 2 2 .故选 B. t t

【一年原创真预测】 1. 已知定义在 R 上的函数 f ? x ? ,若函数 y ? f ( x ? 2) 为偶函数,且 f ( x ) 对任意 x1 , x2 ?[2 , ??) ( x1 ? x2 ),都有 A. [? , ] 【答案】A

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,若 f (a) ? f (3a ? 1) ,则实数 a 的取值范围是 ( x2 ? x1
B. [?2, ?1] C. (??, ? ]

)

1 3 2 4

1 2

D. ( , ??)

3 4

【入选理由】本题考查函数的奇偶性、单调性等基础知识,意在考查学生的分析问题、解决问题的能 力.本题型在高考中是常考的题型,故选此题. 2. 若对 ?x, y ? R ,有 f (x ?y ) ? f ( x ) ?f (y ) ? 2 ,则函数 g ( x) ? 的和为
18

2x ? f ( x) 的最大值与最小值 x ?1
2

(A)4

(B)6 (C)9

(D)12

【答案】A 【解析】在 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 2 中,令 y ? ? x ,得 f (0) ? f( x ) ? f( ? x ) ? 2 ,令 x ? y ? 0 ,

得 f (0) ? 2 ,故 f ( x) ? f (? x) ? 4 ,故函数 f ( x ) 的图象关于 (0, 2) 对称,故函数 y ? f ( x) ? 2 是奇 函数,又 y ?

2x 2x ? f ( x) ? 2 为奇函数,故函数 g ( x) ? 2 的 是奇函数,所以函数 g ( x) ? 2 ? 2 x ?1 x ?1
2

最大值和最小值的和为 0,故函数 g ( x) 的最大值和最小值的和为 4,故选 A. 【入选理由】本题考查抽象函数、函数奇偶性、函数最值等基础知识,意在考查运算求解能力和转化 与化归思想.本题综合性强,构思巧妙,的确是一个好题,故选此题. 3. 已知函数 f ( x) ?| x | ? | x ? 2 | ,则不等式 f ( x2 ? 6) ? f (5x) 的解集是____________. 【答案】 (3, ??) ? (??, ?4) ? (?1, 2) 【解析】因为当 x ? 2 时, f ( x ) 单调递增,当 x ? 0 时, f ( x ) 单调递减,且 f ( x) ? f (2 ? x) ;因此 不等式 f ( x2 ? 6) ? f (5x) 等价于 2 ? ( x2 ? 6) ? 5x ? x2 ? 6 , 解得 x ? 3 或 x ? ?4 或 ?1 ? x ? 2 , 即所求不 等式解集为 (3, ??) ? (??, ?4) ? (?1, 2) . 【入选理由】本题考查函数图象,函数单调性与对称性,一元二次不等式解集等基础知识,意在考查 分析问题的能力、基本运算能力及推理能力.本题型在高考中是常考的题型,故选此题. 4. 已知函数 f ( x) ?

2 x ?1 ,{an } 是公差为 1 的等差数列, f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (a2017 ) ? 2017 ,则 2x ? 1

[ f (a1009 )]2 ? a1008a1010 ? ____________.
【答案】 2

【入选理由】 本题考查函数单调性、对称性,等差数列性质等基础知识,意在考查运用数形结合思想、 分类讨论思想分析问题、 解决问题的能力、 基本运算能力及推理能力.本体构思巧, 有一定的综合性, 故选此题.

19

5. 已知定义在 R 上的奇函数 f ? x ? 满足 f (x + 1)=f (1-x ) ,且当 x ? [0, 1] 时, f ? x ?=2 ? m ,则
x

f (2017) =
【答案】1



【解析】 由 f (x + 可得 f ( x ? 2)=f (-x) ? ? f ( x) , 所以 f ? x ? 是以 4 为周期的函数, 1)=f (1-x ) , 又由 f ? x ? 为奇函数,可得 f ? 0? ? 0 ,即 20 ? m ? 0 ,所以 m ? 1 ,x ? [0, 1] 时, f ? x ?=2x ?1 . 因 此 f (2017) ? f (1) ? 1 . 【入选理由】本题考查函数的周期性,考查数形结合思想,意在考查学生的运算能力,分析问题、解 决问题的能力.此题立意新,通过数形结合,找出函数值,再利用周期性求解,难度不大,体现小题 综合性的高考出题方向,故选此题.

20


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