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高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.1 函数的单调性与导数课时提升作业1 新人教A版选修11

函数的单调性与导数

一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)

1.(2016·重庆高二检测)函数 f(x)= x2-lnx 的单调递减区间为 ( )

A.(-1,1) C.(0,1)

B.(-∞,1) D.(1,+∞)

【解析】选 C.函数 f(x)= x2-lnx 的定义域是(0,+∞),f′(x)=x- ,令 f′(x)<0,即 x- <0,解得 0<x<1.

【补偿训练】函数 f(x)=xlnx 的单调递增区间是 ( )

A.(0,1)

B.(1,+∞)

C.

D.

【解析】选 D.因为 f(x)=xlnx(x>0),所以 f′(x)=lnx+1,令 f′(x)>0,得 lnx+1>0,即 x> ,

所以函数 f(x)的单调递增区间是

.

2.下列函数中,在(0,+∞)内为增函数的是 ( )

A.y=sinx

B.y=xe2

C.y=x3-x

D.y=lnx-x

【解析】选 B.对于 A,y=sinx 在(0,+∞)内有增有减,

对于 B,y′=(xe2)′=e2>0,故 y=xe2 在(0,+∞)内是增函数;

对于 C,y′=3x2-1=3

,

当 x∈

时,y′<0;

故 y=x3-x 在

上是减函数,

对于 D,y′= -1= ,当 x∈(1,+∞)时,y′<0, 故 y=lnx-x 在(1,+∞)上是减函数. 3.(2016·临沂高二检测)已知函数 y=f(x)的图象是如图四个图象之一,且其导函数 y=f′(x)的图象如图所 示,则该函数的图象是 ( )

【解析】选 B.由函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图象知 f(x)的图象是上升的,且先由“平缓”变“陡峭”, 再由“陡峭”变“平缓”.观察图象可得 B 正确.

4.若 f(x)= ,e<a<b,则 ( )

A.f(a)>f(b)

B.f(a)=f(b)

C.f(a)<f(b)

D.f(a)f(b)>1

【解题指南】先判断 f(x)的单调性,再比较 f(a)与 f(b)的大小.

【解析】选 A.因为 f′(x)=

=

.

当 x∈(e,+∞)时,1-lnx<0,

所以 f′(x)<0,

所以 f(x)在(e,+∞)内为单调递减函数.

故 f(a)>f(b).

5.(2016·烟台高二检测)若 a>0,且 f(x)=x3-ax 在[1,+∞)上是增函数,则 a 的取值范 围是 ( )

A.0<a<3

B.0<a≤3

C.a>3

D.a≥3

【解析】选 B.因为 f(x)=x3-ax 在[1,+∞)上是增函数,

所以 f′(x)=3x2-a≥0 在[1,+∞)上恒成立.

所以 a≤3x2 在[1,+∞)上恒成立.

又 g(x)=3x2 在[1,+∞)上有最小值 3,故 0<a≤3.

【补偿训练】已知函数 f(x)=x3-12x,若 f(x)在区间(2m,m+1)上单调递减,则实数 m 的取值范围是 ( )

A.[-1,1]

B.(-1,1]

C.(-1,1)

D.[-1,1)

【解析】选 D.f′(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),

由 f′(x)<0 得-2<x<2, 由题意(2m,m+1)? (-2,2),

所以

解得-1≤m<1.

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)

6.(2016· 中山 高二检 测) 若函数 f(x) 的导函 数为 f′ (x)=x2-4x+3,则 函数 f(1+x) 的单 调递减区间



.

【解析】令 f′(x)=x2-4x+3<0,得 1<x<3,

由 1<1+x<3,解得 0<x<2,故函数 f(1+x)的单调递减区间为(0,2).

答案:(0,2)

7.若函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的单调递减区间为(-1,2),则 b=

,c=

.

【解析】f′(x)=3x2+2bx+c,由题意知-1<x<2 是不等式 f′(x)<0 的解,即-1,2 是方程 3x2+2bx+c=0 的两个

根,因此 b=- ,c=-6.

答案:- -6

8.(2016·洛阳高二检测)已知 y= x3+bx2+(b+2)x+3 在 R 上不是单调递增函数,则 b 的取值范围为

.

【解析】若 y′=x2+2bx+b+2≥0 恒成立,则Δ =4b2-4(b+2)≤0, 所以-1≤b≤2,由题意知 y′≥0 不恒成立,所以 b<-1 或 b>2.

答案:(-∞,-1)∪(2,+∞)

三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.(2016·长沙高二检测)已知 a≥0,函数 f(x)=(x2-2ax)ex.设 f(x)在区间[-1,1]上是单调函数,求 a 的取值

范围. 【解析】f′(x)=(2x-2a)ex+(x2-2ax)ex =ex[x2+2(1-a)x-2a]. 令 f′(x)=0,即 x2+2(1-a)x-2a=0.

解得 x1=a-1-

,x2=a-1+

,

其中 x1<x2.

当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况见下表:

x f′(x) f(x)

(-∞,x1)

x1

+

0



(x1,x2) ↘

因为 a≥0, 所以 x1<-1,x2≥0,f(x)在(x1,x2)上单调递减. 由此可得 f(x)在[-1,1]上是单调函数的充要条件为 x2≥1,

即 a-1+

≥1,解得 a≥ .

x2

(x2,+∞)

0

+



故所求 a 的取值范围为

.

10.(2016·青岛高二检测)已知函数 y=f(x)=x3+bx2+cx+d 的图象经过点 P(0,2),且在点 M(-1,f(-1))处的切

线方程为 6x-y+7=0.

(1)求函数 y=f(x)的解析式.

(2)求函数 y=f(x)的单调区间.

【解析】(1)由 y=f(x)的图象经过点 P(0,2),知 d=2, 所以 f(x)=x3+bx2+cx+2,f′(x)=3x2+2b x+c.

由在点 M(-1,f(-1))处的切线方程为 6x-y+7=0,

知-6-f(-1)+7=0,

即 f(-1)=1,f′(-1)=6.

所以



解得 b=c=-3. 故所求的解析式是 y=f(x)=x3-3x2-3x+2. (2)f′(x)=3x2-6x-3. 令 f′(x)>0,得 x<1- 或 x>1+ ; 令 f′(x)<0,得 1- <x<1+ . 故 f(x)=x3-3x2-3x+2 的单调递增区间为(-∞,1- )和(1+ ,+∞),单调递减区间为(1- ,1+ ).

一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)

1.已知对任意实数 x,有 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且当 x>0 时,有 f′(x)>0,

g′(x)>0,则当 x<0 时,有 ( )

A.f′(x)>0,g′(x)>0 B.f′(x )>0,g′(x)<0

C.f′(x)<0,g′(x)>0 D.f′(x)<0,g′(x)<0

【解析】选 B.由题知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,根据奇偶函数图象特点知,当 x<0 时,f(x)的单调性与

x>0 时相同,g(x)的单 调性与 x>0 时恰好相反.因此,当 x<0 时,有 f′(x)>0,g′(x)<0.

2.(2016·南昌高二检测)设 f(x),g(x)分别是定 义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时,f′(x)g(x)+f(x)g′

(x)>0,且 g(-3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集

是( )

A.(-3,0)∪(3,+∞)

B.(-3,0)∪(0,3)

C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3)

【解析】选 D.因为[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x),

所以当 x<0 时,[f(x)g(x)]′>0,

所以 f(x)·g(x)在(-∞,0)上是增函数,

又 g(-3)=0,所以 f(-3)g(-3)=0.

所以当 x∈(-∞,-3)时,f(x)g(x)<0;

当 x∈(-3,0)时,f(x)g(x)>0.

又因为 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,

所以 f(x)g(x)在 R 上是奇函数,其图象关于原点对称.

所以当 x∈(0,3)时,f(x)g(x)<0.综上,选 D.

【补偿训练】(2015·全国卷Ⅱ)设函数 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当 x>0 时,xf′

(x)-f(x)<0,则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围

是( )

A.(-∞,-1)∪(0,1)

B.(-1,0)∪(1,+∞)

C.(-∞,-1)∪(-1,0)

D.(0,1)∪(1,+∞)

【解析】选 A.记函数 g(x)= ,

则 g′(x)=

,

因为当 x>0 时,xf′(x)-f(x)<0, 故当 x>0 时,g′(x)<0,所以 g(x)在(0,+∞)上单调递减; 又因为函数 f(x)(x∈R)是奇函数,故函数 g(x)是偶函数,

所以 g(x)在(-∞,0)上单调递增,

且 g(-1)=g(1)=0.

当 0<x<1 时,g(x)>0,则 f(x)>0;

当 x<-1 时,g(x)<0,则 f(x)>0,

综上所述,使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是(-∞,-1)∪ (0,1).

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)

3.(2016·泰安模拟)如果函数 f(x)=2x2-lnx 在定义域内的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调函数,那么实数

k 的取值范围是

.

【解析】显然函数 f(x)的定义域为(0,+∞),

y′=4x- =

.

由 y′>0,得函数 f(x)的单调递增区间为

;

由 y′<0,得函数 f(x)的单调递减区间为

,

由于函数在区间(k-1,k+1)上不是单调函数,

所以

解得 1≤k< .

答案:

4.(2016·盐城高二检测)若函数 f(x)=(mx-1)ex 在(0,+∞)上单调递增,则实数 m 的取值范围是

.

【解析】因为 f′(x)=(mx+m-1)ex,

由题意得 f′(x)≥0 在(0,+∞)上恒成立,

令 g(x)=mx+m-1,则

,解得 m≥1.

答案:[1,+∞) 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 5.若函数 f(x)= x3- ax2+(a-1)x+1 在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)内为增函数,试求实数 a 的取值 范围. 【解析】方法一:f′(x)=x2-ax+a-1=(x-1)[x-(a-1)], 令 f′(x)=0,得 x1=1,x2=a-1.

因为 f(x)在(1,4)内为减函数, 所以当 x∈(1,4)时,f′(x)≤0; 因为 f(x)在(6,+∞)内为增函数, 所以当 x∈(6,+∞)时,f′(x)≥0. 所以 4≤a-1≤6, 解得 5≤a≤7. 所以实数 a 的取值范围为[5,7]. 方法二:f′(x)=x2-ax+a-1. 因为 f(x)在(1,4)内为减函数, 所以当 x∈(1,4)时,f′(x)≤0; 因为 f(x)在(6,+∞) 内为增函数, 所以当 x∈(6,+∞)时,f′(x)≥0.

所以



解得 5≤a≤7. 所以实数 a 的取值范围为[5,7]. 6.(2015·驻马店高二检测)已知函数 f(x)=(ax2+x-1)ex,其中 e 是自然对数的底数,a∈R. (1)若 a=1,求曲线 f(x)在点(1,f(1))处的切线方程. (2)若 a=-1,求 f(x)的单调区间. 【解析】(1)因为 f(x)=(x2+x-1)ex, 所以 f′(x)=(2x+1)ex+(x2+x-1)ex=(x2+3x)ex,所以曲线 f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为 k=f′(1)=4e. 又因为 f(1)=e,所以所求切线方程为 y-e=4e(x-1),即 4ex-y- 3e=0. (2)f(x)=(-x2+x-1)ex, 因为 f′(x)=-x(x+1)ex,令 f′(x)<0, 得 x<-1 或 x>0,f′(x)>0 得-1<x<0. 所以 f(x)的减区间为(-∞,-1),(0,+∞),增区间为(-1,0).