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礼县一中2012—2013学年度第一学期期中考试高一数学考试试卷

礼县一中 2012—2013 学年度第一学期 期中考试高一数学考试试卷 命题:刘国栋
本试卷分选择题和非选择题两部分,满分为 150 分,考试用时 120 分钟。

第一部分

选择题 (共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. (1) 已知集合 A ? ?? 1, 0 ,1? ,则如下关系式正确的是 (A) A ? A (B) 0
A

(C) { 0 } ? A

(D) ?

A

(2) 如图, I 是全集,集合 A 、 B 是集合 I 的两个子集,则阴影部分所表示的集合是

I A B

(A) A ? ( C I B ) (3)
log 8 9 log 2 3

(B) ( C I A ) ? B

(C) ( C I A ) ? ( C I B )

(D) C I ( A ? B )

的值为
3 2

(A)

2 3

(B)

(C) 2

(D) 3

(4) 设集合 M ? ? x 0 ? x ? 2 ? , N ? ? y 0 ? y ? 2 ? ,给出如下四个图形,其中能表示从集 合 M 到集合 N 的函数关系的是

y
2

y
2

y
2 1

y
2

O

1

x

O

2

x

O

2

x

O

1

2

x

(A)
2

(B)

(C)

(D)

(5) 若函数 f ( x ) ? x ? 2 ( a ? 1) x ? 2 在区间 ( ? ? , 4 ] 上是减函数,在区间 [ 4, ? ? ) 上是增函 数则实数 a 的值是 (A) a ? 3 (B) a ? ? 3 (C) a ? ? 1 (D) a ? 5 (6) 方程 x ? x ? 3 ? 0 的实数解落在的区间是
3

(A) [ ? 1, 0 ] (7) 设 a ? 1 ,则 log (A) 0 . 2 ? log
a
0 .2

(B) [0,1]
a 、 0 .2 、 a
a
0 .2

(C) [1, 2 ] 的大小关系是 (B) log
0 .2

(D) [ 2 , 3]

0 .2

a ? a

0 .2

a ? 0 .2
0 .2

a

? a

0 .2

(C) log

0 .2

a ? a

0 .2

? 0 .2

a

(D) 0 . 2 ? a
a

? log

0 .2

a

(8) 当 0 ? a ? 1 时,在同一坐标系中,函数 y ? a

?x

与 y ? log

a

x 的图象是

(A) (B) (C) (D) 2 (9) 已知函数 y ? f ( x ) 在 R 上为奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x ) ? x ? 2 x ,则当 x ? 0 时,
f ( x ) 的解析式是

(A) f ( x ) ? ? x ( x ? 2) (C) f ( x ) ? ? x ( x ? 2)
2 x

(B) f ( x ) ? x ( x ? 2 ) (D) f ( x ) ? x ( x ? 2 ) (D)无数

(10) 方程 2 x ? 2 ? 3 ? 0 的实数根的个数是 (A) 0 (B) 1 (C) 2

? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 (11) 设函数 f ( x ) ? ? 则不等式 f ( x ) ? f (1) 的解集是 ? x ? 6, x ? 0

A. ( ? 3 ,1) ? ( 3 , ?? )
( ?? , ? 3 ) ? (1, 3 )

B. ( ? 1,1) ? ( 3 , ?? )

C. ( ? 1,1) ? ( 3 , ?? )

D.

2 (12) f ( x ) 在 ( ? 1,1) 上既是奇函数,又为减函数. 若 f (1 ? t ) ? f (1 ? t ) ? 0 ,则 t 的取值范

围是 A. t ? 1或 t ? ? 2 B. 1 ? t ?
2

C. ? 2 ? t ? 1

D. t ? 1或 t ?

2

第二部分

非选择题 (共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

(13) 已知 f ( x ) ? ?

? x 2 ? 1( x ? 0 ) ??2 x( x ? 0)
2

,若 f ( a ) ? 2 6 ,则 a ?



(14) 若集合 A ? ?? 4 , 2 a ? 1, a
2 x ?1

? ,B ? ?a ? 5 ,1 ? a ,9 ? ,且 A ? B ? ?9 ? ,则 a 的值是________;


(15) 函数 y ?

3

?

1 27

的定义域是

(16) 某商人将彩电先按原价提高 4 0 % ,然后在广告中写上“大酬宾,八折优惠” ,结果是每 台彩电比原价多赚了 2 7 0 元,则每台彩电原价是 元. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 10 分) 已知:集合 A ? { x | y ? 求A? B. (18) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? lo g 2
x 1? x

3 ? 2 x ? x } ,集合 B ? { y | y ? x ? 2 x ? 3, x ? [0, , 3]}
2

2

.

(Ⅰ)求函数的定义域; (Ⅱ)根据函数单调性的定义,证明函数 f ( x ) 是增函数. (19) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? 2
x

.

(Ⅰ)判断函数 f ( x ) 的奇偶性; (Ⅱ)把 f ( x ) 的图像经过怎样的变换,能得到函数 g ( x ) ? 2 (Ⅲ)在直角坐标系下作出函数 g ( x ) 的图像 (20) (本小题满分 12 分) 1.. 某学生在体育训练时受了伤,医生给他开了一些消炎药,并规定每天早上八时服 一片,现知该药片每片含药量为 200 毫克,他的肾脏每天可从体内滤出这种药的 60%,问: 经过多少天,该同学所服的第一片药在他体内残留不超过 10 毫克?(lg2=0.3010) 2.
2 设 a 为实数,函数 f ( x ) ? x ? | x ? a | ? 1 , x ? R

x?2

的图像;

(21) (本小题满分 12 分) 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产 产品 x (百台) ,其总成本为 G ( x ) (万元) ,其中固定成本为 2 万元,并且每生产 1 百 台的生产成本为 1 万元(总成本 = 固定成本 + 生产成本) ;销售收入 R ( x ) (万元)满 足:
? ? 0 .4 x 2 ? 4 .2 x ? 0 .8 R (x) ? ? ?1 0 .2 (0 ? x ? 5) (x ? 5)



假定该产品产销平衡,那么根据上述统计规律:

(Ⅰ)要使工厂有赢利,产量 x 应控制在什么范围? (Ⅱ)工厂生产多少台产品时,可使赢利最多? (22) (本小题满分 12 分) 求 当 x ? a 时, f ( x ) 的最小值。 已知 f ( x ) 是定义在 ? x x ? 0 ? 上的增函数,且 f ( ) ? f ( x ) ? f ( y ) .
y x

(Ⅰ)求 f (1) 的值; (Ⅱ)若 f (6) ? 1 ,解不等式 f ( x ? 3) ? f ( ) ? 2 .
x 1

高一数学考试试卷参考答案 (共 3 页) 一、选择题(每小题 4 分,共 40 分) 题 号 答 案 (1) D (2) B (3) A (4) D (5) B (6) C (7) B (8) C (9) A (10) C (11) A (12) B

二、填空题 (每小题 5 分,共 20 分) (13) ? 5 (114) ? 3 (15) [ ? 1, ? ? ) (16)
2250

三、解答题 (70 分) (17) 解: A 是函数 y ? 解得
3 ? 2x ? x
2

的定义域

? 3 ? 2x ? x ? 0
2

?3 ? x ? 1
2

即 A ? ? x ? 3 ? x ? 1?

B 是函数 y ? x ? 2 x ? 3, x ? [0, 3] 的值域

解得

2? y?6

即 B ? ? y 2 ? y ? 6?

? A? B ??

(18) (Ⅰ)解:由

? 0 得 x (1 ? x ) ? 0 1? x 解得 0 ? x ? 1 ? 函数的定义域为 ( 0 ,1)

x

(Ⅱ)证明:任取 x1 、 x 2 ? (0,1) 且 x1 ? x 2 ,则
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? lo g 2 x1 1 ? x1 x1 1 ? x1 ? lo g 2 ? x2 1 ? x2 ) ? lo g 2 ( x1 1 ? x 2 ? ) x 2 1 ? x1

? lo g 2 (
? 0 ? x1 ? x 2 ? 1 ? 0 ? 1 ? x 2 ? 1 ? x1 ? 1
?0? x1 x2 ?1

1 ? x2 x2



0?

1 ? x2 1 ? x1

?1



0?

x1 1 ? x 2 ? ?1 x 2 1 ? x1

? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0



f ( x1 ) ? f ( x 2 )

故函数 f ( x ) 是增函数 (19) (Ⅰ) 解:? 函数 f ( x ) 定义域为 R 又 f (? x) ? 2
?x

?2

x

? f ( x)

? 函数 f ( x ) 为偶函数

(Ⅱ)解: 把 f ( x ) 的图像向左平移 2 个单位得到 (Ⅲ)解: 函数 f ( x ) 的图像如右图所示

(20) 1. 解:设经过 x 天该同学所服的第一片药在他体内残留不超过 10 毫克, 依题意得: 200 (1 ? 60 %)
x

? 10 即 0 . 4
1 20 ,

x

?

1 20

两边取常用对数,得 x lg 0 . 4 ? lg 即 x lg
4 10 ? lg 1 20

? x ( 2 lg 2 ? lg 10 ) ? ? lg 20 ? x ( 2 lg 2 ? 1) ? ? (lg 2 ? 1)

解得 x=3.3 所以,4 天后该同学体内药残留不超过 10 毫克。 2. 解:当 x ? a 时, f ( x ) ? x ? x ? a ? 1 ? ( x ?
2

1 2

) ?a?
2

3 4

,

当a ? ? 当a ? ?

1 2 1 2

时, f ( x ) m in ? f ( a ) ? a ? 1 ,
2

时, f ( x ) m in ? f ( ?

1 2

) ? ?a ?

3 4



(21) 解:依题意, G ( x ) ? x ? 2 .设利润函数为 f ( x ) ,则

? ? 0 .4 x 2 ? 3 .2 x ? 2 .8(0 ? x ? 5) f (x) ? R (x) ? G (x) ? ? ? 8 .2 ? x ( x ? 5)

(Ⅰ) 要使工厂有赢利,即解不等式 f ( x ) ? 0 ,当 0 ? x ? 5 时, 解不等式 ? 0 . 4 x ? 3 . 2 x ? 2 . 8 ? 0 2 即 x ? 8x ? 7 ? 0 .
2

∴1 ? x ? 7 ∴1 ? x ? 5 。 当 x>5 时,解不等式 8 . 2 ? x ? 0 , 得 x ? 8 .2 。 ∴ 5 ? x ? 8 .2 。 综上所述,要使工厂赢利, x 应满足 1 ? x ? 8 .2 , 即产品应控制在大于 100 台,小于 820 台的范围内。
2 (Ⅱ) 0 ? x ? 5 时, f ( x ) ? ? 0 . 4 ( x ? 4 ) ? 3 . 6 故当 x ? 4 时, f ( x ) 有最大值 3.6. 而当 x ? 5 时, f ( x ) ? 8 . 2 ? 5 ? 3 . 2 所以,当工厂生产 400 台产品时,赢利最多.

(22) (Ⅰ) 解:令 x ? y ? 0 ,则 f (1) ? f ( x ) ? f ( x ) ? 0 (Ⅱ) 解:依题可得: f ( x ( x ? 3)) ? 2 f (6) 故 f ( x ( x ? 3)) ? f (6) ? f (6) 则f(
x ( x ? 3) 6 ) ? f (6 )

又已知 f ( x ) 是定义在 ? x x ? 0 ? 上的增函数,

? x ( x ? 3) ?6 ? 6 ? 故?x ? 3 ? 0 ?1 ? ?0 ?x

解得: 0 ? x ?

?3 ? 3 17 2

? ?3 ? 3 17 ? ? 不等式的解集为 ? x 0 ? x ? 2 ? ?

? ? ? ? ?

.

.

.


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