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高三数学函数的周期性


2.7 函数的周期性
——函数的周期性不仅存在于三角函数中,在其它函数或者数列中“突然”出现的周期 性问题更能考查你的功底和灵活性,本讲重点复习一般函数的周期性问题

一.明确复习目标
1.理解函数周期性的概念,会用定义判定函数的周期; 2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系, 会运用函数的周期性处理一些简单问 题。

二、建构知识网络
1.函数的周期性定义: 若 T 为非零常数,对于定义域内的任一 x,使 f ( x ? T ) ? f ( x) 恒成立,则 f(x)叫做周期函 数,T 叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的 2.若 T 是周期,则 k·T(k≠0,k∈Z)也是周期,所有周期中最小的正数叫最小正周期。 一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非所都有最小正周期。如常函数 f(x)=C; 3.若函数 f(x)对定义域内的任意 x 满足:f(x+a)=f(x-a),则 2a 为函数 f(x)的周期。 (若 f(x)满足 f(a+x)=f(a-x)则 f(x)的图象以 x=a 为图象的对称轴, 应注意二者的区别) 4.若函数 f(x)图象有两条对称轴 x=a 和 x=b, (a<b) ,则 2(b-a)是 f(x)的一个周期

证明:设P( x, y )为y ? f ( x)图像上任一点,则y ? f ( x),且 P( x, y )关于直线x ? a对称的点Q(2a ? x, y )也在图像上,y ? f (2a - x). ? f ( x) ? f (2a - x) ①, 同理f ( x) ? f (2b - x) ②. ? f ( x) ? f (2a - x) ? f [2b - (2a - x)] ? f [2(b - a) ? x], 2(b - a)为周期。
5.若函数 f(x)图象有两个对称中心(a,0) , (b,0) (a<b) ,则 2(b-a)是 f(x)的一 个周期。(证一证) 6.若函数 f(x)有一条对称轴 x=a 和一个对称中心(b,0) (a<b),则 4(b-a)是 f(x) 的周期。 证明:由已知f ( x) ? f (2a ? x), f ( x) ? ? f (2b ? x).

? f ( x) ? f (2a ? x) ? ? f [2b ? (2a ? x)] ? ? f [2(b ? a) ? x] ? ? f [2a ? 2(b ? a) ? x] ? ? f [2(2a ? b) ? x] ? f [2b ? 2(2a ? b) ? x] ? f [4(b ? a) ? x], 周期为4(b ? a).
举例:y=sinx,等.

三.双基题目练练手
1.f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数,且 f(1)=0,则方程 f(x)=0 在区间(0,6) 内解的个数的最小值是 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 2.若函数 y=f(x)是周期为 2 的奇函数,且当 x∈(0,1)时 f(x)=x+1,则 f(π )的值为 ( ) A.π -5 B.5-π C.4-π D. π -4 3. f ( x ) 是偶函数,且 f (0) ? 993, 又 g ( x) ? f ( x ? 1) 为奇函数,则 f(1992)=

4.设存在常数 p>0,使 f ( px) ? f ( px ? 的一个正周期是 ;

p ), x ? R ,则 f ( x) 的一个周期是 2

,f(px)

5.数列 {an } 中 a1 ? 1, a2 ? 5, an ? 2 ? an ?1 ? an , 则 a2006 ?

简答精讲:1、B;2、A;3、993;因(-1,0)是中心,x=0 是对称轴,则周期是 4;4、

p 1 , ;5、a2006 ? 5 ;由已知 an ? 2 ? an ?1 ? ?an ? an ? 2 ? an ?1 ? an ? ?an ?1 ,周期为 6。 2 2

四.经典例题做一做
【例1】已知f(x)是以2为周期的偶函数,且当x∈(0,1)时,f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上 的解析式。 解法1: (从解析式入手,由奇偶性结合周期性,将要求区间上问题转化为已知解析式的 区间上。 ) ∵ x∈(1,2), 则-x∈(-2,-1), ∴ 2-x∈(0,1), ∵ T=2,是偶函数 ∴ f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x. x∈(1,2). 解法2(从图象入手也可解决,且较直观) f(x)=f(x+2) 如图:x∈(0,1), f(x)=x+1.∵是偶函数 ∴x∈(-1,0)时f(x)=f(-x)=-x+1. 又周期为2, x∈(1,2)时x-2∈(-1,0) ∴f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=3-x.

提炼方法:1.解题体现了化归转化的思想,即把未知的(1,2)上向已知的(0,1)上转化;
2.用好数形结合,对解题很有帮助. 【例 2】f(x)的定义域是 R,且 f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),若 f(0)=2008,求 f(2008)的值。

f ( x ? 4) ? 1 ?1 f ( x ? 2) ? 1 f ( x ? 4) ? 1 ?1 ? ? ? f ( x ? 8) 解: f ( x) ? f ( x ? 4) ? 1 f ( x ? 2) ? 1 ? 1 f ( x ? 4) f ( x ? 4) ? 1 周期为8,? f (2008) ? f (0) ? 2008
法二:依次计算 f(2、4、6、8)知周期为 8,须再验证。

方法提炼:
1.求周期只需要弄出一个常数; 2.注意既得关系式的连续使用.

, 0? 上是增函数,且 f ( x ? 2) ? ? f ( x) . 【例3】若函数 f ( x) 在R上是奇函数,且在 ?? 1
①求 f ( x) 的周期; ②证明f(x)的图象关于点(2k,0) 中心对称;关于直线x=2k+1轴对称, (k∈Z ); ③讨论f(x)在(1,2)上的单调性;

解: ①由已知f(x)=-f(x+2)=f(x+2+2)=f(x+4),故周期T=4. ②设P(x,y)是图象上任意一点,则y=f(x),且P关于点(2k,0)对称的点为P1(4k-x,-y).P关于直 线x=2k+1对称的点为P2(4k+2-x,y). ∵f(4k-x)=f(-x)=-f(x)=-y,∴点P1在图象上,图象关于点(2k,0)对称. 又f(x)是奇函数,f(x+2)=-f(x)=f(-x) ∴f(4k+2-x)=f(2-x)=f(x)=y, ∴点P2在图象上,图象关于直线2k+1对称. ③设1<x1<x2<2,则-2<-x2<-x1<-1, 0<2-x2<2-x1<1. ∵f(x)在(-1,0)上递增, ∴f(2-x1)<f(2-x2)……(*) 又f(x+2)=-f(x)=f(-x) ∴f(2-x1)=f(x1), f(2-x2)=f(x2). (*)为f(x2)<f(x1),f(x)在(1,2)上是减函数. 提炼方法:总结解周期性、单调性及图象对称性的方法。 【研究.欣赏】已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的周期函数,周期 T=5,函数 y=f(x)(-1 ≤x≤1)是奇函数.又知 y=f(x)在[0,1]上是一次函数, 在[1,4]上是二次函数, 且在 x=2 时函 数取得最小值-5. ① 证明: f (1) ? f (4) ? 0 ;②求 y ? f ( x), x ?[1, 4] 的解析式;

③求 y ? f ( x) 在 [4,9] 上的解析式. 解 : ∵ f ( x ) 是 以 5 为 周 期 的 周 期 函 数 , 且 在 [-1,1] 上 是 奇 函 数 , ∴ f (1) ? ? f (?1) ? ? f (5 ? 1) ? ? f (4) ,∴ f (1) ? f (4) ? 0 . ②当 x ? [1, 4] 时,由题意可设 f ( x) ? a( x ? 2)2 ? 5 (a ? 0) ,
2 2 由 f (1) ? f (4) ? 0 得 a(1 ? 2) ? 5 ? a(4 ? 2) ? 5 ? 0 ,∴ a ? 2 ,

∴ f ( x) ? 2( x ? 2) ? 5(1 ? x ? 4) .
2

③∵ y ? f ( x)(?1 ? x ? 1) 是奇函数,∴ f (0) ? 0 ,

(0 ? 又 知 y ? f ( x) 在 [0,1] 上 是 一 次 函 数 , ∴ 可 设 f ( x)? k x

x ? , 1 )而

f ( 1? )

2? ( 12 2 ?) ? , 5 ?

3

∴ k ? ?3 ,∴当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? ?3x , 从而 ?1 ? x ? 0 时, f ( x) ? ? f (? x) ? ?3x ,故 ?1 ? x ? 1 时, f ( x) ? ?3x . ∴当 4 ? x ? 6 时,有 ?1 ? x ? 5 ? 1 ,∴ f ( x) ? f ( x ? 5) ? ?3( x ? 5) ? ?3x ? 15 . 当 6 ? x ? 9 时, 1 ? x ? 5 ? 4 , ∴ f ( x) ? f ( x ? 5) ? 2[( x ? 5) ? 2] ? 5 ? 2( x ? 7) ? 5
2 2

∴ f ( x) ? ?

??3x ? 15,
2

4? x?6 6? x?9

?2( x ? 7) ? 5,

.

五.提炼总结以为师
1.函数的周期性及有关概念; 2.用周期的定义求函数的周期; 3.函数的周期性与图象的对称性之间的关系;

同步练习
【选择题】

2.7 函数的周期性
T )的值为 2

1.f(x)是定义在 R 上的奇函数,它的最小正周期为 T,则 f(- A.0 B.

T 2

C.T

D.-

T 2

2.(2004 天津)定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数.若 f(x)的最小正 周期是π ,且当 x∈[0,

π 5π ]时,f(x)=sinx,则 f( )的值为 2 3
C.-
3 2

1 1 B. 2 2 【填空题】
A.-

D.

3 2

3.设 f ( x) 是定义在 (??,??) 上,以 2 为周期的周期函数,且 f ( x) 为偶函数,在区间
2 f ( x) = [2,3]上, f ( x) = ? 2( x ? 3) ? 4 ,则 x ? [0,2]时,

4.已知函数 f(x)是偶函数,且等式 f(4+x)=f(4-x),对一切实数 x 成立,写出 f(x)的一 个最小正周 5.对任意 x∈R,f(x)=f(x-1)+f(x+1)且 f(0)=6,f(4)=3,则 f(69)= 6.设f(x)定义在R上的偶函数,且 f ( x ? 3) ? ? f(2007)= 。

1 ,又当x∈(0,3]时,f(x)=2x,则 f ( x)

答案提示:1、A;由 f(
取特殊函数 f(x)=sinx) 2、D; f(

T T T T T )=f(- +T)=f(- )=-f( ) ,知 f( )=0.(或 2 2 2 2 2

3 5π 5π π π π )=f( -2π )=f(- )=f( )=sin = . 2 3 3 3 3 3

3、 f ( x) ? ?

??2( x ? 1) 2 ? 4 (0 ? x ? 1) ? ; 2 ? ??2( x ? 1) ? 4 (?1 ? x ? 0)

4、8;

5、f(x-1)=f(x)-f(x+1),∴f(x)=f(x+1)-f(x+2)=f(x+2)-f(x+3)-f(x+2)= -f(x+3) ∴f(x)= -f(x+3)=f(x+6) .周期是 6;f(69)=f(3)=f(-3)= -f(-3+3)= -6

6、 f ( x ? 6) ? ?

1 ? f ( x) ,周期 T=6, F(2007)=f(3)=6 f ( x ? 3)

【解答题】 7.设函数 f(x)的最小正周期为 2002,并且 f(1001+x)=f(1001-x)对一切 x∈R 均成立,试 讨论 f(x)的奇偶性. 解: ∵周期是 2002, ∴ f(2002+x)=f(x), 又由 f(1001+x)=f(1001-x)得 f(2002-x)=f(x) ∴对任意的 x 都有 f(x)=f(2002-x)=f(-x),f(x)是偶函数. 8.设 f(x)为定义在实数集上周期为 2 的函数,且为偶函数,已知 x∈[2,3]时 f(x)=x,求 x ∈[-2,0]时 f(x)的解析式。 分析: 由 T=2 可得 x∈[-2,-1]和 x∈[0,1]时的解析式; 再由奇偶性可得[-1, 0]上的解析式。 解:因为函数 f(x)是 T=2 的周期函数,所以 f(x+2)=f(x).

当x ?[ ? 2, ?1]时, 4+x ?[2,3], 则f ( x) ? f ( x ? 4) ? 4 ? x 当x ?[0,1]时2 ? x ?[2,3], 则f ( x) ? f (2 ? x) ? 2 ? x
又由于 f(x)为偶函数,故

f (? x) ? f ( x).当x ?[?1,0]时-x ?[0,1], 则f ( x) ? f (? x) ? 2 ? x
所以解析式为 f ( x) ? ?

?4 ? x x ? [?2, ?1] ?2 ? x x ? (?1,0]

9.设 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的函数,对一切 x∈R 均有 f(x)+f(x+2)=0,当-1<x≤ 1 时,f(x)=2x-1,求当 1<x≤3 时,函数 f(x)的解析式。

思路分析:∵ f(x)+f(x+2)=0
∵ 该式对一切 x∈R 成立,

∴ f(x)=-f(x+2)

∴ 以 x-2 代 x 得:f(x-2)=-f[(x-2)+2]=-f(x) 当 1<x≤3 时,-1<x-2≤1,∴ f(x-2)=2(x-2)-1=2x-5 ∴ f(x)=-f(x-2)=-2x+5,∴ f(x)=-2x+5(1<x≤3)

评注:在化归过程中,一方面要转化自变量到已知解析式的定义域,另一方面要保持对
应的函数值有一定关系。在化归过程中还体现了整体思想。 10.(2005 广东)设函数 f ( x ) 在 (??, ??) 上满足 f (2 ? x) ? f (2 ? x) , f(7-x)=f(7+x), 且在闭区间[0,7]上,只有 f(1)=f(3)=0。 (Ⅰ)试判断函数 y=f(x)的奇偶性; (Ⅱ)试求方程 f(x)=0 在闭区间[-2005,2005]上的根的个数,并证明你的结论.

解:由 f (2 ? x) ? f (2 ? x) 得 f (2 ? 3) ? f (2 ? 3) 即 f (?1) ? f (5)

1 ) ?0 ,从而 f (?1) ? f (1) 且 f (?1) ? ? f (1) 由已知易得 f (5) ? 0 ,所以 f (?1) ? 0 ,而 f (
故函数 y ? f ( x) 是非奇非偶函数;

(II)由 ?

? f ( 2 ? x) ? f ( 2 ? x) ? f ( x) ? f ( 4 ? x) ?? ? f (4 ? x) ? f (14 ? x) ? f (7 ? x) ? f (7 ? x) ? f ( x) ? f (14 ? x)

? f ( x) ? f ( x ? 10) ,从而知函数 y ? f ( x) 的周期为 T ? 10
当 x ? [?3, 0] 时, 4 ? x ? [4, 7] ,由已知 f (4 ? x) ? 0 ,又 f ( x) ? f (4 ? x) ,则 f ( x) ? 0 ∴当 x ? [?3, 7] 时,只有 f (1) ? f (3) ? 0 ∴方程 f ( x ) =0 在一个周期内只有两个解 而函数 y ? f ( x) 在闭区间[-2005,2005]共含有 401 个周期,所以方程 f ( x ) =0 在闭区间 [-2005,2005]共含有 802 个解 【探索题】对于 k∈Z,用 Ik 表示区间(2k-1,2k+1] 。已知 x∈Ik 时,f(x)= (x-2k)2, (1)当 k∈N*时,求集合 Mk= {a|使方程 f(x)=ax 在 Ik 上有两个不相等的实根的 a 的值} (2)并讨论 f(x)的周期性。 解:y=f(x)图像就是将 y=x2(x∈(-1,1] )向右平移 2k 个单位所得,其中 k∈N 设 y1=f(x),y2=ax,由集合 Mk 可知,若 a∈M,则函数 y1=f(x)与 y2=ax 图像有 两个 交点,即当 x=2k+1 时,0<y2≤1 ∴0<a≤

1 2k ? 1 1 1 ,k∈N} ,即 Mk=(0, ] 2k ? 1 2k ? 1
2

∴Mk={a|0<a≤

对任意 x ?[2k ? 1,2k ? 1], f ( x) ? ( x ? 2k )

而 x ? 2 ?[2(k ? 1) ? 1,2(k ? 1) ? 1]

f ( x ? 2) ? [ x ? 2 ? 2(k ? 1)]2 ? ( x ? 2k )2 ? f ( x) ,
所以 f(x)是 2 为周期的周期函数。 思路点拔:化简集合,弄清图像变换规律,数形结合求解;周期性的的讨论注要是看你运用 定义的意识和能力


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