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陕西西安西工大附中2014届第七次适应性训练数学理科试题及答案


2014 年普通高等学校招生全国统一考试第七次适应性训练

数 学(理科)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分.考试时间 120 分 钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 M ? { x | | x |? 1}, N ? { x | log 1 x ? 0}, 则 M ? N 为(
2

) D. ?

A. ( ? 1,1)

B. ( 0,1)

C. ( 0,

1 ) 2

2. 设 a, b 是平面 ? 内两条不同的直线, 则 " l ? a, 且 l ? b " 是 " l ? ? " l 是平面 ? 外的一条直线, 的( ) A.充要条件

B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? ? ??? ? ? ? ???? ? ? 3.已知向量 i 与 j 不共线,且 AB ? i ? m j , AD ? ni ? j ,若 A, B, D 三点共线,则实数 m, n 满
足的条件是( A. m ? n ? 1 ) B. m ? n ? ?1 C. mn ? 1 D. mn ? ?1

4.已知复数 z ? a ? bi (a, b ? R), 且 a ? b ? 1. (1) z 可能为实数 (2) z 不可能为纯虚数
2 2

(3)若 z 的共轭复数 z ,则 z ? z ? a ? b .其中正确的结论个数为( A.0 B.1 C.2 5.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. )



D.3

5 3 3

B.

4 3 3

C.

5 3 6

D. 3

6.平面上有一组平行线且相邻平行线间的距离为 3 cm ,把一枚半径为 1cm 的硬币任意平掷在 这个平面,则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( A. ) D.

1 4

B.

1 3
2 2

C.

1 2

2 3

7.若直线 y ? kx 与圆 ( x ? 2) ? y ? 1 的两个交点关于直线 2 x ? y ? b ? 0 对称,则 k , b 的值分 别为( )

数学(理科) 第 1 页 (共 4 页)

A. k ?

1 , b ? ?4 2

B. k ? ? , b ? 4

1 2

C. k ?

1 ,b ? 4 2

D. k ? ? , b ? ?4

1 2

8. 若当 x ?

?
4

时, 函数 f ( x) ? A sin( x ? ? ) ( A ? 0) 取得最小值, 则函数 y ? f (

?
4

( ? x) 是 对称



A.奇函数且图像关于点 (

?
2

, 0) 对称

B.偶函数且图像关于直线 x ? D.偶函数且图像关于点 (

?

C.奇函数且图像关于直线 x ? 9. ( 3 y ?

?
2

对称

?
2

2

, 0) 对称


x )5 的二项展开式的第三项为 10 ,则 y 关于 x 的函数图像大致形状为(









4 3 10.已知函数 f ( x) ? 与 g ( x) ? x ? t ,若 f ( x) 与 g ( x) 的交点在直线 y ? x 的两侧,则实数 t x
的取值范围是 ( A. (?6,0] ) B. (?6,6) C. (4, ??) D. (?4, 4)

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填写在题中的横线上. 11.执行如右图所示的程序框图,则输出的 T 值为_____________;

lg x ? ? 12.设 f ( x) ? ? a x ? ? 3t 2dt ? 0 ?

x?0 x? 0
2

,若 f ( f (1)) ? 1 ,则 a ?
2 3 3 4 4



13.观察下列各式: a ? b ? 1, a ? b ? 3, a ? b ? 4, a ? b ? 7,

a5 ? b5 ? 11...... 则 a10 ? b10 ? _____________;

?x ? 4 y ? 4 ?x ? y ? 4 ? 14. 给定区域 D : ,令点集 T ? {? x0 , y0 ? ? D | x0 , y0 ? Z , ? x0 , y0 ? ? x ? y ? 2 ? ? ?x ? 0 是 z ? x ? y 在 D 上取得最大值或最小值的点 } ,则 T 中的点共确定______个不同的三角形.
数学(理科) 第 2 页 (共 4 页)

15.选做题:(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评阅记 分.) A.(不等式选作题)若不等式 | x ? 2 | ? | x ? 3|? a 的解集为 ? ,则 a 的取值范围为________; B.(几何证明选做题)如图,已知 ? O 的直径 AB ? 6 , C 为 ? O 上一点, 且 BC ? 过点 B 的 ? O 的切线交 AC 延长线于点 D , 则 DA ? ________; 2,

C. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,圆 ? ? 2 上的点到直线

? (cos ? ? 3 sin ? ) ? 6 的距离的最小值为________.
三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 如图, 四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为平行四边形, ?DBA ? 30 , ?DAB ? 60 , AD ? 1, PD ? 底
? ?

面 ABCD . (Ⅰ)证明: PA ? BD ; (Ⅱ)若 PD ? AD ,求二面角 P ? AB ? D 余弦值.

17.(本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,点 (a, b) 在直线

x(sin A ? sin B) ? y sin B ? c sin C 上.
(Ⅰ)求角 C 的值; (Ⅱ)若 2 cos
2

A B 3 c ? 2sin 2 ? ,且 A ? B ,求 . 2 2 2 a

18. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 的首项 a1 ? 1 , 公差 d ? 0 , 且第 2 项、 第 5 项、 第 14 项分别是等比数列 {bn } 的第 2 项、第 3 项、第 4 项. (Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设数列 {cn } 对 n ? N ,均有
*

c c1 c2 ? ? ...... ? n ? an ?1 成立,求 c1 ? c2 ? ...... ? c2014 . b1 b2 bn

数学(理科) 第 3 页 (共 4 页)

19. (本小题满分 12 分)某煤矿发生透水事故时,作业区有若干人员被困.救援队从入口进入之 后有 L1 , L2 两条巷道通往作业区(如下图), L1 巷道有 A1 , A2 , A3 三个易堵塞点,各点被堵塞的概率 都是

1 3 3 ; L2 巷道有 B1 , B2 两个易堵塞点,被堵塞的概率分别为 , . 2 4 5

(Ⅰ)求 L1 巷道中,三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率; (Ⅱ)若 L2 巷道中堵塞点个数为 X ,求 X 的分布列及数学期望 EX ,并按照"平均堵塞点少的 巷道是较好的抢险路线"的标准,请你帮助救援队选择一条抢险路线,并说明理由.

x2 y 2 20. (本小题满分 13 分) 如图, 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F1 , F2 , a b
其上顶点为 A. 已知 ?F1 AF2 是边长为 2 的正三角形. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 Q(?4, 0) 任作一动直线 l 交椭圆 C 于 M , N 两 点,记 MQ ? ? ? QN .若在线段 MN 上取一点 R ,使得

???? ?

????

???? ???? MR ? ?? ? RN ,当直线 l 运动时,点 R 在某一定直线上运动,求出该定直线的方程.

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)试判断函数 f ( x) 的单调性;

ln x ?1. x

(Ⅱ)设 m ? 0 ,求 f ( x) 在 [m, 2m] 上的最大值; (Ⅲ)试证明:对任意 n ? N ,不等式 ln(
*

1? n e 1? n 都成立(其中 e 是自然对数的底数) . ) ? n n

数学(理科)参考答案
数学(理科) 第 4 页 (共 4 页)

本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分.考试时间 120 分 钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. B 6. B 2.C 7.A 3.C 8.D 4.C 9.D 5. A 10.B

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填写在题中的横线上. 11.55 12. 1 13. 123 14. 25 15.A. (??,5] B. 3 C.1

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.(本小题满分12分)
解: (Ⅰ)因为 ?DBA ? 30 , ?DAB ? 60? ,故 ?ADB ? 90
? ?

? BD ? AD

又 PD ? 底面 ABCD ,可得 BD ? PD 所以 BD ? 面 PAD . 故 PA ? BD (Ⅱ)过 D 作 DO ? AB 交 AB 于 O ,连接 PO ,因为 PD ? 底面 ABCD , 则 ?POD 为二面角 P ? AB ? D 的平面角. 在 Rt ?ABD 中, AD ? 1, ?ABD ? 30 则 AB ? 2, BD ? 3 所以 DO ?
?

3 2

而 PD ? AD ? 1 ,在 Rt ?PDO 中, PD ? 1, DO ?

3 7 则 PO ? 2 2

所以 cos ?POD ? 17.(本小题满分 12 分)

DO 21 ? PO 7

解:(Ⅰ)解:(I)由题得 a ? sin A ? sin B ? ? b sin B ? c sin C , 由正弦定理
2 2 a b c 2 2 2 得 a ? a ? b ? ? b ? c ,即 a ? b ? c ? ab . ? ? sin A sin B sin C

由余弦定理得 cos C ?

a 2 ? b2 ? c2 1 ? , 2ab 2

数学(理科) 第 5 页 (共 4 页)

结合 0 ? C ? ? ,得 C ? (II)因为 2cos 2

?
3

.

A B ? 2sin 2 ? cos A ? cos B 2 2 2? ? cos A ? cos( ? A) 3
? 1 3 ? 3 cos A ? sin A ? sin( A ? ) ? 2 2 6 2

2? ? ? ? ? ? ? ,且 A ? B 所以 0 ? A ? , ? ? A ? ? ? A? ? 3 3 6 6 2 6 3 ? ? ? c 所以, A ? , B ? , C ? , ? ? 3 6 2 3 a
因为 A ? B ? 18. (本小题满分 12 分)

d , ? (1 ? 4d ) ? (1 ? d )(1 ? 13d ), 解 得 解 : ( Ⅰ ) ? a2 ? 1 ? d , a 5 ? 1 ? 4d , a 1 4 ? 1? 1 3
2

d ?2 ( ?d ? 0 )
? an ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1. 又? b2 ? a2 ? 3, a5 ? b3 ? 9
所以,等比数列{bn } 的公比 q ?

b3 ? 3. ? bn ? b2 q n ?2 ? 3n ?1 b2

(Ⅱ)?

c c1 c2 ? ? ...... ? n ? an ?1 b1 b2 bn

?当 n ? 2 时,

c c1 c2 ? ? ...... ? n ?1 ? an b1 b2 bn ?1

两式相减,得

cn ? an ?1 ? an ? 2 (n ? 2) bn

? cn ? 2bn ? 2 ? 3n?1 (n ? 2)

当 n ? 1 时,

n ?1 ?3, c1 . ? a2 , ? c1 ? 3 不满足上式 故 cn ? ? n ?1 b1 2 ? 3 n ? 2 ?
1 2 2013

? c1 ? c2 ? ...... ? c2014 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? ...... ? 2 ? 3

6 ? 6 ? 32013 ? 3? ? 3 ? 3 ? 32014 ? 32014 1? 3

19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设 " L1 巷道中,三个易堵塞点最多有一个被堵塞 " 为事件 A
数学(理科) 第 6 页 (共 4 页)

0 1 则 P( A) ? C3 ? ( )3 ? C3 ? ? ( )2 ?

1 2

1 2

1 2

1 2

(Ⅱ)依题意, X 的可能取值为 0,1,2

3 3 1 P( X ? 0) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 4 5 10 3 3 9 P( X ? 2) ? ? ? 4 5 20 所以,随机变量 X 的分布列为:

3 3 3 3 P( X ? 1 ) ? ? ( ?1 ? ) ? ( 1 ? ) ? 4 5 4 5

9 20

X
P

0

1

2

1 10

9 20

9 20

1 9 9 27 ? 1? ? 2 ? ? 10 20 20 20 (方法一)设 L1 巷道中堵塞点个数为 Y ,则 Y 的可能取值为 0,1,2,3 1 1 1 1 3 1 P(Y ? 0) ? C30 ? ( )3 ? P(Y ? 1) ? C3 ? ? ( )2 ? 2 8 2 2 8 1 1 3 1 1 3 P(Y ? 2) ? C32 ? ( )2 ? ? P(Y ? 3) ? C3 ? ( )3 ? 2 2 8 2 8 所以,随机变量 Y 的分布列为: EX ? 0 ?

Y P

0

1

2

3

1 8

3 8

3 8

1 8

1 3 3 1 3 EY ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 8 8 8 8 2

因为 EX ? EY ,所以选择 L2 巷道为抢险路线为好.

(方法二)设 L1 巷道中堵塞点个数为 Y ,则随机变量 Y ~ B(3, ) ,所以, EY ? 3 ? 因为 EX ? EY ,所以选择 L2 巷道为抢险路线为好 20. (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)因为 ?F1 AF2 是边长为 2 的正三角形,所以 c ? 1,

1 2

1 3 ? 2 2

a ? 2, b ? 3 ,所以,椭

x2 y2 ? ?1 圆 C 的方程为 4 3
(Ⅱ) 由题意知, 直线 MN 的斜率必存在, 设其方程为 y ? k ( x ? 4) .并设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )
数学(理科) 第 7 页 (共 4 页)

? x2 y2 ?1 ? ? 由? 4 , 消去 y 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ? 12 ? 0, 3 ? y ? k ( x ? 4) ?
则 ? ? 144(1 ? 4k ) ? 0,
2

x1 ? x2 ?

?32k 2 , 3 ? 4k 2

x1 ? x2 ?
x1 ? 4 . x2 ? 4

64k 2 ? 12 . 3 ? 4k 2

由 MQ ? ? ? QN 得 ?4 ? x1 ? ? ( x2 ? 4), 故 ? ? ?

???? ?

????

设点 R 的坐标为 ( x0 , y0 ), 则由 MR ? ?? ? RN 得 x0 ? x1 ? ?? ( x2 ? x0 )

????

????

解得 : x0 ?

x1 ? ? x2 ? 1? ?

x1 ?

x1 ? 4 ?24 ? x2 x2 ? 4 2 x x ? 4( x1 ? x2 ) 3 ? 4k 2 ? 1 2 ? ? ?1 x ?4 24 ( x1 ? x2 ) ? 8 1? 1 3 ? 4k 2 x2 ? 4

故点 R 在定直

线 x ? ?1 上. 21. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)解: (1)函数 f ( x ) 的定义域是 (0, ??) .由已知 f ?( x) ? 得 x ?e. 因为当 0 ? x ? e 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? e 时, f ?( x) ? 0 . 所以函数 f ( x ) 在 (0, e] 上单调递增,在 [e, ??) 上单调递减. ( Ⅱ ) 由 ( 1 ) 可 知 当 2m ? e , 即 m ?

1 ? ln x .令 f ?( x) ? 0 , x2

e 时 , f ( x ) 在 [m, 2m] 上 单 调 递 增 , 所 以 2

f ( x)max ? f (2m) ?

ln 2m ?1 . 2m ln m ?1 . 当 m ? e ? 2 m , 即 m

当 m ? e 时 , f ( x) 在 [m, 2m] 上 单 调 递 减 , 所 以 f ( x)max ?

数学(理科) 第 8 页 (共 4 页)

1 e ? m ? e 时, f ( x)max ? f (e) ? ? 1 .综上所述, f ( x) max e 2

e ? ln 2m ? 2m ? 1, 0 ? m ? 2 ? e ?1 ? ? ? 1, ? m ? e 2 ?e ? ln m ? 1, m ? e ? ? m

( Ⅲ ) 由 ( 1 ) 知 当 x ? ( 0 ,? ? ) 时 f ( x)max ? f (e) ?

1 ? 1 . 所 以 在 x ? ( 0 ,? ? ) 时恒有 e

f ( x )?

l nx 1 ln x 1 ? 1 ? ? ,即 1 ? ,当且仅当 x ? e 时等号成立.因此对任意 x ? (0, ??) 恒 x e x e 1? n 1 1 ? n 1? n 1? n 1? n e 1? n 1 ? ? ? 0, ? e ,所以 ln ) ? .因为 ,即 ln( .因 n e n n n n n e
*

有 ln x ? x ?

此对任意 n ? N ,不等式 ln(

1? n e 1? n ) ? . n n

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