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条件概率及全概率公式练习题


二、计算题

解.设事件 A 表示“甲取到的数比乙大”, 设事件 B 表示“甲取到的数是 5 的倍数”. 则显然所要求的概率为 P(A|B).
1. 从 1, 2, 3,…, 15 中,甲、乙两人各任 取一数(不重复),已知甲取到的数是 5 的倍数,求甲数大于乙数的概率.

根据公式 而 P(B)=3/15=1/5 ,

, ∴ P(A|B)=9/14.

解.设事件 A 表示“掷出含有 1 的点数”, 设事件 B 表示“掷出 的三个点数都不一样”. 则显然所要求的概率为 P(A|B). 根据公
2. 掷三颗骰子,已知所得三个数都不一样,求含有 式 1 点的概率.

,

, ∴

P(A|B)=1/2.

1 解.设事件 Ai 表示“第 i 次取到白球”. (i=1,2,…,N) 则根据题意 P(A1)=1/2 , P(A2|A1)=2/3, 由乘法公式可知:
3. 袋中有一个白球和一个黑球,一次 次地从袋中摸球,如果取出白球,则除 把白球放回外再加进一个白球,直至 取出黑球为止,求取了 N 次都没有取 到黑球的概率.

P(A1A2)=P(A2|A1)P(A1)=1/3. 而 P(A3|A1A2)=3/4 , P(A1A2A3)=P(A3|A1A2)P(A1A2)=1/ 4. 由数学归纳法可以知道 P(A1A2…AN)=1/(N+1).

解.设事件 A 表示“取到的是甲 袋”, 则 袋”, 事件 B 表示“最后取到的是 白球”. 根据题意 : P(B|A)=5/12 ,
4. 甲袋中有 5 只白球, 7 只红球;乙袋中有 4 只白球, 2 只红球.从两个袋子中任取一袋, 然后从所取到的袋子中任取一球,求取到的 球是白球的概率.

表示“取到的是乙

, P(A)=1/2. ∴

.

5. 有甲、 乙两袋,甲袋中有 3 只白 解.设事件 Ai 表示“从甲袋取的 2 个球中有 i 球,2 只黑球;乙袋中有 4 只白球,4 只黑球.现从甲袋中任取 2 个球放 个白球”,其中 i=0,1,2 .

入乙袋,然后再从乙袋中任取一 球,求此球为白球的概率.

事件 B 表示“从乙袋中取到的是白 球”. 显然 A0, A1, A2 构成一完备事件组,且根据题 意

P(A0)=1/10 , P(A2)=3/10 ; P(B|A0)=2/5 , P(B|A2)=3/5 ;
由全概率公式

P(A1)=3/5 , P(B|A1)=1/2 ,

P(B)=P(B|A0)P(A0)+P(B|A1)P(A1)+P(B|A
2)P(A2)

=2/5×1/10+1/2×3/5+3/5× 3/10=13/25.

解.设事件 A 表示“第一次取到的 是 1 号球”,则 表示“第一次取

到的是非 1 号球”; 事件 B 表示“最后取到的是 2 号球”. 显然
6. 袋中装有编号为 1, 2,…, N 的 N 个球,先 从袋中任取一球,如该球不是 1 号球就放回 袋中,是 1 号球就不放回,然后再摸一次,求取 到 2 号球的概率.

P(A)=1/N,

, 且 P(B|A)=1/(N-1), ; ∴

=1/(N-1)×1/N+1/N ×(N-1)/N =(N2-N+1)/N2(N-1).

解.设事件 A1 表示“第一次取到的是红球”, 设事件 A2 表示“第二次取到的是红 球”. (1)要求的是事件 A1A2 的概率. 根据题意 P(A1)=4/5, , P(A2|A1)=7/9, ∴P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=4/5×7/9=28/45.
7. 袋中装有 8 只红球 , 2 只 黑球,每次从中任取一球, 不放回地连续取两次, 求下 列事件的概率. (1)取出的两只球都 是红球; (2)取出的两只球都 是黑球; (3)取出的两只球一 只是红球,一只是黑球; (4)第二次取出的是 红球.

(2)要求的是事件 根据题意:

的概率. , ,

∴ . (3)要求的是取出一只红球一只黑球,它包括 两种情形,即求事件 , 的概率. ,

,

, ∴ . (4)要求第二次取出红球,即求事件 A2 的概 率.

由全概率公式 :

=7/9×4/5+8/9×1/5=4/5.

解.设事件 A 表示“射手能通过选拔进入比赛”,
8. 某射击小组共 设事件 Bi 表示“射手是第 i 级射手”.(i=1,2,3,4) 有 20 名射手,其中 一级射手 4 人, 二 显然, B1、B2、B3、B4 构成一完备事件组,且 级射手 8 人, 三级 P(B1)=4/20, P(B2)=8/20, P(B3)=7/20, P(B4)=1/20; 射手 7 人, 四级射 P(A|B1)=0.9, P(A|B2)=0.7, P(A|B3)=0.5, P(A|B4)=0.2. 手 1 人. 一、二、 三、 四级射手能通 由全概率公式得到 过选拔进入比赛 P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)+P(A|B 的概率分别是 0.2 0.9、 0.7、 0.5、 . 4)P(B4) 求任选一名射手 =0.9×4/20+0.7×8/20+0.5×7/20+0.2× 能通过选拔进入 比赛的概率. 1/20=0.645.

解.设事件 A1 表示“飞机能飞到距目标 400 米处”, 设事件 A2 表示“飞机能飞到距目 标 200 米处”, 设事件 A3 表示“飞机能飞到距目
9. 轰炸机轰炸某目标,它能飞到 标 100 米处”, 距目标 400、200、100(米)的概率 用事件 B 表示“目标被击中”. 分别是 0.5、0.3、0.2,又设它在距 目标 400、200、100(米)时的命中 由题意, P(A1)=0.5, P(A2)=0.3, P(A3)=0.2, 率分别是 0.01、 0.02、 .求目标 0.1 且 A1、A2、A3 构成一完备事件组. 被命中的概率为多少?

又已知 P(B|A1)=0.01, P(B|A2)=0.02, P(B|A3)=0.1. 由全概率公式得到 : P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A
3)P(A3)

=0.01×0.5+0.02×0.3+0.1×0.2=0.0 31.

解.设事件 Ai 表示“第 i 道工序出次 品”, i=1,2,3,4 因为各道工序的加工互不影响, 因此 Ai 是相互独立的事件. P(A1)=0.02, P(A2)=0.03, P(A3)=0.05, P(A4)=0.03, 只要任一道工序出次品,则加工
10. 加工某一零件共需要 4 道工序,设第 (A +A +A +A )这个事件的概率. 一﹑第二﹑第三﹑第四道工序的次品率 1 2 3 4 分别为 2%﹑3%﹑5%﹑3%, 假定各道 为了运算简便,我们求其对立事 工序的加工互不影响, 求加工出零件的 件的概率 次品率是多少?

出来的零件就是次品.所以要求的是

=(1 -0.02)(1-0.03)(1-0.05)(1-0.03)=0.876. ∴ P(A1+A2+A3+A4)=1-0.876=0.124.

11. 某人过去射击的成绩 是每射 5 次总有 4 次命中目 标, 根据这一成绩, 求 (1)射击三次皆中目 标的概率; (2)射击三次有且只 有 2 次命中目标的概率;

解.设事件 Ai 表示“第 i 次命中目标”, i=1,2,3 根据已知条件 P(Ai)=0.8, ,i=1,2,3

某人每次射击是否命中目标是相互独立的,因此事 件 Ai 是相互独立的 . (1)射击三次皆中目标的概率即求 P(A1A2A3).

(3)射击三次至少有 由独立性: 二次命中目标的概率.

P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0.83=0.512.

(2)“射击三次有且只有 2 次命中目标”这 个事件用 B 表示. 显然 又根据独立性得到: ,

. (3)“射击三次至少有 2 次命中目标”这个 事件用 C 表示. 至少有 2 次命中目标包括 2 次和 3 次命中目标,所 以 C=B+A1A2A3 P(C)=P(B)+P(A1A2A3)=0.384+0.512=0.896.

解.设事件 Ai 表示“第 i 人能译出密码”, i=1,2,3. 由于每一人是否能译出密码是相互独立的,最 后只要三人中至少有一人能将密码译出,则密码被译 出,因此所求的概率为 P(A1+A2+A3).
12. 三人独立译某一密 码, 他们能译出的概率 分别为 1/3, 1/4, 1/5, 求 而 能将密码译出的概率.

已知 P(A1)=1/3, P(A2)=1/4, P(A3)=1/5,

=(1-1/3)(1-1/4)(1-1/5)=0.4 . ∴P(A1+A2+A3)=1-0.4=0.6.
13. 用一门大 炮对某目标进 解.设事件 Ai 表示“第 i 次命中目标”, i=1,2,3. 行三次独立射 设事件 Bi 表示“目标被命中 i 弹”, i=0,1,2,3. 击, 第一、二、 设事件 C 表示“目标被摧毁”. 三次的命中率 分别为 0.4、 由已知 P (A )=0.4, P(A )=0.5, P(A )=0.7; 1 2 3 0.5、0.7, 若命 P(C|B0)=0, P(C|B1)=0.2, P(C|B2)=0.6, P(C|B3)=0.8. 中此目标一、 二、 三弹, 该目 又由于三次射击是相互独立的,所以 标被摧毁的概

率分别为 0.2、 0.6 和 0.8, 试 求此目标被摧 , 毁的概率.

=0.6×0.5×0.7+0.6×0.5×0.3+0.4×0.5×0.3=0 .36,

=0.6×0.5×0.7+0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7 =0.41,

. 由全概率公式得到

P(C)=P(C|B0)P(B0)+P(C|B1)P(B1)+P(C|B2)P(B2)+P(C|B3) P ( B 3)
=0×0.09+0.2×0.36+0.6×0.41+0.8×0.14=0.43.


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