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2017_2018版高中数学第二章函数3函数的单调性(二)课件北师大版必修1_图文

第二章 函数 §3 函数的单调性(二) 学习目标 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义. 2.会借助单调性求最值. 3.掌握求二次函数在闭区间上的最值. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 函数的最大(小)值 思考 在右图表示的函数中,最大的函数值 和最小的函数值分别是多少?1为什么 不是最小值? 答案 最大的函数值为4,最小的函数值为2.1没有A中的元素与 之对应,不是函数值. 答案 梳理 对于函数 y = f(x) ,其定义域为 D ,如果存在 x0∈D , f(x) = M ,使得对于 任意的x∈D,都有f(x)≤M,那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值,即 当x=x0时,f(x0)是函数y=f(x)的最大值,记作ymax=f(x0). 知识点二 函数的最大(小)值的几何意义 思考 函数y=x2,x∈[-1,1]的图像如图所示: 试指出函数的最大值、最小值和相应的x的值. 答案 x=±1 时, y 有最大值 1 ,对应的点是 图像中的最高点, x = 0 时, y 有最小值 0 ,对 应的点为图像中的最低点. 答案 梳理 一般地,函数最大值对应图像中的最高点,最小值对应图像中的最低 点,它们不一定只有一个. 题型探究 类型一 借助单调性求最值 例1 已知函数f(x)= 2 x (x>0),求函数的最大值和最小值. x +1 解答 反思与感悟 (1)若函数y=f(x)在区间[a,b]上递增,则f(x)的最大值为f(b),最小值为f(a). (2)若函数y=f(x)在区间[a,b]上递减,则f(x)的最大值为f(a),最小值为f(b). (3)若函数y=f(x)有多个单调区间,那就先求出各区间上的最值,再从各区 间的最值中决出最大(小).函数的最大(小)值是整个值域范围内最大(小)的. (4)如果函数定义域为开区间,则不但要考虑函数在该区间上的单调性, 还要考虑端点处的函数值或者发展趋势. 跟踪训练1 已知函数f(x)= 2 (x∈[2,6]),求函数的最大值和最小值. x-1 解答 类型二 求二次函数的最值 例2 (1)已知函数f(x)=x2-2x-3,若x∈[0,2],求函数f(x)的最值; 解 ∵函数f(x)=x2-2x-3开口向上,对称轴x=1, ∴f(x)在[0,1]上递减,在[1,2]上递增,且f(0)=f(2). ∴f(x)max=f(0)=f(2)=-3, f(x)min=f(1)=-4. 解答 (2)已知函数f(x)=x2-2x-3,若x∈[t,t+2],求函数f(x)的最值; 解答 解答 (4)“ 菊花 ” 烟花是最壮观的烟花之一 . 制造时一般是期望在它达到最高 点时爆裂.如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)=-4.9t2 +14.7t+18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地 面的高度是多少?(精确到1 m) 解答 反思与感悟 (1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关,求解 时要注意这两个因素. (2)图像直观,便于分析、理解;配方法说理更严谨,一般用于解答题. 跟踪训练2 (1)已知函数f(x)=x4-2x2-3,求函数f(x)的最值; 解 设x2=t(t≥0),则x4-2x2-3=t2-2t-3. y=t2-2t-3(t≥0)在[0,1]上递减,在[1,+∞)上递增. ∴当t=1即x=±1时,f(x)min=-4,无最大值. 解答 (2)求二次函数f(x)=x2-2ax+2在[2,4]上的最小值; 解 ∵函数图像的对称轴是x=a, ∴当a<2时,f(x)在[2,4]上是增函数, ∴f(x)min=f(2)=6-4a. 当a>4时,f(x)在[2,4]上是减函数, ∴f(x)min=f(4)=18-8a. 当2≤a≤4时,f(x)min=f(a)=2-a2. ? ?6-4a,a<2, ? 2 2 - a ,2≤a≤4, ? ∴f(x)min= ? ? ?18-8a,a>4. 解答 (3)如图,某地要修建一个圆形的喷水池,水流在各个方向上以相同的抛 物线路径落下,以水池的中央为坐标原点,水平方向为 x轴、竖直方向 为y轴建立平面直角坐标系.那么水流喷出的高度h(单位:m)与水平距离 5 5 x(单位:m)之间的函数关系式为 h=-x +2x+ ,x∈[0, ]. 求水流喷出 4 2 2 的高度h的最大值是多少? 解答 类型三 函数最值的应用 例3 已知x2-x+a>0对任意x∈(0,+∞)恒成立,求实数a的取值范围. 解答 解 1 f(x)=-x +x 在(2,+∞)上为减函数, 2 1 ∴f(x)的值域为(-∞,4), 1 1 要使 a>-x +x 对任意 x∈(2,+∞)恒成立,只需 a≥4, 2 1 ∴a 的取值范围是[4,+∞). 解答 反思与感悟 恒成立的不等式问题,任意x∈D,f(x)>a恒成立,一般转化为最值问题: f(x)min>a来解决.任意x∈D,f(x)<a恒成立?f(x)max<a. 跟踪训练3 已知ax2+x≤1对任意x∈(0,1]恒成立,求实数a的取值范围. 1 1 解 ∵x>0,∴ax +x≤1 可化为 a≤x2-x. 1 1 1 1 要使 a≤x2-x对任意 x∈(0,1]恒成立, 只需 a≤( 2- )min. x x 1 1 1 2 12 1 设 t= x,∵x∈(0,1],∴t≥1. 2- =t -t=(t- ) - . x x 2 4 2 1 1 当 t=1 时,(t -t)min=0,即 x=1 时,(x2-x )min=0, 2 ∴a≤0. ∴a的取值范围是(-∞,0]. 解答 当堂训练 1 1.函数 y=-x+1 在区间[2,2]上的最大值是 1 A