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北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编6:函数的综合问题(学生版)


北京市 2014 届高三理科数学一轮复习试题选编 6:函数的综合问题

一、选择题 错误!未指定书签。 .(北京市东城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题)给出下列
1

命题: ①在区间 (0, ??) 上, 函数 y ? x ?1 , y ? x 2 , y ? ( x ? 1)2 , y ? x3 中有三个是增函数; ②若 log m 3 ? log n 3 ? 0 ,则 0 ? n ? m ? 1 ;③若函数 f ( x) 是奇函数,则 f ( x ? 1) 的图 象关于点 A(1,0) 对称; ④已知函数 f ( x ) ? ? 实数根,其中正确命题的个数为 A. 1 B. 2

?3 x ? 2 ,

x ? 2,

?log 3 ( x ? 1), x ? 2,
C. 3

则方程 f ( x) ?

1 有2个 2
( )

D. 4

错误!未指定书签。 .(北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考理科数学)定义在 R

? 1 ? 上的函数 f ( x ) ? ? x ? 2 ?1 ?

( x ? 2) ( x ? 2)

,则 f (x) 的图像与直线 y ? 1 的交点为 ( x1 , y1 ) 、

( x2 , y 2 ) 、 ( x3 , y 3 ) 且 x1 ? x2 ? x3 ,则下列说法错误的是
2 2 A. x12 ? x 2 ? x3 ? 14





B



1 ? x2 ? x 3 ? 0

C. x1 ? x3 ? 4 D. x1 ? x3 ? 2x2
错误! 未指定书签。 . (2013 北京朝阳二模数学理科试题) 已知函数 f ( x) ? a ? 2 ? 1(a ? 0) ,
x

定义函数 F ( x) ? ?

? f ( x), x ? 0, 给出下列命题: ?? f ( x), x ? 0.

① F ( x) ? f ( x) ; ②函数 F ( x) 是奇函数;③当 a ? 0 时,若 mn ? 0 , m ? n ? 0 ,总有

F ( m) ? F ( n) ? 0成立,其中所有正确命题的序号是
A.② B.①② C.③ D.②③





错误!未指定书签。 .(2013 北京丰台二模数学理科试题及答案)已知偶函数 f ( x)( x ? R) ,



x ? (?2,0]



,

f ( x) ? ? x(2 ? x)

,



x ? [2, ??)

时, f ( x) ? ( x ? 2)(a ? x) ( a ? R ). 关于偶函数 f ( x) 的图象 G 和直线 l : y ? m ( m ? R )的 3 个命题如下: ① 当 a=4 时,存在直线 l 与图象 G 恰有 5 个公共点;

② 若对于 ?m ? [0,1] ,直线 l 与图象 G 的公共点不超过 4 个,则 a≤2; ③

?m ? (1, ??), ?a ? (4, ??) ,使得直线 l 与图象 G 交于 4 个点,且相邻点之间的距离

相等. 其中正确命题的序号是 A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ ( )

第二部分(非选择题 共 110 分)
错误!未指定书签。 .(北京市昌平区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )已知函数:

① f ( x) ? ? x ? 2 x ,② f ( x) ? cos(
2

?
2

?

1 ?x ) ,③ f ( x) ? |x ?1|2 .则以下四个命题对已 2

知的三个函数都能成立的是 命题 p : f ( x) 是奇函数; 命题 r : f ( ) ? 命题 q : f ( x ? 1) 在 (0,1) 上是增函数; ( )

1 1 ; 命题 s : f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称 2 2 A.命题 p、q B.命题 q、s C.命题 r、s D.命题 p、r
错误!未指定书签。 .(北京市东城区普通校 2013 届高三 3 月联考数学(理)试题 )8.对实

数 a 与 b , 定 义 新 运 算 “ ? ” : a ?b ? ?

?a, a ? b ? 1, ?b, a ? b ? 1.

设 函 数

则实数 c 的取 f ( x) ? ? x 2 ? 2 ? ? ? x ? x 2 ? , x ? R. 若函数 y ? f ( x) ? c 的零点恰有两个, 值范围是 A. ? ??, ?2? ? ? ?1, ( )

? ?

3? ? 2?

B. ? ??, ?2? ? ? ?1, ?

? ?

3? ? 4?

C. ? ??, ? ? ?

? ?

1? 4?

?1 ? , ?? ? ?4 ?

3 ? ?1 ? ? ? ?1, ? ? ? ? , ?? ? 4 ? ?4 ? D. ?

错误!未指定书签。 .(北京市石景山区 2013 届高三一模数学理试题)若直角坐标平面内的

两点 p、Q 满足条件:①p、Q 都在函数 y=f(x)的图像上;②p、Q 关于原点对称,则称点对 [P,Q]是函数 y=f(x)的一对“友好点对”(注:点对[P,Q]与[Q,P]看作同一对“友好点 对”). 已知函数 f(x)= ? A.0

?1og 2 x ( x ? 0)
2 ? ? x ? 4 x ( x ? 0)

,则此函数的“友好点对”有( C.2 D.3

)对.





B.1

错误!未指定书签。 . (2013 北京西城高三二模数学理科)已知函数 f ( x) ? x ? [ x] ,其中 [ x]

表示不超过实数 x 的最大整数.若关于 x 的方程 f ( x) ? kx ? k 有三个不同的实根,则 实数 k 的取值范围是 A. [?1, ? ) ? ( , ] ( B. (?1, ? ] ? [ , ) )

1 2

1 1 4 3

1 2

1 1 4 3

C. [? , ? ) ? (

1 3

1 4

错误!未指定书签。 .(北京市朝阳区 2013 届高三第一次综合练习理科数学) 已知函数

f ( x) ? 2 x ? 1, x ? N* .若 ?x0 , n ? N* ,使 f ( x0 ) ? f ( x0 ? 1) ? ? ? f ( x0 ? n) ? 63 成立,
则称 ( x0 , n) 为函数 f ( x) 的一个“生成点”.函数 f ( x) 的“生成点”共有 C.3 个 D.4 个 错误!未指定书签。.(2013 届北京丰台区一模理科)如果函数 y=f(x)图像上任意一点的坐 标(x,y)都满足方程 lg( x ? y) ? lg x ? lg y ,那么正确的选项是 ( ) A.1 个 B.2 个 ( )

A.y=f(x)是区间(0, ?? )上的减函数,且 x+y ? 4 B.y=f(x)是区间(1, ?? )上的增函数,且 x+y ? 4 C.y=f(x)是区间(1, ?? )上的减函数,且 x+y ? 4 D.y=f(x)是区间(1, ?? )上的减函数,且 x+y ? 4 错误!未指定书签。. (2011 年高考(北京理))设 A(0,0), B(4,0), C (t ? 4,4), D(t ,4) (t ? R) . 记 N (t ) 为平行四边形 ABCD 内部(不含边界)的整点的个数,其中整点是指横、 纵坐标都 是整数的点,则函数 N (t ) 的值域为 ( A.{9,10,11}
二、填空题 错误! 未指定书签。(北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题) . 已知函数 f ( x)



B.{9,10,12}

C.{9,11,12}

D.{10,11,12}

的定义域为 R .若 ? 常数 c ? 0 ,对 ?x ? R ,有 f (x ?c ) ? f (x ?c ) ,则称函数 f ( x) 具有性质 P .给定下列三个函数: ① f ( x) ? 2 ;
x

② f ( x) ? sin x ;

③ f ( x) ? x ? x .
3

其中,具有性质 P 的函数的序号是______.
错误!未指定书签。.(北京市石景山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )给出定义:

若m ?

1 1 < x ? m + (其中 m 为整数),则 m 叫做离实数 x 最近的整数,记作 {x} ,即 2 2

{x}= m . 在此基础上给出下列关于函数 f (x)=x ? {x} 的四个命题:
① y =f (x ) 的定义域是 R ,值域是 ( ?

1 1 , ]; 2 2

②点 (k ,0) 是 y =f (x ) 的图像的对称中心,其中 k ? Z ; ③函数 y =f (x ) 的最小正周期为 1 ;

④ 函数 y =f (x ) 在 ( ?

1 3 , ] 上是增函数. 2 2


则上述命题中真命题的序号是

ì 1 ? ? 2 x, 0 ≤ x ≤ ? ? 2 , 错误!未指定书签。.(2013 届北京大兴区一模理科)已知函数 f ( x ) = í ? ? 2 - 2 x, 1 < x ≤ 1 ? ? 2 ? ?
定 义 f1 ( x) =

f ( x), f n ( x) = f ( f n- 1 ( x)) , ( n≥ 2 , n ? N * ) . 把 满 足 f n ( x ) = x

( x ? [0,1])的 x 的个数称为函数 f ( x) 的“ n - 周期点”.则 f ( x) 的 2 - 周期点 是 ; n - 周期点是 .

错误! 未指定书签。 (北京市顺义区 2013 届高三第一次统练数学理科试卷 . (解析) 函数 )

f ?x ?

的定义域为 A ,若 x1 , x 2 ? A 且 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? 时总有 x1 ? x 2 ,则称 f ? x ? 为单函数.例 如,函数 f ? x ? ? x ? 1? x ? R ? 是单函数.下列命题: ①函数 f ? x ? ? x ? 2 x? x ? R ? 是单函数;
2

②函数 f ? x ? ? ?

?log 2 x, x ? 2, 是单函数; ?2 ? x , x ? 2

③若 f ? x ? 为单函数, x1 , x 2 ? A 且 x1 ? x 2 ,则 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ; ④函数 f ? x ? 在定义域内某个区间 D 上具有单调性,则 f ? x ? 一定是单函数. 其中的真命题是_________(写出所有真命题的编号). 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
错误!未指定书签。.(北京市朝阳区 2013 届高三第一次综合练习理科数学)函数 f (x) 是定

义在 R 上的偶函数,且满足 f ( x ? 2) ? f ( x) .当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? 2 x .若在区间

[?2,3] 上方程 ax ? 2a ? f ( x) ? 0 恰有四个不相等的实数根,则实数 a 的取值范围是
________.
错误!未指定书签。.(北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试理科数学试题 )对任意两

个实数 x1 , x2 ,定义 max ? x1 , x2 ? ? ?

? x1 , x1 ? x2 , 2 若 f ? x? ? x ? 2 , x2 , x1 ? x2 . ?


g ? x ? ? ? x ,则 max ? f ? x ? , g ? x ? ? 的最小值为

错误!未指定书签。.(北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 12 月综合练习(一)数学理 试题)已知命题: p : f ( x ? 1) 是奇函数; q : f ( ) ?

1 2

1 .下列函数: 2

① f ( x) ?

2 ?x x ,② f ( x) ? cos ,③ f ( x) ? 2 ? 1 中 2 x ?1

能使 p, q 都成立的是____________.(写出符合要求的所有函数的序号).
错误!未指定书签。.(2010 年高考(北京理))如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴

滚 动 ? 设 顶 点 p(x,y) 的 轨 迹 方 程 是 y ? f ( x) , 则 f ( x) 的 最 小 正 周 期 为 __________; y ? f ( x) 在其两个相邻零点间的图像与 x 轴所围区域的面积为__________ ?说明:“正方形 PABC 沿 x 轴滚动”包括沿 x 轴正方向和沿 x 轴负方向滚动?沿 x 轴正方 向滚动指的是先以顶点 A 为中心顺时针旋转,当顶点 B 落在 x 轴上时,再以顶点 B 为中心 顺时针旋转,如此继续?类似地,正方形 PABC 可以沿 x 轴负方向滚动?

三、解答题 错误!未指定书签。. (北京市海淀区 2013 届高三上学期期中练习数学(理)试题)如图所示,

已知边长为 8 米的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中 AE ? 4 米,CD ? 6 米.为了合理利 用这块钢板, 将在五边形 ABCDE 内截取一个矩形块 BNPM ,使点 P 在边 DE 上. (Ⅰ)设 MP ? x 米,PN ? y 米,将 y 表示成 x 的函数,求该函数的解析式及定义域; (Ⅱ)求矩形 BNPM 面积的最大值.

A
M

E P

F D

B

N

C

错误!未指定书签。.(北京市房山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )(本小题满

分 13 分)已知函数 y ? f (x) ,若存在 x0 ,使得 f ( x0 ) ? x0 ,则称 x0 是函数 y ? f (x) 的 一个不动点,设二次函数 f ( x) ? ax 2 ? (b ? 1) x ? b ? 2 . (Ⅰ) 当 a ? 2, b ? 1 时,求函数 f (x) 的不动点; (Ⅱ) 若对于任意实数 b ,函数 f (x) 恒有两个不同的不动点,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,若函数 y ? f (x) 的图象上 A, B 两点的横坐标是函数 f (x) 的不 动点,且直线 y ? kx ?

1 是线段 AB 的垂直平分线,求实数 b 的取值范围. a ?1
2

北京市 2014 届高三理科数学一轮复习试题选编 6:函数的综合问题参考答案 一、选择题 错误!未找到引用源。

【答案】C
1

3 2 解 : ① 在 区 间 (0, ??) 上 , 只 有 y ? x , y ? x 是 增 函 数 , 所 以 ① 错 误 。 ② 由

1 1 ? ?0 log m 3 ? log n 3 ? 0 log3 n ? log3 m ? 0 log3 m log3 n ,可得 ,即 ,所以

0 ? n ? m ? 1 ,所以②正确。③正确。④当 x ? 2 时, 3

x? 2

? 1 ,由

3x? 2 ?

1 2 ,可知此

时有一个实根。当 x ? 2 时,由

log3 ( x ? 1) ?

1 2 ,得 x ? 1 ? 3 ,即 x ? 1 ? 3 ,所以

④正确。所以正确命题的个数为 3 个。选 C.
错误!未找到引用源。

【答案】D

【解析】由

1 ?1 x?2
,得

x ? 2 ?1
,解得 ,所以

x ?1


x?3
,当

x?2


y ? 1 。又

x1 ? x2 ? x3

,所以

x1 ? 1, x2 ? 2, x3 ? 3
D D

x1 ? x3 ? 4 ? 2 x2

,所以 D 错误,选 D.

错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。
2

【答案】C

解:当 f ( x) ? ? x ? 2 x 时,函数不是奇函数,所以命题 p 不能使三个函数都成立,排 除 A,D. ①

1 1 1 1 3 1 f ( ) ? ?( ) 2 ? 2 ? ? 1 ? ? ? 2 2 2 4 4 2









1 1 1 1 2 1 1 ? ? 1 ? 2 1 f ( ) ? | ? 1| 2 ? ? ? f ( ) ? cos( ? ? ) ? cos ? ? 成立;③ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2
成立,所以命题 r 能使三个函数都成立,所以选 C.
错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

B 错误!未找到引用源。 C B. B 错误!未找到引用源。 C 错误!未找到引用源。 【答案】C 【命题立意】 本题主要考查了平面坐标系中点的坐标变化情况, 考查学生的抽象思维、分析问题和解决问题的能力. 【解析】由图知 C,D 两点在直线 y ? 4 上运动,平行四边形

y

ABCD内部整点的纵坐标只能取 1,2,3,而且平行四边形 AB 边
A

D

C

B

x

的边长为 4,所以横坐标为整数最多会出现 4 个,最少会出现 3 个整数, N (t ) 的值域为 {9,11,12},选择 C.
二、填空题 错误!未找到引用源。 【答案】①③.

解: 由题意可知当 c ? 0 时, ? c ? x ? c 恒成立, 若对 ?x ? R , f ( c ) ? x( c? ) 有 x ? f x
x



①若 f ( x) ? 2 , 则由 f ( x ? c) ? f ( x ? c) 得 2 x ?c ? 2 x ?c , x ?c ?x ?c , 即 所以 c ? 0 , 恒 成 立 。 所 以 ① 具 有 性 质 P. ② 若 f ( x)? s i n , 由 f ( x? c ? f( x c 得 x ) ? )

sin( x ? c) ? sin( x ? c) ,整理 cos x sin c ? 0 ,所以不存在常数 c ? 0 ,对 ?x ? R ,有 f ( x ? c) ? f ( x ? c ) 成 立 , 所 以 ② 不 具 有 性 质 P 。 ③ 若 f ( x ) ? x 3 ? x , 则 由 f ( x? c) ? f( x c ( x ? c)3 ? ( x ? c) ? ( x ? c)3 ? ( x ? c) ,整理得 6 x 2 ? c 2 ? 2 , ? 得由 )
所以当只要 c ? 2 , f (x ? ) ?f x ? ) 成立, 则 所以③具有性质 P, 所以具有性质 P c ( c 的函数的序号是①③。
错误!未找到引用源。 【答案】①③

解:①中,令 x ? m ? a, a ? (? , ] ,所以 f (x)=x ? {x} ? a ? (?

1 1 2 2

1 1 , ] 2 2 。所以正确。

② f (2k ? x)=2k ? x ? {2k ? x} ? (? x) ? {? x} ? f (? x) ? ? f (? x) , 所以点 (k , 0) 不是 函 数

f ( x)

的 图 象 的 对 称 中 心 , 所 以 ② 错 误 。 ③

1 f (x ? 1)=x ? 1 ? {x ? 1} ? x ? {x} ? f ( x) , ④令 x ? ? , m ? ?1 , 所以周期为 1, 正确。 2 1 1 1 1 1 1 1 则 f (? ) ? , x ? , m ? 0 , f ( ) ? , 令 则 所以 f (? ) ? f ( ) , 所以函数 y =f (x ) 2 2 2 2 2 2 2 1 3 在 ( ? , ] 上是增函数错误。,所以正确的为①③ 2 2
错误!未找到引用源。 4 , 2n 错误!未找到引用源。答案③

① 若 f ( x) ? x ? 2 x , 则 由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 得
2

x12 ? 2 x1 ? x2 2 ? 2 x2 , 即 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ? 2) ? 0 , 解得 x1 ? x2, 或 x1 ? x2 ? 2 ? 0 , 所
以 ① 不是 单 函数 .②若 f ? x ? ? ?

?log 2 x, x ? 2, 则 由 函 数图 象 可知 当 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , ?2 ? x , x ? 2

时, x1 ? x2 ,所以②不是单函数.③根据单函数的定义可知,③正确.④在在定义域内某

个区间 D 上具有单调性,单在整个定义域上不一定单调,所以④不一定正确,比如②函 数.所以真命题为③.
错误!未找到引用源。

2 2 ( , ) 5 3

错误!未找到引用源。 【答案】 ?1













f ( x) ? g ( x) ? x 2 ? 2 ? ( ? x) ? x 2 ? x ? 2

, 所



x 2 ? 2 ? (? x) ? x 2 ? x ? 2 ? 0 时 , 解 得 x ? 1 或 x ? ?2 。 当 ?2 ? x ? 1 时 ,

? ? x, ?2 ? x ? 1, , x2 ? x ? 2 ? 0 ,即 f ( x) ? g ( x) ,所以 max ? f ? x ? , g ? x ? ? ? ? 2 ? x ? 2, x ? 1或x ? ?2
做 出 图 象 , 由 图 象 可 知 函 数 的 最 小 值 在 A 处 , 所 以 最 小 值 为 f (1) ? ?1 。

错误!未找到引用源。 ①②【解析】若 f ( x) ?

2 2 2 ,所以 f ( x ? 1) ? ? 为奇函 x ?1 ? 1 x x ?1 ?x 1 2 4 1 数 . f( )? , 则 ? ? 成 立 , 所 以 ① 满 足 条 件 . 若 f ( x) ? cos 1 2 2 ?1 3 2 2
f ( x ? 1) ? cos

?
2

( x ? 1) ? sin

?

1 ? 2 ? 1 ,所以②成立.若 x 为奇函数. f ( ) ? cos ? 2 4 2 2

f ( x) ? 2 x ? 1 ,则 f ( x ? 1) ? 2 x ?1 ? 1 不是奇函数,所以③不满足条件,所以使 p, q 都成立
的是①②.
错误!未找到引用源。 4

,

? ? 1 ;解:简单画出图象

不难看出 f(x)的最小正周期是 4,其实正方形 PABC 的周长为 4,而“正方形 PABC 沿 x 轴 滚动”一周,其长度正好是 4,

y ? f ( x) 在其两个相邻零点间的图像与 x 轴所围区域的面积是由两块半径为 1 的

1 圆 4

1 圆面积,再加上两块直角边为 1 的等腰直角三角形, 4 ? 1 1 以总面积是 2× + (2π )+2×( )=1+π . 4 4 2
面积加上一块半径为 2 的
三、解答题 错误!未找到引用源。解:(I)作 PQ ? AF 于 Q ,所以 PQ ? 8 ? y , EQ ? x ? 4

EQ EF ? PQ FD 在 ?EDF 中, x?4 4 ? 8? y 2 所以

1 y ? ? x ? 10 {x | 4 ? x ? 8} 2 所以 ,定义域为
(II) 设矩形 BNPM 的面积为 S ,则

x 1 S ( x) ? xy ? x(10 ? ) ? ? ( x ? 10)2 ? 50 2 2
所以

S ( x ) 是关于 x 的二次函数,且其开口向下,对称轴为 x ? 10 x ? (4,8) , S ( x ) 单调递增

所以当

所以当 x ? 8 米时,矩形 BNPM 面积取得最大值 48 平方米
错误!未找到引用源。
2 ( Ⅰ ) 当 a ? 2, b ? 1 时 , f ( x) ? 2 x ? 2 x ? 1 , 解

2x2 ? 2x ? 1 ? x
得 x ? ?1, x ?

?2 分

1 2 1 2
??3 分

所以函数 f ( x) 的不动点为 x ? ?1, x ?

(Ⅱ)因为 对于任意实数 b ,函数 f (x) 恒有两个不同的不动点,

所以 对于任意实数 b ,方程 f ( x) ? x 恒有两个不相等的实数根, 即方程 ax ? (b ? 1) x ? b ? 2 ? x 恒有两个不相等的实数根,
2

???4 分 ???5 分

所以 即 所以 解得

? x ? b 2 ? 4a (b ? 2) ? 0
对于任意实数 b , b 2 ? 4ab ? 8a ? 0

? b ? (?4a) 2 ? 4 ? 8a ? 0
0?a?2

????????7 分 ???????8 分

(Ⅲ)设函数 f ( x) 的两个不同的不动点为 x1 , x2 ,则 A( x1 , x1 ), B ( x2,x2 ) 且 x1 , x2 是 ax ? bx ? b ? 2 ? 0 的两个不等实根, 所以 x1 ? x2 ? ?
2

b a

直线 AB 的斜率为 1,线段 AB 中点坐标为 (?

b b ,? ) 2a 2a

因为 直线 y ? kx ?

1 是线段 AB 的垂直平分线, a ?1
2

所以 k ? ?1 ,且 (?

b b 1 , ? ) 在直线 y ? kx ? 2 上 2a 2a a ?1



?

b b 1 ? ? 2 2a 2a a ? 1

a ? (0, 2)

????????10 分

所以 b ? ?

a 1 1 1 ?? ?? ?? 1 a ?1 2 1 a? 2 a? a a
2

当且仅当 a ? 1 ? (0, 2) 时等号成立

???????12 分 又 b?0 所以 实数 b 的取值范围 [?

1 , 0) . 2

????13 分


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