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高一数学向量、向量的加法与减法人教版知识精讲.doc

高一数学向量、向量的加法与减法人教版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容: 向量、向量的加法与减法 二. 重点、难点: 1. 向量的概念。 2. 向量的加法与减法的定义。 3. 会用加法与减法的平行四边形法则和三角形法则作出向量的和与差。

【典型例题】
[例 1] 以下命题中真命题的个数是( (1) a ? a ? 0 (2) 0 ? a ? 0 (3) 0 ? a ? ?a (4)向量 a 与向量 b 平行,则 a 、 b 的方向相同或相反。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解: (1)假命题。因为两向量之差仍为向量,所以应 a ? a ? 0 。 (2)假命题。因为实数与向量的积是向量,所以应有 0 ? a ? 0 。 (3)真命题。 0 ? a ? 0 ? (?a) ? ?a 。 (4)假命题。若 a 与 b 中有一个为 0 ,则它的方向不确定。 综上,应选择 B。 [例 2] 下列命题中假命题的个数是( ) (1)向量 AB 与 CD 是共线向量,则 A、B、C、D 四点共线。 (2)四边形 ABCD 是平行四边形的充要条件是 AB ? DC 。 (3)四边形 ABCD 中, AB ? CD ? BC ? DA 。 (4)若两非零向量, a 与 b 的方向相同或相反,则 a ? b 的方向必与 a 或 b 的方向相 同。 A. 1 解: B. 2 C. 3 D. 4 )

(1)是假命题。共线向量是指平行向量,故 AB 与 CD 平行不一定 A、B、C、D 四点 共线。 (2)真命题。 (3)假命题,由 ABCD 为四边形,则有 AB ? BC ? CD ? DA ? 0 ,故

AB ? CD ? ?(BC ? DA) 。
(4)假命题。当 a ? b ? 0 时, a ? b 的方向不确定。 综上,应选择 C。 [例 3] 已知正方形 ABCD 的边长等于 1, AB ? a, BC ? b, AC ? c ,求作向量 a ? b ? c 和 向量 a ? b ? c 以及 a ? b ? c 。

用心

爱心

专心

E D C b A

a

B

图1 解:如图 1,由于 a ? b ? AB ? BC ? AC 又由 c ? AC ,延长 AC 至点 E,使得 CE=AC,则 a ? b ? c ? AE 又如图 2, a ? b ? AB ? BC ? AB ? AD ? DB

D

C b

F

c A a

a-b B

c

图2 过点 B 作 BF ? AC ,即 BF ? c ,故 (a ? b) ? c ? DB ? BF ? DF 如图 3,作 DG ? AC ,即 DG ? c 。

G c D C

b A

c a
图3

a-b B

而 DB ? AB ? AD ? a ? b ,则 (a ? b) ? c ? DB ? DG ? GB [例 4] 设 P 是 ?ABC 的重心,试证明: PA ? PB ? PC ? 0 。 A

G

P

N

B

M

C

证明:如图设 M、N、P 分别是 ?ABC 边 BC、AC、AB 的中点,由 AM ? AB ? BM ,

AM ? AC ? CM
用心 爱心 专心

则有 2 AM ? AB ? AC ? (BM ? CM ) 又由 M 是 BC 中点,故 BM ? CM ? 0 ,即 AM ? 同理可得 BN ?

1 ( AB ? AC ) 2

1 1 ( BC ? BA) , CG ? (CA ? CB ) 2 2 1 故 AM ? BN ? CG ? [( AB ? AC ) ? ( BC ? BA) ? (CA ? CB )] ? 0 2 又由点 P 是 ?ABC 的重心 2 2 2 则 AP ? AM , BP ? BN , CP ? CG 3 3 3 2 故 AP ? BP ? CP ? ( AM ? BN ? CG ) 3
又由 AM ? BN ? CG ? 0 ,则 AP ? BP ? CP ? 0 故 PA ? PB ? PC ? 0 [例 5] 试比较下列向量模的大小 (1) | a ? b | 与 | a | ? | b | ; (2) | a ? b | 与 | a ? b | 。 解: (1)分情况讨论 ① 当 a 、 b 中至少有一个为 0 时, | a ? b | = | a | ? | b | ; ② 当 a 、 b 均为非零向量时,若 a 与 b 同向,则 | a ? b | = | a | ? | b | 若 a 与 b 异向,则 | a ? b | < | a | ? | b | 若 a 与 b 不共线,则 | a ? b | < | a | ? | b | (2) ① 当 a 与 b 中至少有一个为 0 时,则 | a ? b |?| a ? b | ② 当 a 与 b 均为非零向量时,根据向量加减法的平行四边形法则可知, | a ? b | 与

| a ? b | 是以 | a | 、| b | 为边的平行四边形的两条对角线的长,如图分三种情况讨论,设 a 与
b 的夹角为 ? 。
D a+b b a-b A a B
A a-b a B

C

D a+b

C

D a+b
b

C

a-b A B

图1

图2

图3

若 0? ? ? ? 90 ? ,如图 1,则有 | a ? b |?| a ? b | 若 ? ? 90? ,如图 2,则有 | a ? b |?| a ? b | 若 90? ? ? ? 180 ? ,如图 3,则有 | a ? b |?| a ? b | [例 6] 设点 G 为四边形 ABCD 对角线的中点连线 MN 的中点,点 P 为该平面内任意一点,证 明 4PG ? PA ? PB ? PC ? PD 。

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D C M G N

A P

B

证明:如图所示,设四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 中点分别为 M、N 由 PM 为 ?APC 的中线,故

1 ( PA ? PC ) 2 1 同理可知 PN ? ( PB ? PD ) 2 PM ?
又由 G 为 MN 中点,则有 PG ?

1 ( PM ? PN ) 2

?

1 ( PA ? PB ? PC ? PD ) 4

即 4PG ? PA ? PB ? PC ? PD 特别地,当 P 与 G 重合时可以得到

GA ? GB ? GC ? GD ? 0
【模拟试题】
一. 选择题: 1. 下列命题中正确的个数为( )

(1)若向量 a 与 b 共线, b 与 c 共线,则向量 a 与 c 共线 (2)共线的单位向量都相等 (3)向量 a 与 b 反向, | a |?| b | ,则向量 a ? b 与 a 的方向相同 (4)向量 a 与 b 不共线,则 a 、 b 均为非零向量 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 2. 平行四边形 ABCD 中, BC ? CD ? AD 等于( A. BD A. 平行 B. AB B. 垂直 C. AC D. BA ) D. 相等 )

3. 非零向量 a 、 b 不共线,且 | a |?| b | ,则向量 a + b 与 a - b 的关系是( C. 相交但不垂直

4. 已知 ?ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P,若 PA ? PB ? PC ? AB ,则点 P 与 ?ABC 的位置关系是( ) A. P 在 ?ABC 内部 B. P 在 ?ABC 外部 C. P 在 AB 边上或它的延长线上 D. P 在 AC 边上且为 AC 的一个三等分点 二. 填空题

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5. 已知 AD、 BE 分别是 ?ABC 的边 BC、 AC 上的中线, 且 AD ? a, BE ? b , 则 BC ? 为 AB、CD 的中点,则 EF ? 三. 证明题: 7. 任意四边形 ABCD 的边 AD、BC 的中点分别为 E、F,求证: EF ?



6. 点 P 为四边形 ABCD 内部一点, PA ? a, PB ? b , PC ? c , PD ? d ,点 E、F 分别 。

1 ( AB ? DC ) 。 2

8. 用向量方法证明:四边形为平行四边形的充要条件是它的两条对角线互相平分。

用心

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专心

试题答案
一. 1. B(析:(1)与(4)正确) 二. 5. 2. D 3. B 4. D

2 4 a? b 3 3

6.

1 (c ? d ? a ? b ) 2

三. 7. 证法一:如图 EF ? FB ? BA ? AE ? 0 ,则 EF ? BF ? AB ? EA 同理,由 EF ? FC ? CD ? DE ? 0 ,则

EF ? CF ? DC ? ED 故 2EF ? BF ? CF ? AB ? DC ? EA ? ED
由 E、F 分别为 AD、BC 中点,则

BF ? CF ? 0 , EA ? ED ? 0 1 故 EF ? ( AB ? DC ) 2
D C F E

A

B

证法二:如图,在平面内取点 O,作 OE 、 OF ,则有

OE ?

1 1 (OA ? OD ), OF ? (OB ? OC ) 2 2
1 1 (OB ? OC ? OA ? OD ) ? ( AB ? DC ) 2 2
C D F E

又由 EF ? OF ? OE

EF ?

A

B

O
证法三:如图,作 CG ? AB ,则四边形 ABGC 为平行四边形,故对角线 AG 过 BC 中点

用心

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F,则 EF 为 ?ADG 的中位线,故 EF ?

1 DG ,又由 DG ? DC ? CG ? DC ? AB ,所以 2

EF ?

1 ( AB ? DC ) 2
C D F E G

A

B

8. 证明:先证充分性,若四边形对角线互相平分,如图 AO ? OC, DO ? OB 则有 AB ? AO ? OB , DC ? DO ? OC ? OB ? AO 故 AB ? DC ,则四边形 ABCD 为平行四边形 再证必要性,设 AC 中点为 O1,BD 中点 O2,在平行四边形 ABCD 中

AC ? AB ? BC, BD ? BC ? AB 1 1 1 1 故 AO1 ? AC ? ( AB ? BC ) , BO 2 ? BD ? ( BC ? AB ) 2 2 2 2 1 1 则 O1 A ? ? ( AB ? BC ) , O2 B ? ( AB ? BC ) 2 2
D O A B C

由于 O1 A ? O2 B ? ? AB ,因此有 O1 A ? AB ? O2 B 又由加法法则, O1 A ? AB ? O1 B ,故 O1 B ? O2 B 故 O1 与 O2 重合

用心

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