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2018届高三数学一轮复习:课时作业5 Word版


课时作业 5

函数的单调性与最值

一、选择题 1.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A.y=ln(x+2)
?1? C.y=?2?x ? ?

)

B.y=- x+1 1 D.y=x+x

解析:函数 y=ln(x+2)在区间(0,+∞)上为增函数;函数 y=-
?1? x+1在区间(0,+∞)上为减函数;函数 y=?2?x 在区间(0,+∞)上 ? ?

1 为减函数;函数 y=x+x在区间(0,1)上为减函数,在区间[1,+∞)上 为增函数. 答案:A 2.函数 f(x)=|x-2|x 的单调减区间是( A.[1,2] C.[0,2] )

B.[-1,0] D.[2,+∞)

2 ? ?x -2x,x≥2, 解析:由于 f(x)=|x-2|x=? 2 结合图象可知函数 ?-x +2x,x<2. ?

的单调减区间是[1,2]. 答案:A 3.已知函数 y=log2(ax-1)在(1,2)上单调递增,则实数 a 的取值 范围是( ) B.[1,2] D.[2,+∞)

A.(0,1] C.[1,+∞)

解析: 要使 y=log2(ax-1)在(1,2)上单调递增, 则 a>0 且 a-1≥0, ∴a≥1. 答案:C 4.若函数 f(x)=x2-2x+m 在[3,+∞)上的最小值为 1,则实数 m 的值为( A.-3 C.-1 ) B.-2 D.1

解析: ∵f(x)=(x-1)2+m-1 在[3, +∞)上为单调增函数, 且 f (x ) 在[3,+∞)上的最小值为 1. ∴f(3)=1,即 22+m-1=1,m=-2. 答案:B
? ?log2x,x≥1, 5.已知函数 f(x)=? 则“c=-1”是“函数 f(x) ?x+c,x<1, ?

在 R 上递增”的(

)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:若函数 f(x)在 R 上递增,则需 log21≥c+1,即 c≤-1.由 于 c=-1?c≤-1,但 c≤-1?/ c=-1,所以“c=-1”是“f(x) 在 R 上递增”的充分不必要条件. 答案:A 6.(2017· 江西三校第一次联考)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足: f?x1?-f?x2? 对任意的 x1,x2∈(-∞,0)(x1≠x2),都有 <0.则下列结论正 x1-x2 确的是( )

A.f(0.32)<f(20.3)<f(log25) B.f(log25)<f(20.3)<f(0.32) C.f(log25)<f(0.32)<f(20.3) D.f(0.32)<f(log25)<f(20.3) f?x1?-f?x2? 解析: ∵对任意 x1, x2∈(-∞, 0), 且 x1≠x2, 都有 <0, x1-x2 ∴f(x)在(-∞,0)上是减函数,又∵f(x)是 R 上的偶函数,∴f(x)在(0, +∞)上是增函数,∵0<0.32<20.3<log25,∴f(0.32)<f(20.3)<f(log25).故 选 A. 答案:A 二、填空题 7 . 已 知 函 数 f(x) = x2-2x-3 , 则 该 函 数 的 单 调 增 区 间 为 ________. 解析:设 t=x2-2x-3,由 t≥0,即 x2-2x-3≥0,解得 x≤-1 或 x≥3.所以函数的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞). 因为函数 t=x2-2x-3 的图象的对称轴为 x=1,所以函数在(- ∞,-1]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增,又因为 y= t在[0, +∞)上单调递增. 所以函数 f(x)的增区间为[3,+∞). 答案:[3,+∞) 1 1 8.函数 f(x)= 在区间[a,b]上的最大值是 1,最小值是3,则 x-1 a+b=________. 解析:易知 f(x)在[a,b]上为减函数,

∴? 1 f ? b ? = ? 3,

?f?a?=1,

?a-1=1, 即? 1 1 =3, ?b-1

1

? ?a=2, ∴? ∴a+b=6. ?b=4 ?

答案:6 2x+k 9.函数 y= 与 y=log3(x-2)在(3,+∞)上具有相同的单调 x -2 性,则实数 k 的取值范围是________. 解析:由于 y=log3(x-2)的定义域为(2,+∞),且为增函数,故 2x+k 2?x-2?+4+k 4+k 函数 y= = =2+ 在(3,+∞)上也是增函数, x-2 x-2 x-2 则有 4+k<0,得 k<-4. 答案:(-∞,-4) 三、解答题 10. 已知函数 f(x)=- 2 , x∈[0,2], 用定义证明函数的单调性, x+1

并求函数的最大值和最小值. 解:设 x1,x2 是区间[0,2]上的任意两个实数,且 x1<x2,则 f(x1)
? 2 ? 2 -f(x2)=- -?-x +1? x1+1 ? 2 ?

2?x2+1-x1-1? 2?x2-x1? =- =- . ?x1+1??x2+1? ?x1+1??x2+1? 由 0≤x1<x2≤2, 得 x2-x1>0,(x1+1)(x2+1)>0, 所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), 故 f(x)在区间[0,2]上是增函数.

因此,函数 f(x)=-

2 在区间[0,2]的左端点取得最小值,右端 x+1

2 点取得最大值,即最小值是 f(0)=-2,最大值是 f(2)=-3. x 11.已知 f(x)= (x≠a). x-a (1)若 a=-2,试证明 f(x)在(-∞,-2)内单调递增; (2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)上单调递减,求 a 的取值范围. 解:(1)证明:任设 x1<x2<-2, x1 x2 则 f(x1)-f(x2)= - x1+2 x2+2 = 2?x1-x2? . ?x1+2??x2+2?

∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0, ∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(-∞,-2)上单调递增. (2)任设 1<x1<x2,则 x1 x2 f(x1)-f(x2)= - x1-a x2-a = a?x2-x1? . ?x1-a??x2-a?

∵a>0, x2- x1>0,∴要使 f(x1)-f(x2)>0,只需 (x1-a)(x2-a)>0 在(1,+∞)上恒成立,∴a≤1.综上所述,a 的取值范围是(0,1].

1.(2017· 重庆模拟)已知 f(x)是偶函数,它在[0,+∞)上是减函 数,若 f(lgx)>f(1),则实数 x 的取值范围是( )

?1 ? A.?10,1? ? ? ? ?1 ? C.?10,10? ?

1? ? B.?0,10?∪(1,+∞)
? ?

D.(0,1)∪(10,+∞)

解析:因为 f(x)是偶函数,它在[0,+∞)上是减函数,所以 f(x) 在(-∞,0)上单调递增, 由 f(lgx)>f(1),f(1)=f(-1). 1 得-1<lgx<1,所以10<x<10. 答案:C 2.已知函数 f(x)=2x-1,g(x)=1-x2,构造函数 F(x)的定义如 下:当|f(x)|≥g(x)时,F(x)=|f(x)|,当|f(x)|<g(x)时,F(x)=-g(x),则 F(x)( ) B.有最小值-1,无最大值 D.无最大值,也无最小值

A.有最小值 0,无最大值 C.有最大值 1,无最小值

解析:F(x)的图象如图所示,由图可知 F(x)有最小值-1,无最 大值.故选 B.

答案:B 1 3. 如果函数 f(x)对任意的实数 x, 都有 f(1+x)=f(-x), 且当 x≥2 时,f(x)=log2(3x-1),那么函数 f(x)在[-2,0]上的最大值与最小值之

和为________. 1 解析: 根据 f(1+x)=f(-x), 可知函数 f(x)的图象关于直线 x=2对 称.
?1 ? 又函数 f(x)在?2,+∞?上单调递增, ? ?

1? ? 故 f(x)在?-∞,2?上单调递减,
? ?

则函数 f(x)在[-2,0]上的最大值与最小值之和为 f(-2)+f(0)=f(1 +2)+f(1+0)=f(3)+f(1)=log28+log22=4. 答案:4 4.(2016· 天津卷)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间(- ∞,0)上单调递增.若实数 a 满足 f(2|a-1|)>f(- 2),则 a 的取值范围 是________. 解析:因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单 调递增,所以 f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,又 f(2|a-1|)>f(- 2), 1 1 3 f(- 2)=f( 2),故- 2<2|a-1|< 2,则|a-1|<2,所以2<a<2. 1 3 答案:2<a<2
?x1? 5. 已知定义在区间(0, +∞)上的函数 f(x)满足 f?x ?=f(x1)-f(x2), ? 2?

且当 x>1 时,f(x)<0. (1)求 f(1)的值; (2)证明:f(x)为单调递减函数; (3)若 f(3)=-1,求 f(x)在[2,9]上的最小值. 解:(1)令 x1=x2>0, 代入得 f(1)=f(x1)-f(x2)=0.

故 f(1)=0. x1 (2)证明:任取 x1,x2∈(0,+∞),且 x1>x2,则x >1,由于当 x>1
2

时,f(x)<0.
?x1? 所以 f?x ?<0,即 f(x1)-f(x2)<0. ? 2?

因此 f(x1)<f(x2). 所以函数 f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数. (3)∵f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数.∴f(x)在[2,9]上的最小值 为 f(9).
?x1? 由 f?x ?=f(x1)-f(x2)得, ? 2? ?9? f?3?=f(9)-f(3). ? ?

而 f(3)=-1,所以 f(9)=-2. ∴f(x)在[2,9]上的最小值为-2.

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