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高中数学第一章计数原理11分类加法计数原理和分步乘法计数原理第4课时教案新人教A版选修23

1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第四课时 教学目标 知识与技能 复习分类加法计数原理和分步乘法计数原理、总结题型. 过程与方法 通过对简单实例的解决,复习分类加法计数原理和分步乘法计数原理和应用方法. 情感、态度与价值观 引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式, 培养学生的抽象概括能 力和分类讨论能力. 重点难点 教学重点:复习分类加法计数原理和分步乘法计数原理、总结题型. 教学难点:复习分类加法计数原理和分步乘法计数原理、解决实际问题. 教学过程 复习回顾 提出问题:回顾本单元前三课时的学习过程,总结学习的内容和方法. 活动设计:学生自己总结,小组交流,举手发言,同学补充. 活动成果:1.分类加法计数原理:完成一件事,有 n 类不同的方案,在第 1 类方案中有 m1 种不同的方法,在第 2 类方案中有 m2 种不同的方法,…,在第 n 类方案中有 mn 种不同的 方法,那么完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn 种不同的方法. 2.分步乘法计数原理:完成一件事,需要 n 个不同的步骤,做第 1 步有 m1 种不同的方 法,做第 2 步有 m2 种不同的方法,…,做第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N =m1×m2×…×mn 种不同的方法. 3.分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别与联系: (1)相同点:都是回答有关完成一件事的不同方法种数的问题; (2)不同点:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,完成一件事要分为若干类,各 类的方法相互独立, 各类中的各种方法也相对独立, 用任何一类中的任何一种方法都可以单 独完成这件事,是独立完成;而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,完成一件事要分 为若干步,各个步骤相互依存,只完成任何其中的一步都不能完成该件事,只有当各个步骤 都完成后,才算完成这件事,是合作完成. 设计意图:培养学生的概括能力,检查学生的学习情况. 典型例题 类型一:分类加法计数原理问题 例 1 已知两条异面直线 a, b 上分别有 5 个点和 8 个点, 则经过这 13 个点可以确定几个 不同的平面? 思路分析:分两类:第一类,直线 a 与直线 b 上的 8 个点中每一个点确定一个平面,有 8 个不同的平面;第二类,直线 b 与直线 a 上的 5 个点中每一个点确定一个平面,有 5 个不 同的平面.根据分类加法计数原理,共有 8+5=13 个不同的平面. 点评:分类问题要找好分类依据. 【巩固练习】 如图,以五边形的顶点为顶点的不同的三角形共有多少个? 1 解:所有不同的三角形分为两类.第一类:其中有两条边是原五边形的边,这样的三角 形有 5 个;第二类:其中有且只有一条边是原五边形的边,这样的三角形有 5 个.根据分类 加法计数原理,共有 5+5=10 个不同的三角形. 【变练演编】 三边长均为整数,且最大边长为 11 的三角形个数是多少? 解:设较小的两边长为 x,y,且 x≤y, * 则 x≤y≤11,x+y>11,x,y∈N . 当 x=1 时,y=11; 当 x=2 时,y=10,11; 当 x=3 时,y=9,10,11; 当 x=4 时,y=8,9,10,11; 当 x=5 时,y=7,8,9,10,11; 当 x=6 时,y=6,7,8,9,10,11; 当 x=7 时,y=7,8,9,10,11; 当 x=8 时,y=8,9,10,11; 当 x=9 时,y=9,10,11; 当 x=10 时,y=10,11; 当 x=11 时,y=11. 所以不同三角形的个数为 1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36. 类型二:分步乘法计数原理 例 2 已知 x∈{2,3,7},y∈{-31,-24,4},则 x·y 可表示不同的值的个数为______. 思路分析:可分成两步完成:第一步,x 在集合{2,3,7}中任取一个值,有 3 种方法; 第二步,y 在集合{-31,-24,4}中任取一个值,有 3 种方法.根据分步乘法计数原理得, 有 3×3=9 种不同的值. 【巩固练习】 从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取 3 个元素分别作为直线方程 Ax+By+C=0 中的 A,B, C,所得经过坐标原点的直线有________条. 解:因为过原点的直线常数项为 0,所以 C=0,从集合中的 6 个非零元素中任取一个作 为系数 A,有 6 种方法,再从其余的 5 个元素中任取一个作为系数 B,有 5 种方法,由分步 乘法计数原理得,适合条件的直线共有 1×6×5=30 条. 【变练演编】 A={-1,0,1}, B={2,3,4,5,7}, 若 f 表示从集合 A 到集合 B 的映射, 那么满足 x+f(x) +xf(x)为奇数的映射有________个. 解:x+f(x)+xf(x)=x+(x+1)f(x)为奇数,当 x 为奇数时,x+1 为偶数,f(x)有 5 种可能; 若 x 为偶数, x+1 为奇数, f(x)必为奇数, 有 3 种可能. 故满足条件的映射为 5×3×5 =75 个. 2 类型三:排数字问题 例 3 由数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的六位数, 其中个位数字小于十位数字的共 有( ) A.210 种 B.300 种 C.464 种 D.600 种 思路分析:分 5 类. 第一类:个位数字为 0 时,分 5 步排前 5 位数字,共有 5×4×3×2×1=120 种排法; 第二类:个位数字为 1 时,先排 0,只能排在百、千、万位,有 3 种排法,其余 4 个数 字排在 4 个位置上,分 4 步,共有 3×4×3×2×1=72 种排法; 第三类:个位数字为 2 时,先排 0,只能排在百、千、万位,有 3 种排法,再排十位数 字, 有 3 种排法, 其余 3 个数字排在 3 个位置上, 分 3 步, 共有 3×3×3×2×1=54 种排法; 第四类:个位数字为 3 时,先排 0

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