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北京市101中学2011-2012学年高一上学期期中考试数学试题


北京一零一中 2010—2011 学年度第一学期期中考试 高一数学
命题:高一数学备课组 一、选择题: 1、设全集 U ? ?1, 2,3, 4,5, 6, 7? ,P ? ?1, 2,3, 4,5? ,Q ? ?3, 4,5, 6, 7? ,则 P ? CU Q =( A ) A. ?1, 2? B. ?3, 4, 5? C. ?1, 2,6,7? D. ?1, 2,3, 4,5 ? ( B )
x

审核:张燕菱

2、下列各组函数中,表示同一个函数的是 A. y ? C. y ?

x2 ? 1 与 y ? x ?1 x ?1
x2 ? 1 与 y ? x ?1

B. y ? x 与 y ? log a a D. y ? lg x 与 y ?

? a ? 0, a ? 1?

1 lg x 2 2
( D )

3、在给定映射 f : ?x, y ? ? ?xy, x ? y ? 下, ?4,?2? 的象是 A. ?2,?1? B. ?? 2,?1?
3 2

C. ?? 8,?2?

D. ?? 8,2?

4、若函数 f ? x ? ? x ? x ? 2 x ? 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数 据如下表:

f ?1? ? ?2

f ?1.5? ? 0.625

f ?1.25 ? ? ?0.984
[来源:学&科&网]

f ?1.375 ? ? ?0.260
f ?1.4065 ? ? ?0.052

f ?1.438 ? ? 0.165

那么方程 x ? x ? 2 x ? 2 ? 0 的一个近似根(精确到 0.1)为
3 2

( C )

A. 1.2

B. 1.3

C. 1.4

D. 1.5 ( D )

5、函数 y ? log (2 x ?1) A. ?

3 x ? 2 的定义域是
B. ? ,1? ? (1, ??)

?2 ? , ?? ? ?3 ?

?1 ? ?2 ?

C. ?

?1 ? , ?? ? ?2 ?

D. ? ,1? ? (1, ??)

?2 ? ?3 ?

6、已知 f ? x ? ? ?

? x ? 1, ? x ? 1? ? ,那么 ?? x ? 3, ? x ? 1? ?
B.

? f ?f ?

? 1 ?? ? ? ? 的值是 ? 2 ??
D. ?



B )

A.

5 2

3 2

C.

9 2

1 2

7、函数 f ( x) ? e ( e 为自然对数的底数)对任意实数 x 、 y ,都有
x

( A )

A. f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) C. f ( xy) ? f ( x) f ( y)

B. f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) D. f ( xy) ? f ( x) ? f ( y)

8、设偶函数 f ? x ? ? log a x ? b 在 ? ??, 0 ? 上是递增函数,则 f ? a ? 1? 与 f ? b ? 2 ? 的大小 关系是 A . f ? a ? 1? ? f ? b ? 2 ? 二、填空题: 9、已知集合 A= {x || x ? 2 |? 3}, B ? {x | x ? a}, 且 A ? B ? A ,则实数 a 的取值范围是 B. f ? a ? 1? ? f ? b ? 2 ? C. f ? a ? 1? ? f ? b ? 2 ? ( C ) D.不确定

{a | a ? 5}
10、求函数 y ? ? x ? 2 x ? 1 , x ? ? ?3, 2 ? 的值域
2

? ?7, 2 ?
x?4
19

11、已知 2

2 x ?7

? 2 x ?3 ,
log 2 3

则 x 的取值范 围为

12、求值, 27 3 ? 2

2

1 ? log 2 ? 2lg( 3 ? 5 ? 3 ? 5 ) ? 8

9 ? 3 ? (?3) ? lg( 3 ? 5 ? 3 ? 5 ) 2 ? 18 ? lg10 ? 19
2 m 13、函数 f ( x) ? (m ? m ? 1) x
2

? 2 m ?3

是幂函数,且在 x ? (0, ??) 上是减函数,

则实数 m ?

2
x x ?1

?m2 ? m ? 1 ? 1 ? ,得 m ? 2 ? 2 ? m ? 2m ? 3 ? 0 ?
( ?1 ? x ? 2 )的最小值为 g ( a ) ,则 g (2) =_____ ? 4 _______,

14、函数 f ( x) ? 4 ? a ? 2

? 1 ? 4 ?a ? ? g (a ) =______ ? ? a 2 ? ?16 ? 8a ? ?

a?

1 2
[来源:学科网]

1 ? a ? 4 ____________. 2 a?4

三、解答题: 15、 分 )已知集合 A ? x 3 ? x ? 7 , B ? x 2 ? x ? 10 , C ? x x ? a ,全集为实数集 R. (7 (1)求 A? B ; (2)求 ?C R A? ? B ; (3)如果 A? C ? ? ,求 a 的取值范围。 解:(1)∵A= x 3 ? x ? 7 ,B={x|2<x<10},∴A∪B={x|2<x<10};……………………2 分

?

?

?

?

?

?

? ? (2) ∵A= ?x 3 ? x ? 7? ,∴CRA={x| x<3 或 x≥7} ∴(CRA)∩B={x| x<3 或 x≥7}∩ ?x 2 ? x ? 10?={x|2<x<3 或 7≤x<10}
(3)如图,

…………4 分

a 7 x 3 ∴当 a>3 时,A∩C≠φ…………………………………………………………7 分

2 2 16、 分)设集合 A ? a, a , b ? 1 , B ? 0, a , b ,且 A ? B . (8

?

?

?

?

(1)求 a, b 的值; (2)求函数 f ?x ? ? ?bx ?

a 的单调递增区间,并证明. x

解: (1) a ? ?1 , b ? ?1 ; …………………4 分 (2) ?? ?,?1? , ?1,?? ? ……………………5 分

证明略 …………………………………8 分 17、 分)设 f ? x ? 为定义在 R 上的偶函数,当 0 ? x ? 2 (8 时, y ? x ;当 x ? 2 时, y ? f ? x ? 的图像时顶点在 P(3, 4) ,且过点 A(2,2)的抛物线的一部分 (1)求函数 f ? x ? 在 (??,?2) 上的解析式; (2)在右面的直角坐标系中直接画出函数 f ? x ? 的图像; (3)写出函数 f ? x ? 值域。 解: (1)当 x ? (??,?2) 时解析式为 f ( x) ? ?2( x ? 3) ? 4 ……………………2 分
2

(2)图像如右图所示。…………………………………………………………6 分 (3)值域为: y ? ?? ?,4? ………………………………………………………8 分 o

18、(7 分)要在墙上开一个上部为半圆,下部为矩形的窗户 (如图所示) ,在窗框总长度为 l 的条件下, (1)请写 出窗户的面积 S 与圆的直径 x 的函数关系; (2)要使窗户透光面积最大,窗户应具有怎样的尺寸?并写出 最大值. 解 (1)设半圆的直径为 x,矩形的高度为 y, 窗户透光面积为 S, 则 窗框总长l =

?x +x+2y, 2

2l ? (2 + ?)x 4 ? 2 ? 2l ? (2 + ?)x S = x +xy = x 2 + ·x 8 8 4 4?? 2l 2 l2 =- (x ? ) ? 8 4?? 2( 4 ? ? ) ∴y =

?S ? ?

4 ?? 2 l x ? x 8 2

(0 ? x ?
2

2l ) …………………………4 分 ? ?2

4?? ? 2? S ? ? 8

2l ? l2 ? x? ? ? ? 4 ? ? ? 2?4 ? ? ? ?

2l l2 时,S max = , 4+? 2( 4 ? ? ) ………………………………7 分 l x 此时,y = ? 4+? 2 当x =

答 窗户中的矩形高为

l ,且半径等于矩形的高时,窗户的透光 面积最大. 4??

19、10 分) ( 设函数 f ? x ? 的定义域是 ?0,??? , 且对任意的正实数 x, y 都有 f ?xy ? ? f ?x ? ? f ? y ? 恒成立. 已知 f ?2? ? 1 ,且 x ? 1 时, f ?x ? ? 0 . (1)求 f ? ? 的值;

?1? ?2?

[来源:学科网 ZXXK]

(2)判断 y ? f ?x ? 在 ?0,??? 上的单调性,并给出你的证明; (3)解不等式 f x

? ? ? f ?8x ? 6? ? 1 .
2

解:(1)令 x=y=1, 则可得 f(1)=0, 再令 x=2, y=

1 1 1 , 得 f(1)=f(2)+f( ), 故 f( )= ?1………2 分 2 2 2

(2)设 0<x1<x2, 则 f(x1) +f( ∵

x2 x )=f(x2) 即 f(x2) ?f(x1)=f( 2 ), x1 x1

x2 x >1, 故 f( 2 )>0, 即 f(x2)>f(x1) 故 f(x)在(0, +∞)上为增函数……………………6 分 x1 x1

(3)由 f(x2)>f(8x?6) ?1 得 f(x2)>f(8x?6) +f(

1 1 )=f [ (8x?6)], 2 2 3 故得 x2>4x?3 且 8x?6>0, 解得解集为{x| <x<1 或 x>3}………………………10 分 4
2

20、 (10 分)设 f ( x) ? 3ax ? 2bx ? c ,若 a ? b ? c ? 0 , f (0) ? 0 , f (1) ? 0 . (1)求证:方程 f ( x) ? 0 在区间(0,1)内有两个不等的实数根; (2)若 a, b, c 都为正整数,求 a ? b ? c 的最小值。 【证明 】 (1) f (0) ? c ? 0 ①, f (1) ? 3a ? 2b ? c ? 0 ②, a ? b ? c ? 0 ③, 由①③得: a ? b ? 0 ? a ? b ④,由②③得: 2a ? b ? 0 ? 2a ? b ⑤, 由④⑤得: 2a ? b ? a ⑥,∵ b ? a ? c 代入②得: a ? c ∴ a ? 0

b ? 2 …………………………………………………………………2 分 a b 1 2 ∵对称轴 x ? …………………………3 分 ? ( , ) ,又 f (0) ? 0, f (1) ? 0 3a 3 3
∴由⑤得: 1 ? 且 ? ? 4b ? 12ac ? 4(a ? c) ? 12ac ? (2a ? c) ? 3c ? 0 ………………………4 分
2 2 2 2

∴方程 f ( x) ? 0 在 (0,1) 内有两个不等实根.…………………………………………5 分 (2)若 a, b, c 都为正整数, f (0) 、 f (1) 都是正整数, 设 f ( x) ? 3a( x ? x1 )( x ? x2 ) , 其中 x1 , x2 是 f ( x) ? 0 的两根,则 x1 , x2 ? (0,1) ,且 x1 ? x2 ∵ 1 ? f (0) f (1) ? 9a x1 (1 ? x1 ) x2 (1 ? x2 ) ?
2
2

9a 2 16

∴ 9a ? 16, a 为正整数,∴ a ? 2, ∴ a ? b ? c ? 2 ? (2 ? c) ? c ? 4 ? 2c ? 6 …………8 分

b b ? ? (1, 2) 得: b ? (2, 4) a 2 ∵ b 为正整数,∴ b ? 3 , c ? b ? a ? 1
若取 a ? 2 ,则
2 f ( x)? 6 x ? 6 x? 1? 的两根都在区间 (0,1) 内, 0
[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

∴ a ? b ? c 的最小值为 6。……………………………………………………………10 分


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