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2017_2018版高中数学第二章函数3函数的单调性(一)课件北师大版必修1_图文

第二章 函数 §3 函数的单调性(一) 学习目标 1.理解函数单调区间、单调性等概念. 2.会划分函数的单调区间,判断单调性. 3.会用定义证明函数的单调性. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 函数的单调性 思考 画出函数f(x)=x、f(x)=x2的图像,并指出f(x) =x、f(x) =x2的图 像的升降情况如何? 答案 两函数的图像如右: 函数f(x)=x的图像由左到右是 上升的;函数 f(x) = x2 的图像 在y轴左侧是下降的,在y轴右 侧是上升的. 答案 梳理 单调性是相对于区间来说的,函数图像在某区间上上升,则函数在该 区间上为增函数.反之则为减函数. 很多时候我们不知道函数图像是什么样的,而且用上升下降来刻画单 调性很粗糙.所以有以下定义: 一般地,在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上,如果对于任意两数 x1,x2∈A,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么,就称函数y=f(x)在区间A 上是 增加的 ,有时也称函数y=f(x)在区间A上是 递增的 . 在函数 y =f(x) 的定义域内的一个区间 A 上,如果对于任意两数 x1 ,x2∈A , 当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么,就称函数y=f(x)在区间A上是 减少的, 有时也称函数y=f(x)在区间A上是 递减的 . 如果函数y=f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的,就称函数y =f(x)在该子集上具有单调性;如果函数y=f(x)在整个定义域内是增加的 或是减少的,我们分别称这个函数是增函数或减函数,统称为单调函数. 知识点二 函数的单调区间 思考 我们已经知道f(x)=x2在(-∞,0]上是减少的,f(x)= (-∞,0)上是减少的,这两个区间能不能交换? 答案 1 在区间 x f(x)=x2的减区间可以写成(-∞,0),而f(x)= 1 的减区间 x 1 (-∞,0)不能写成(-∞,0],因为0不属于f(x)= 的定义域. x 答案 梳理 一般地,有下列常识: (1)函数单调性关注的是整个区间上的性质,单独一点不存在单调性问题, 所以单调区间的端点若属于定义域,则该点处区间可开可闭,若区间端 点不属于定义域则只能开. (2)单调区间D?定义域I. (3)遵循最简原则,单调区间应尽可能大. 题型探究 类型一 例1 求单调区间并判断单调性 如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),根据图像说出函数的单 调区间,以及在每一单调区间上,它是增加的还是减少的? 解 y=f(x)的单调区间有[-5,-2],[-2,1],[1,3],[3,5],其中y=f(x) 在区间[-5,-2],[1,3]上是减少的,在区间[-2,1],[3,5]上是增加的. 解答 反思与感悟 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,单调区间是定义域的 子集;当函数出现两个以上单调区间时,单调区间之间可用“,”分开, 不能用“∪”,可以用“和”来表示;在单调区间D上函数要么是增加 的,要么是减少的,不能二者兼有. 跟踪训练1 写出函数y=|x2-2x-3|的单调区间,并指出单调性. 解 2 ? x ? -2x-3,x<-1或x>3, 先画出 f(x)=? 的图像,如图. 2 ? ?-?x -2x-3?,-1≤x≤3 所以y=|x2-2x-3|的单调区间有(-∞, - 1] , [ - 1,1] , [1,3] , [3 ,+ ∞ ) ,其中 递减区间是 ( - ∞ ,- 1] , [1,3] ;递增区 间是[-1,1],[3,+∞). 解答 类型二 证明单调性 命题角度1 证明具体函数的单调性 例2 证明f(x)= x 在其定义域上是增函数. 证明 反思与感悟 运用定义判断或证明函数的单调性时,应在函数的定义域内给定的区间 上任意取 x1 , x2 且 x1<x2 的条件下,转化为确定 f(x1) 与 f(x2) 的大小,要牢 记五大步骤:取值→作差→变形→定号→小结. 1 跟踪训练2 求证:函数f(x)=x+ 在[1,+∞)上是增函数. x 证明 命题角度2 证明抽象函数的单调性 例3 已知函数f(x)对任意的实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且当x>0 时,f(x)>1.求证:函数f(x)在R上是增函数. 证明 反思与感悟 因为抽象函数不知道解析式,所以不能代入求f(x1)-f(x2),但可以借助 题目提供的函数性质来确定 f(x1)-f(x2)的大小,这时就需要根据解题需 要对抽象函数进行赋值. 跟踪训练3 已知函数f(x)的定义域是R,对于任意实数m,n,恒有f(m+n) =f(m)· f(n),且当x>0时,0<f(x)<1.求证:f(x)在R上是减函数. 证明 类型三 单调性的应用 命题角度1 利用单调性求参数范围 例4 ? ??3a-1?x+4a,x<1, 若函数 f(x)=? 是定义在 R 上的减函数,则 a ? ?-ax,x≥1 的取值范围为 1 1 A.[8,3) 1 C.[8,+∞) 1 B.(0,3) 1 1 D.(-∞,8]∪[3,+∞) 解析 答案 反思与感悟 分段函数在定义域上单调,除了要保证各段上单调外,还要接口处不 能反超.另外,函数在单调区间上的图像不一定是连续不断的. 跟踪训练4 已知函数f(x)=x2-2ax-3在区间[1,2]上具有单调性,则实数 a ≤ 1 或a ≥2 a的取值范围为_____________. 解析 由于二次函数开口向上, 故其增区间为[a,+∞),减区间为(-∞,a],而f(x)在区间[1,2]上单调, 所以[1,2]?[a,+∞)或[1,2]?(-∞,a],即a≤1或a≥2. 解析 答案 命题角度2 用单调性解不等式 例5 已知y=f(