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河南省罗山县高中2013届高三数学毕业班第一次模拟试题 理 新人教A版_图文

罗山高中 2013 届毕业班第三轮第一次模拟考试数学(理科)

一、 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.)

? ? 1. 集合M ?

z

z ? 1, z ? C

,N

?

?? z ?

z

?

1 2

?

bi,

b

?

R

? ?

,则

M

?

值范围是 ( )

N ? ? ,则实数b 的取

A. (??, ? 3 ) ( 3 , ??) B. (??, ? 3 ] [ 3 , ??)

22

22

C. (? 3 , 3 ) 22

D. [? 3 , 3 ] 22

2. 已知 f (x) ?| x ? 2 | ? | x ? 4 | 的最小值为 n ,则二项式 (x ? 1 )n 展开式中 x2 项的系数为 x

()

A.15

B. ?15

C. 30

D. ?30

3. 设函数 f (x) ?sin( ?x ? ?)( ? ?0) 与函数(g )x c?os(2 x ?)(|? | ? ?) ? 的对称轴完同,则

4

2

? 的值为( )

A. ? 4

B.- ? 4

C. ? 2

D.- ? 2

?

? ? 4. 已知 M ? 1 1 ? x 2 dx, N ? 2 cosxdx , 由如右程序框图输出的 S ?( )

0

0

A.1

B. ?

C. ?

2

4

D. ?1

5. 在平面直角坐标系 xoy 中,圆 C 的方程为 x2 ? y2 ? 8x ?15 ? 0 ,若直线

y ? kx ? 2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆 C 有公共

点,则 k 的最大值为( )

A. 2

B. 4 3

C. 2 3

D. 3

开始

输入 M,N

M ?N?

S?N


S?M

输出 S
结束

6.在 ?ABC 中,内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ,其中 A ? 120 ,b ? 1,且 ?ABC 面积

为 3 ,则 a ? b ? (



sin A ? sin B

A. 21

B. 2 39 3

C. 2 21

D. 2 7

7. 已知函数 f (x) ? ln x, g(x) ? log5 x, h(x) ? lg x ,若直线 y ? ?m2 ? 2m ? 2(m ? R) 与

y ? f (x), y ? g(x), y ? h(x) 图像交点的横坐标分别为 a,b, c ,则( ) A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. c ? a ? b D. b ? c ? a

8.下列四个命题中,错误的个数是( )
?① 1ex dx ? e ; 0
②设回归直线方程为 y? ? 2 ? 2.5x, 当变量 x 增加一个单位时,y 大约减少 2.5 个单位;

③已知? 服从正态分布 N(0,? 2 ),且 P(?2 ? ? ? 0) ? 0.4 ,则: P(? ? 2) ? 0.1

④对于命题 p : " x ? 0"则?p : " x ? 0"

x ?1

x ?1

A.0 个

B.1 个

C.2 个

D.3 个

? x?2

9.已知

x,

y

满足

? ?

x? y ?4

,且目标函数 z ? 3x ? y 的最小值是 5,则 z 的最大值是

??? 2x ? y ? c ? 0

(

)

A. 9

B. 10

C. 11

D .12

10. 定 义 在 R 上 的 函 数 y ? f (x) , 对 任 意 不 等 的 实 数 x1 , x2 都 有

[ f (x1) ? f (x2 )](x1 ? x2 ) ? 0 成立,又函数 y ? f (x ?1) 的图象关于点 (1,0) 对称,若不等

式 f (x2?2x) ? f (2 y ? y2 ) ? 0 成立,则当1 ? x ? 4 时, y 的取值范围是(



x

A.[? 1 , ??) 2

B. (??,1]

C.[? 1 ,1] 2

D.

? ??

?

1 2

,1???

11. 已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长均为 1,棱 BB1所在直线上的动点 M 满足 BM ? ?BB1 ,

?
AM 与侧面 BB1C1C 所成的角为? ,若 ? ? ?
?

2, 2

?
2 ? ,则? 的取值范围是(
?

)

A.

?? ??12

,

? 6

? ??

B.

?? ?? 6

,

? 4

? ??

C.

?? ?? 4

,

? 3

? ??

D.

?? ?? 3

,

5? 12

? ??

12.在曲线 C: x 2 ? y 2 ? 2(x ? 0) 上任取 A,B 两点,则 OA ? OB 的最小值( )

A. 2

B.4

C.2

D. 2 2

二、填空题:(每小题 5 分,共 20 分,请将符合题意的最简答案填在题中横线上)

13.某商场在庆元宵促销活动中,对元宵节 9 时至 14 时的销售额进行统计,其频率分布直方

图如图所示,已知 9 时至 10 时的销售额为 2.5 万元,则 11 时至 12 时的销售额为



元.

14.一个几何体的三视图如 则这个几何体的体积

第 14 题图

上图所示,且其左视图是一个等.边.三角形,



.

15. 已知点 P 是抛物线 y2 ? 4x 上的动点,点 P 在 y 轴上的射影是 M,点 A 的坐标是(4,a),

则当| a |? 4 时, | PA | ? | PM | 的最小值是

.

16.观察下列等式:

C51 ? C55 ? 23 ? 2 ,

C91 ? C95 ? C99 ? 27 ? 23 ,

C113

?

C153

?

C193

?

C13 13

?

211

?

25



C117

? C157

? C197

?

C13 17

?

C17 17

?

215

?

27 ,………

由以上等式推测到一个一般的结论:对于 n ? N* ,

C1 4 n ?1

?

C5 4 n ?1

?

C9 4 n ?1

?

?

C 4n?1 4 n ?1

?

.

三、解答题:(解答题必须写出解题步骤和必要的文字说明,共 70 分)

17. (本小题满分 12 分)设数列{an } 的前 n 项和为 S n , a1 ? 10 , an?1 ? 9Sn ?10 .

⑴求证:{lg an} 是等差数列.

⑵设

Tn

是数列

? ? ?

(lg

an

3 )(lg

a n ?1

)

? ? ?

的前

n

项和,

求使 Tn

?

1 (m2 4

? 5m)

对所有的 n ? N ?

都成立的最大正整数 m 的值

18.(本小题满分 12 分)某学校为了研究学情,从高三年级中抽取了 20 名学生三次测试的

数学成绩和物理成绩,计算出了他们三次成绩的平均名次如下表:

学生序号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

数学平均名次 1.3 12.3 25.7 36.7 50.3 67.7 49.0 52.0 40.0

物理平均名次 2.3 9.7 31.0 22.3 40.0 58.0 39.0 60.7 63.3

学生序号

11

12

13

14

15

16

17

18

19

数学平均名次 78.3 50.0 65.7 66.3 68.0 95.0 90.7 87.7 103.7

物理平均名次 49.7 46.7 83.3 59.7 50.0 101.3 76.7 86.0 99.7

学校规定:平均名次小于或等于 40.0 者为优秀,大于 40.0 者为不优秀.
(Ⅰ)对名次优秀赋分 2,对名次不优秀赋分 1.从这 20 名学生中随机抽取 2 名学生,用? 表

10 34.3 42.7 20 86.7 99.0

示这 2 名学生两科名次赋分的和,求? 的分布列和数学期望;
(Ⅱ)根据这次抽查数据,列出 2×2 列联表,能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认 为物理成绩与数学成绩有关?

P(K2≥k0)

0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005

0.001

0.70 1.32

k0

0.455

2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

8

3

19. (本小题满分 12 分)如图 1, 在直角梯形 ABCD 中, ?ADC ? 90? , CD / / AB ,
AB ? 4, AD ? CD ? 2 , M 为线段 AB 的中点. 将 ?ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC ? 平
面 ABC ,得到几何体 D ? ABC ,如图 2 所示. (1)求证: BC ? 平面 ACD ; (2)求二面角 A ? CD ? M 的余弦值.

20(题满分

12

分)已知椭圆 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

?

0) 的离心率为 1 2

,以原点为圆心,椭圆

的短半轴长为半径的圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切,过点 P (4,0)且不垂直于 x 轴的

直线 l 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点。
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)求 OA ? OB 的取值范围;

(Ⅲ)若 B 点关于 x 轴的对称点是 E ,证明:直线 AE 与 x 轴相交于定点。

21(本题满分 12)设函数 f (x) ? ln x ? 1 ax2 ? bx. 2

(Ⅰ)当 a ? b ? 1 时,求函数 f (x) 的最大值; 2

(Ⅱ)令 F (x) ?

f

(x) ?

1 ax2 2

? bx ?

a(0 ? x

x ? 3 )其图象上任意一点 P(x0 , y0 ) 处切线的

斜率 k ≤ 1 恒成立,求实数 a 的取值范围; 2

(Ⅲ)当 a ? 0 , b ? ?1,方程 2mf (x) ? x2 有唯一实数解,求正数 m 的值.

选做题(本小题满分10分,请从22、23、24三个小题中任选一题作答,并用铅笔在对应 方框 中涂黑 22. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明讲
如图,AB是⊙O的直径 ,AC是弦 ,∠BAC的平分线AD 交⊙O于点D,DE ⊥AC,交AC的延长线于点E.OE交AD于点F.

(1)求证:DE是⊙O的切线;

AC ? 3

AF

(2)若 AB 5 ,求 DF 的值.

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程.

已知曲线

C

的极坐标方程为

?

?

4 cos? sin 2 ?

,直线 l

的参数方程为

?x

? ?

y

? t cos? ? 1? t sin?

(t

为参

数,0≤? < ? ).

(Ⅰ)把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,并说明曲线 C 的形状;
(Ⅱ)若直线 l 经过点(1,0),求直线 l 被曲线 C 截得的线段 AB 的长.
24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲

已知函数 f(x)= log2 (|2x-1|+|x+2|-a).
(Ⅰ)当 a=4 时,求函数 f(x)的定义域; (Ⅱ)若对任意的 x∈R,都有 f(x)≥2 成立,求实数 a 的取值范围.

罗山高中 2013 届毕业班第三轮第一次模拟考试数学(理科)答案 AABCB DBCBC BC

13.10

14. (8 ? ? ) 3 6

15. a2 ? 9 ?1 16. 24n -1+(-1)n 22n -1

17 解:⑴依题意, a2

?

9a1

? 10

? 100

,故

a2 a1

? 10 ,

当 n ? 2 时, an

? 9Sn?1 ?10

①又

an?1 ? 9Sn ?10 ○2

②―①整理得:

an?1 an

? 10 , 故 {an}

n?N?

为等比数列,且 an

?

a1q n?1

? 10n



?lg an ? n ? lg an?1 ? lg an ? (n ? 1) ? n ? 1 ,即{lg an } 是等差数列.

⑵由⑴知,Tn

?

3( 1 1? 2

?

1 2?3

???

1) n(n ?1)

= 3(1?

1 2

?

1 2

?

1 3

???

1 n

?

1) n ?1

?

3?

3 n ?1

?Tn

?

3 2

,依题意有

3 2

?

1 4

(m2

? 5m) ,解得 ?1 ?

m

?

6 ,故所求最大正整数 m

的值为 5

18

19 (本小题满分 12 分)如图 1, 在直角梯形 ABCD 中, ?ADC ? 90? , CD / / AB , AB ? 4, AD ? CD ? 2 , M 为线段 AB 的中点. 将 ?ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC ? 平面 ABC ,得到几何体 D ? ABC ,如图 2 所示. (1)求证: BC ? 平面 ACD ; (2)求二面角 A ? CD ? M 的余弦值.
解析:(1)在图 1 中, 可得 AC ? BC ? 2 2 , 从而 AC2 ? BC2 ? AB2 , 故 AC ? BC . 取 AC 中点 O 连结 DO , 则 DO ? AC , 又面 ADC ? 面 ABC , 面 ADC 面 ABC ? AC , DO ? 面 ACD , 从而 OD ? 平面 ABC . ∴ OD ? BC ,又 AC ? BC , AC OD ? O . ∴ BC ? 平面 ACD . (2)建立空间直角坐标系 O ? xyz 如图所示,

则 M (0, 2, 0) , C(? 2, 0, 0) , D(0, 0, 2) , CM ? ( 2, 2, 0) ,

CD ? ( 2, 0, 2) .



n1

?

(x,

y,

z)

为面

CDM

的法向量,则

???n1 ??n1

? ?

CM CD

?0 ?0



?? ? ??

2x ? 2x ?

2y 2z

? ?

0 0

, 解得

? ? ?

y z

? ?

?x ?x

.

令 x ? ?1 , 可得 n1 ? (?1,1,1) .



n2

?

(0,1, 0)

为面

ACD 的一个法向量,∴

cos

?

n1, n2

??

|

n1 ? n2 n1 || n2

|

?

1? 3

3. 3

∴二面角 A ? CD ? M 的余弦值为 3 . 3
(法二)如图,取 AC 的中点 N , DC 的中点 G ,连结 MN, NG,GM .
易知 MN / /BC ,又 BC ? 面ACD ,?MN ? 面ACD ,又 CD ? 面ACD ,?MN ? CD . 又 NG 为 ?ACD 的中位线,因 AD ? DC ,?NG ? DC , NG MN ? N ,且 NG,MN 都在面 MNG 内,故 CD ? 面MNG ,故 ?NGM 即为二面角 A ? CD ? M 的平面角. 在 Rt?ADC 中,易知 AC ? 2 2 ; 在 Rt?ABC 中,易知 BC ? 2 2 ,? MN ? 2 . 在 Rt?MNG 中 NG ? 1, MN ? 2,? MG ? 3 . 故 cos ?NGM ? NG ? 1 ? 3 .
MG 3 3 ∴二面角 A ? CD ? M 的余弦值为 3 .
3
20

(2)解:由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k(x ? 4)

? y ? k(x ? 4)



? ?

x

2

?? 4

?

y2 3

得: (4k 2 ?1

? 3)x2

? 32k 2 x ? 64k 2

? 12 ? 0

---------------4 分

由 ? ? (?32k 2 )2 ? 4(4k 2 ? 3)(64k 2 ? 12) ? 0 得: k 2 ? 1 4

设 A(x1,y1),B

(x2,y2),则 x1

? x2

?

32k 2 4k 2 ?

3

,x1

x2

?

64k 2 4k 2

? 12 ?3

①---------- 6 分

∴ y1 y2 ? k(x1 ? 4)k(x2 ? 4) ? k 2 x1 x2 ? 4k 2 (x1 ? x2 ) ? 16k 2



a

≥ (?

1 2

x02

?

x0 ) max



x0

? (0,3]

当 x0

? 1 时, ?

1 2

x02

?

x0

取得最大值

1 2

,所以 a ≥

1 2

………8 分

(3)因为方程 2mf (x) ? x 2 有唯一实数解,

∵ h(1) ? 0 ,∴方程(*)的解为 x2 ? 1,即 m ? m2 ? 4m ? 1 ,
2

解得 m ? 1 ………12 分 2
22(1) 连结OD,可得∠ODA=∠OAD=∠DAC ……2分

∴OD∥AE 又AE⊥DE

…………3分

∴DE⊥OD,又OD为半径 ∴ DE是的⊙O切线 …………5分

⑵ 提示:过D作DH⊥AB于H 则有∠DOH=∠CAB

AC ? 3 Cos∠DOH=cos∠CAB= AB 5

……………………6分

设OD=5x,则AB=10x,OH=3x,DH=4x

∴AH=8x AD2 =80 x2
由△AED∽△ADB可得 AD2=AC·AB=AC·10x ∴AE=8X…………8分

又由△AEF∽△DOF

8 AF 8 可 得 AF∶DF= AE∶OD = 5 ;∴ DF = 5 ……10 分

24. 解:(Ⅰ)由题意得 f (x) ? log2 ( 2x ?1 ? x ? 2 ? 4) ,
2x ?1 ? x ? 2 ? 4 ? 0 . 当x ? ?2时,? (2x ?1) ? (x ? 2) ? 4 ? 0 , ? x ? ? 5 .
3 即 x ? ?2 . 当? 2 ? x ? 1 时,? (2x ?1) ? (x ? 2) ? 4 ? 0,? x ? ?1.
2 即 ? 2 ? x ? ?1. 当x ? 1 时,(2x ?1) ? (x ? 2) ? 4 ? 0,? x ? 1.
2
? ? 即 x ? 1.综上所述,函数 f (x) 的定义域为 x x ? ?1或x ? 1 .……………………5 分
(Ⅱ)由题意得 log2 ( 2x ?1 ? x ? 2 ? a) ? 2 ? log2 4 恒成立,

即 2x ?1 ? x ? 2 ? a ? 4,? 2x ?1 ? x ? 2 ? 4 ? a恒成立,

?

?? 3x ? 5, x ? ?2,

令 g(x) ?

2x ?1 ?

x?2

? 4 ? ???? x ?1,?2 ? ?

x?

1, 2

???3x

?

3,

x

?

1 2

.

显然 x ? 1 时, g(x) 取得最小值 ? 3 ,? a ? ? 3 . ………………………………10 分

2

2

2


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