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等腰三角形新文件学生版 2


第十六章 第一节

等腰三角形 轴对称图形

知识点:轴对称图形与轴对称 1.(1)轴对称图形:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合,那么这个 图形叫做轴对称图形。这条直线叫做对称轴(说明:轴对称图形的对称轴可以是一条,可能是 多条或无数条) 。 (2)轴对称:如果一个图形沿着一条直线折叠,它能够与另一个图形重合,那么称这两个图形 成轴对称。 这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点叫做对称点。 2.轴对称性质: (1)如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴垂直平分任意一对对应点的所连线段。 (2)如果两个图形各对对应点的所连线段被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直 线对称。 【经典题型 1】轴对称图形 【例1】 (2012?遵义)把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后,再如图③挖去一个三角形小 孔,则展开后图形是( )

A.

B.

C.

D. )

【例2】 (2012?重庆)下列图形中,是轴对称图形的是(

A.

B.

C.

D.

【例 3】 (2011?宜昌)如图,用数学的眼光欣赏这个蝴蝶图案,它的一种数学美体现在蝴蝶图 案的( ) A.轴对称性 B.用字母表示数 C.随机性 D.数形结合

1

【例4】 ( 2013 ?凉 山 州 )如 图 ,∠ 3=30 °,为 了 使 白 球 反 弹 后 能 将 黑 球 直 接 撞 入 袋 中 , 那 么 击 打 白 球 时 , 必 须 保 证 ∠ 1的 度 数 为

练习:(2012?丽水)如图是一台球桌面示意图,图中小正方形的边长均相等,黑球放在如图所 示的位置,经白球撞击后沿箭头方向运动,经桌边反弹最后进入球洞的序号是( ) A.① B.② C.⑤ D.⑥

【例5】下列说法错误的是( ) A.等边三角形有 3 条对称轴 B.正方形有 4 条对称轴 C.角的对称轴有 2 条 D.圆有无数条对称轴 【例6】 (2009?宁夏)在4×4的正方形网格中,已将图中的四个小正方形涂上阴影(如图) ,若 再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影,使得整个阴影部分组成的图形成轴对称图形.那么 符合条件的小正方形共有( )

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

【巩固练习】 1. (2012?宜昌) 在以下永洁环保、 绿色食品、 节能、 绿色环保四个标志中, 是轴对称图形是 (



A. B. C. D. 2.如图,一个经过改造的台球桌面上四个角的阴影部分分别表示四个入球孔,如果一个球按图 中所示的方向被击出(球可以经过多次反射) ,那么该球最后将落入 号球袋.

3.将一张矩形的纸对折,然后用笔尖在上面扎出“B” ,再把它铺平,你可见到( A. B. C. D.



2

4.(2012?锦州)下列各图,不是轴对称图形的是(



A. B. C. D. 5.(2008?怀化)小华在镜中看到身后墙上的钟,你认为实际时间最接近8点的是(



A. B. C. D. 6.(2006?南平)如图是一辆汽车车牌在水中的倒影,则该车的牌照号码是(



A.W17639

B.W17936

C.M17639

D.M17936

【经典题型 2】轴对称的性质 【例1】 (2010?淄博) 如图, △A′B′C′是由△ABC 经过变换得到的, 则这个变换过程是 ( A.平移 B.轴对称 C.旋转 D.平移后再轴对称



例题1图

例题2图

【例2】 (2010?黔南州)如图,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,点 E,F 是中线 AD 上的两点,则 图中阴影部分的面积是( ) A.6 B.12 C.24 D.30 【例3】 (2012?西宁)折纸是一种传统的手工艺术,也是每一个人从小就经历的事,它是一种培 养手指灵活性、协调能力的游戏,更是培养智力的一种手段.在折纸中,蕴含许多数学知识, 我们还可以通过折纸验证数学猜想,把一张直角三角形纸片按照图①~④的过程折叠后展开, 请选择所得到的数学结论( )

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A.角的平分线上的点到角的两边的距离相等 B.在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半 C.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 D.如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形 【例4】在如图所示的4×4正方形网格中.∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7= 度.

【例5】 (2010?宜昌)如图,正六边形 ABCDEF 关于直线 l 的轴对称图形是六边形 A′B′C′D′ E′F′,下列判断错误的是( ) A.AB=A′B′ B.BC∥B′C′ C.直线 l⊥BB′ D.∠A′=120

例 5图 例6图 【例 6】 (2009?黄冈)如图,△ABC 与△A′B′C′关于直线 l 对称,且∠A=78°,∠C′=48°, 则∠B 的度数为( ) A.48° B.54° C.74° D.78° 【例7】 (2009?鄂尔多斯)如图,点 A 和点 B 相距60cm,且关于直线 l 对称,一只电动青蛙在距 直线20cm,距点 A 为50cm 的点 P1处,按如下顺序循环跳跃:青蛙跳跃2011次后停下,此时它与 直线 l 相距( )

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A.20cm

B.40cm

C.60cm

D.80cm

【例8】 (2008?武汉)如图,六边形 ABCDEF 是轴对称图形,CF 所在的直线是它的对称轴,若∠ AFC+∠BCF=150°,则∠AFE+∠BCD 的大小是( ) A.150° B.300° C.210° D.330°

( 2013 ?十 堰 ) 如图, 将 △ ABC 沿 直 线 DE 折 叠 后 , 使得点 B 与点 A 重合. 已 知 AC=5cm , △ ADC 的 周 长 为 17cm , 则 BC 的 长 为 ( )

【巩固练习】 1.(2007?河南)如图,△ABC 与△A′B′C′关于直线 l 对称,则∠B 的度数为( A.30° B.50° C.90° D.100°



2.(2012?潍坊)甲乙两位同学用围棋子做游戏.如图所示,现轮到黑棋下子,黑棋下一子后白 棋再下一子,使黑棋的5个棋子组成轴对称图形,白棋的5个棋子也成轴对称图形.则下列下子 方法不正确的是( ) ,[说明:棋子的位置用数对表示,如 A 点在(6,3) . A.黑(3,7) ;白(5,3) B.黑(4,7) ;白(6,2) C.黑(2,7) ;白(5,3) D.黑(3,7) ;白(2,6)

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【经典题型 3】关于坐标轴对称的点的坐标 【例1】 (2012?孝感)如图,△ABC 在平面直角坐标系中第二象限内,顶点 A 的坐标是(-2,3) , 先把△ABC 向右平移4个单位得到△A1B1C1,再作△A1B1C1关于 x 轴对称图形△A2B2C2,则顶点 A2的 坐标是( ) A.(-3,2) B. (2,-3) C. (1,-2) D. (3,-1)

【例2】 (2012?十堰)点 P(-2,3)关于 x 轴对称点的坐标是( ) A. (-3,2) B. (2,-3) C. (-2,-3) D. (2,3) 【例3】点 P(-1,-3)关于 x 轴的对称点在第( )象限. A.一 B.二 C.三 D.四 2011 【例4】已知点 P1(a-1,5)和 P2(2,b-1)关于 x 轴对称,则(a+b) 的值为( 2011 A.0 B.-1 C.1 D. (-3) 2 【例 5】若|a-4|+(b-3) =0,则 A(a,b)关于 y 轴对称点的坐标为 【例6】如图,在正方形网格上有一个△ABC. (1)作△ABC 关于直线 MN 的对称图形(不写作法) ;



(2)若网格上的最小正方形的边长为1,求△ABC 的面积.

【巩固练习】 1.(2009?钦州)点 P(-2,1)关于 y 轴对称的点的坐标为( ) A. (-2,-1)B. (2,1)C. (2,-1)D. (-2,1) 2.点 A(a,-2)关于 x 轴对称的点 B 的坐标为(1,b) ,则 a+b 的值等于( ) A.1 B.-1 C.-3 D.3 3.已知点 A(m-1,3)与点 B(2,n+1)关于 x 轴对称,则 m+n 的值为( ) A.-1 B.-7 C.1 D .7 4.若 P 关于 x 轴的对称点为 P1(2a+b,-a+1) ,关于 y 轴对称的点为 P2(4-b,b+2) ,则 P 点的 坐标为

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【经典题型 4】轴对称最短路线问题 【例1】已知点 M(4,3)和 N(1,-2) ,点 P 在 y 轴上,且 PM+PN 最短,则点 P 的坐标是( A. (0,0) B. (0,1) C. (0,-1) D. (-1,0)



【例2】 ( 2013 ?鄂 尔 多 斯 ) 如 图 , A 和 B 两 地 在 一 条 河 的 两 岸 , 现 要 在 河 上 造 一 座 桥 MN , 使 从 A 到 B 的 路 径 AMNB 最 短 的 是 (假定河的两岸是平行直线, 桥要与河岸垂直) ( )

A.

B.

C.

D.

(2012?兰州)如图,四边形 ABCD 中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在 BC、CD 上分别找一点 M、N,使△AMN 周长最小时,则∠AMN+∠ANM 的度数为( ) A.130° B.120° C.110° D.100°

【例3】 (2007?山西)如图,直线 l 是一条河,P,Q 两地相距8千米,P,Q 两地到 l 的距离分别 为2千米,5千米,欲在 l 上的某点 M 处修建一个水泵站,向 P,Q 两地供水,现有如下四种铺设 方案,图中实线表示铺设的管道,则铺设的管道最短的是( )

A.

B.

C.

D.

【例4】如图,直线 L 是一条河,P,Q 是两个村庄.欲在 L 上的某处修建一个水泵站,向 P,Q 两地供水,现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道,则所需管道最短的是( )

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A.

B.

C.

D.

【经典题型 4】翻折问题 【例1】如图,把一张长方形 ABCD 的纸片,沿 EF 折叠后,ED 与 BC 交于点 G,点 D、点 C 分别 落在 D′、C′位置上,若∠EFG=52°,则∠BGE=( ) A.92° B.100° C.104° D.76°

例题 1 图

例题 2 图

【例2】如图,△ABC 中,∠A=30°,∠A 沿 DE 折叠后,A 点落在△ABC 的内部 A′的位置,则 ∠1+∠2= . 【例 3】如图所示,在折纸活动中,小明制作了一张△ABC 纸片,点 D、E 分别是边 AB、AC 上, 将△ABC 沿着 DE 折叠压平,A 与 A'重合,若∠A=70°,则∠1+∠2=

例3图

例题4图

【例4】 (2009?荆门)如图,Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=50°,将其折叠,使点 A 落在边 CB 上 A′处,折痕为 CD,则∠A′DB=( ) A.40° B.30° C.20° D.10°

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第二节

线段的垂直平分线

1.定义 经过某一条线段的中点, 并且垂直于这条线段的直线, 叫做这条线段的垂直平分线 (中垂线) 。 2.性质 1)线段中垂线性质定理:线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。 2)线段中垂线性质定理逆定理:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平 分线上。 注意:要证明一条线为一个线段的垂直平分线,应证明两个点到这条线段的距离相等且这 两个点都在要求证的直线上才可以证明 通常来说,垂直平分线会与全等三角形来使用。 可以通过全等三角形证明。 3.作法 1)在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。 2)分别以线段的两个端点为圆心,以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。得到一个交 点。 3)连接这两个交点。 说明:也可以用这种方法作线段的中点

【经典例题 1】线段垂直平分线的性质 【例1】1.( 2013 ?临 沂 )如 图 ,四 边 形 ABCD 中 , AC 垂 直 平 分 BD , 垂 足 为 E ,下 列 结

论不一定成立的是( ) A . AB=AD B . AC 平 分 ∠ BCD

C . AB=BD

D . △ BEC ≌ △ DEC

2. ( 2009 ?怀 化 ) 如 图 , 在 Rt △ ABC 中 , ∠ B=90 °, ED 是 AC 的 垂 直 平 分 线 , 交 AC

于 点 D, 交 BC 于 点 E . 已 知 ∠ BAE=10 °, 则∠C 的度数为 3.(2008?孝感)如图,AB=AC,∠BAC=120°,AB 的垂直平分线交 BC 于点 D,那么∠ADC=

度.

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4. 如 图 所 示 ,在 △ ABC 中 ,∠ BAC=135°, EF 、 GH 分 别 是 AB 、 AC 两 边 的 垂 直 平 分 线 , 与 BC 边 交 于 点 E 、 G , 求 ∠ EAG 的 度 数 .

【例 2】1.在△ABC 中,AB=AC,AB 的垂直平分线与边 AC 所在的直线相交所成锐角为 40°,△ABC 的底角∠B 的大小为_______________。 2. ( 2013 ?滨 城 区 二 模 ) 如 图 , △ ABC 中 , ∠ B=40 °, AC 的 垂 直 平 分 线 交 AC 于 D ,

交 BC 于 E ,且 ∠ EAB :∠ CAE=3 :1 ,则 ∠ C 等 于

【例 3】1.( 2013 ?泰 州 )如 左 下 图 ,△ ABC 中 , AB+AC=6cm , BC 的 垂 直 平 分 线 l 与 AC 相 交 于 点 D , 则 △ ABD 的 周 长 为

2.如右上图,在△ABC 中,BC=8cm,AB 的垂直平分线交 AB 于点 D,交边 AC 于点 E,△BCE 的周 长等于 18cm,则 AC 的长等于 3.( 2010 ?娄 底 ) 如 图 , 在 四 边 形 ABCD 中 , AD ∥ BC , E 为 CD 的 中 点 , 连 接 AE 、 BE , BE ⊥ AE , 延 长 AE 交 BC 的 延 长 线 于 点 F . 求证: ( 1 ) FC=AD ; ( 2 ) AB=BC+AD .

【例4】1.如图,有 A、B、C 三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间修建一个购 物超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在( ) A.在 AC,BC 两边高线的交点处 B.在 AC,BC 两边中线的交点处 C.在 AC,BC 两边垂直平分线的交点处 D.在∠A,∠B 两内角平分线的交点处

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2. 如 图 , 到 △ ABC 的 三 个 顶 点 距 离 相 等 的 点 是 △ ABC 的 ( ) A. 三 边 垂 直 平 分 线 的 交 点 B. 三 条 角 平 分 线 的 交 点 C. 三 条 高 的 交 点 D. 三 边 中 线 的 交 点 【例 5】 1. 已 知 : 如 图 , AB=AE , BC=ED , AF 是 CD 的 垂 直 平 分 线 , 求 证 : ∠ B= ∠ E

2. 如 图 , 在 四 边 形 ABCD 中 , 点 E 是 BC 的 中 点 , 点 F 是 CD 的 中 点 , 且 AE ⊥ BC , AF ⊥ CD . ( 1 ) 求 证 : AB=AD ; ( 2 ) 请 你 探 究 ∠ EAF , ∠ BAE , ∠ DAF 之 间 有 什 么 数 量 关 系 ? 并 证 明 你 的 结 论 .

3.已 知 △ ABC 中 , AD 是 ∠ BAC 的 平 分 线 , AD 的 垂 直 平 分 线 交 BC 的 延 长 线 于 F . 求 证 : ∠ BAF=∠ ACF.

【巩固练习】 1.下列命题中正确的命题有( ) ①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等;②线段上任一点到垂直平分线两端距离相 等;③经过线段中点的直线只有一条;④点 P 在线段 AB 外且 PA=PB,过 P 作直线 MN,则 MN 是线段 AB 的垂直平分线;⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2.△ABC 中,AB 的垂直平分线交 AC 于 D,如果 AC=5 cm,BC=4cm,那么△DBC 的周长是( A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm )

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3.已知: 1)如图,AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交 AB 于点 D,交 AC 于点 E,如果△EBC 的周长是 24cm, 那么 BC= 2) 如图,AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交 AB 于点 D,交 AC 于点 E,如果 BC=8cm,那么△EBC 的周长是 3)如图,AB=AC,AB 的垂直平分线交 AB 于点 D,交 AC 于点 E,如果∠A=28 度,那么∠ EBC 是

4.如图,AC=AD,BC=BD,则有( A.AB 垂直平分 CD C.AB 与 CD 互相垂直平分



B.CD 垂直平分 AB D.CD 平分∠ACB
?

5.如图,在 Rt△ ABC 中, ?B ? 90 , ED 是 AC 的垂直平分线,交 AC 于点 D ,交 BC 于 点 E .已知 ?BAE ? 10 ,则 ? C 的度数为
?

5 题图 6 题图 7 题图 6.如图,△ABC 中边 AB 的垂直平分线分别交 BC,AB 于点 D,E,AE=3cm,△ADC 的周长为9cm, 则△ABC 的周长是( ) A.10cm B.12cm C.15cm D.17cm 7. 如 图 , △ ABC 中 , DE 是 AB 的 垂 直 平 分 线 , 交 BC 于 点 D , 交 AB 于 点 E , 已 知 AE=1cm , △ ACD 的 周 长 为 12cm , 则 △ ABC 的 周 长 是 8. 如 图 , △ ABC 中 , ∠ B=25°, ∠ C=40°, AB 的 垂 直 平 分 线 DN 交 BC 于 D , AC 的 垂 直 平 分 线 EF 交 BC 于 E , 连 接 AD 、 AE . 求 △ ADE 各 内 角 的 度 数 .

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【经典题型 2】线段垂直平分线的判定 【例 1】1.已知:在△ABC 中,ON 是 AB 的垂直平分线,OA=OC 求证:点 O 在 BC 的垂直平分线

2. 在 △ ABC 中 , AD 是 高 , 在 线 段 DC 上 取 一 点 E , 使 BD=DE , 已 知 AB+BD=DC , 求 证 : E 点 在 线 段 AC 的 垂 直 平 分 线 上 .

【例 2】1.△ ABC 中 , AD 是 ∠ BAC 的 平 分 线 , DE ⊥ AB 于 E , DF ⊥ AC 于 F .求 证 : AD 垂 直 平 分 EF 。

2.已知:如图,在四边形 ABCD 中,BD 平分∠ABC,∠A+∠C=180°,BC>BA.求证:点 D 在线 段 AC 的垂直平分线上.

3.如 图 所 示 , 在 Rt △ ABC 中 , ∠ ACB=90 °, AC=BC , D 为 BC 边 上 的 中 点 , CE ⊥ AD 于 点 E , BF ∥ AC 交 CE 的 延 长 线 于 点 F , 求 证 : AB 垂 直 平 分 DF .

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4. 如 图 , D 是 △ ABC 的 边 BC 上 一 点 , DE ⊥ AC 于 点 E , DF ⊥ AB 于 点 F , 且 DE=DF .

( 1) 下 列 结 论 中 正 确 的 有 ① AD 是 △ ABC 的 中 线 ② AD 是 △ ABC 的 角 平 分 线 ③ S △ A B D : S △ A C D =AB : AC=BD : DC ④ AE=AF . ( 2 ) 在 图 中 连 接 EF , 求 证 : AD 垂 直 平 分 EF

(填上所有正确结论代号)

练习: 1.如图所示,AB=AC,BM=CM,直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线吗?

2 . 如 图 , 已 知 : E 是 ∠ AOB 的 平 分 线 上 一 点 , EC⊥ OB, ED⊥ OA, C 、 D 是 垂 足 , 连 接 CD , 且 交 OE 于 点 F . 求 证 : OE 是 CD 的 垂 直 平 分 线 .

3. ( 2012?潮 阳 区 模 拟 ) 如 图 , 线 段 CD 垂 直 平 分 线 段 AB , CA 的 延 长 线 交 BD 的 延 长 线 于 E , CB 的 延 长 线 交 AD 的 延 长 线 于 F , 求 证 : DE=DF

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第三节

等腰三角形

知识点 1:等腰三角形 1.定义:有两边相等的三角形叫做等腰三角形。 2.性质: (1)等腰三角形两个底角相等,简称“等边对等角” 。

推论:等边三角形三个内角相等,每一个内角等于 60°。 (2)等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边。 (等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高三线合一) 3.判定:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边相等。简称“等角对等边” 。

推论 1:三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论 2:有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形。 (一)等腰三角形的性质 【例 1】1.( 2013?新 疆 )等 腰 三 角 形 的 两 边 长 分 别 为 3 和 6 ,则 这 个 等 腰 三 角 形 的 周 长为 2. ( 2013?湘 潭 ) 如 图 , 在 △ ABC 中 , AB=AC , 点 D 、 E 在 BC 上 , 连 接 AD 、 AE , 如 果 只 添 加 一 个 条 件 使 ∠ DAB=∠ EAC, 则 添 加 的 条 件 不 能 为 ( )

A . BD=CE B . AD=AE C . DA=DE D . BE=CD 练习: (2012 肇庆)等腰三角形两边长分别为 4 和 8,则这个等腰三角形的周长为 【例2】1.( 2013?武 汉 )如 图 ,△ ABC 中 , AB=AC ,∠ A=36°, BD 是 AC 边 上 的 高 ,则

∠ DBC 的 度 数 是

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2.如图,已知:AB∥EF,CE=CA,∠E=65°,则∠CAB 的度数为

3.(2012 广安)已知等腰△ABC 中,AD⊥BC 于点 D,且 AD= A.45° B.75°

1 BC,则△ABC 底角的度数为( 2
D.60°



C.45°或 75° 或 15°

【例3】1.( 2013?牡 丹 江 ) 若 等 腰 三 角 形 的 周 长 是 100cm , 则 能 反 映 这 个 等 腰 三 角 形 的 腰 长 y ( cm ) 与 底 边 长 x ( cm ) 之 间 的 函 数 关 系 式 的 图 象 是 ( )

A.

B.

C.

D .

2.如图,△ABC 的周长为32,且 AB=AC,AD⊥BC 于 D,△ACD 的周长为24,那么 AD 的长为

2题图 【例 4】1.( 2013?十 堰 ) 如 图 , 点 D , E 在 △ ABC 的 边 BC 上 , AB=AC , BD=CE . 求 证 : AD=AE

2. ( 2013?荆 门 ) 如 图 1 , 在 △ ABC 中 , AB=AC , 点 D 是 BC 的 中 点 , 点 E 在 AD 上 . ( 1 ) 求 证 : BE=CE ; ( 2 ) 如 图 2 , 若 BE 的 延 长 线 交 AC 于 点 F , 且 BF⊥ AC, 垂 足 为 F , ∠ BAC=45°, 原 题 设 其 它 条 件 不 变 . 求 证 : △ AEF≌ △ BCF.

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(二)等腰三角形的判定 【例1】1.(2012?三明)如图,在平面直角坐标系中,点 A 在第一象限,点 P 在 x 轴上,若以 P,O,A 为顶点的三角形是等腰三角形,则满足条件的点 P 共有 A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个

1 题图

2 题图 个.

2.如图,△ABC 中,∠A=36°,AB=AC,BD 平分∠ABC,DE∥BC,则图中等腰三角形有

【例2】1.(2012铜仁)如图,在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点 E,过点 E 作 MN∥ BC 交 AB 于 M,交 AC 于 N,若 BM+CN=9,则线段 MN 的长为

2.如图,在△ABC 中,BC=5cm,BP、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线,且 PD∥AB,PE∥AC,

则△PDE 的周长是

cm.

【例 3】1.(2012 广东肇 庆 )如图,已知 AC⊥BC,BD⊥AD,AC 与 BD 交于 O,AC=BD. 求证: (1)BC=AD; (2)△OAB 是等腰三角形.

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2.如图,已知 AB=AC,D 是 AB 上一点,DE⊥BC 于 E,ED 的延长线交 CA 的延长线于 F,试说明△ ADF 是等腰三角形的理由.

3.在一次数学课上,王老师在黑板上画出图,如图,并写下了四个等式:①AB=DC,②BE=CE, ③∠B=∠C,④∠BAE=∠CDE.要求同学从这四个等式中选出两个作为条件,推出△AED 是等腰 三角形.请你试着完成王老师提出的要求,并说明理由. (写出一种即可)

4.文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时,画出图形,写出“已 知” , “求证” (如图) ,她们对各自所作的辅助线描述如下: 文文: “过点 A 作 BC 的中垂线 AD,垂足为 D” ; 彬彬: “作△ABC 的角平分线 AD” . 数学老师看了两位同学的辅助线作法后,说: “彬彬的作法是正确的,而文文的作法需要订正. ” (1)请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里; (2)根据彬彬的辅助线作法,完成证明过程.

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【例 4】1.如图, △ABC 中,AB=AC,∠A=36°,AC 的垂直平分线交 AB 于 E,D 为垂足,连结 EC. (1)求∠ECD 的度数; (2)若 CE=5,求 BC 长.

2.如图,在△ABC 中,点 E 在 AB 上,点 D 在 BC 上,BD=BE,∠BAD=∠BCE,AD 与 CE 相交于点 F, 试判断△AFC 的形状,并说明理由.

3.已知:如图,OA 平分∠BAC,∠1=∠2.求证:△ABC 是等腰三角形.

4.两个全等的含 30°,60°角的三角板 ADE 和三角板 ABC 如图所示放置,E,A,C 三点在一条 直线上,连接 BD,取 BD 的中点 M,连接 ME,MC.试判断△EMC 的形状,并说明理由.

【巩固练习】 1.等腰三角形的一个外角等于 100°,则与它不相邻的两个内角的度数分别为( A.40°,40° B.80°,20° C.50°,50° )

D.50°,50°或 80°,20°

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2.如图,在△ABC 中,点 D、E、F 分别在边 BC、AB、AC 上,且 BD=BE,CD=CF,∠A=70°,那么∠ FDE 等于 3.下列说法: (1)等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合; (2)等腰三角形的两腰上的中 线长相等; (3)等腰三角形的腰一定大于其腰上的高; (4)等腰三角形的一边长为 8,一边长 为 16,那么它的周长是 32 或 40.其中不正确 的个数是( ... A.1 B.2 C.3 ) D.4

4.(2012 海南省)如图,在△ABC 中,∠B 与∠C 的平分线交于点 O. 过 O 点作 DE∥BC,分别交 AB、AC 于 D、E.若 AB=5,AC=4,则△ADE 的周长是 A E F B D C 1 题图 4 题图 5题 .

5.如图,B、D、F 在 AN 上,C、E 在 AM 上,且 AB=BC=CD,EC=ED=EF,∠A=20°,则∠FEM 度数 是 .

6.如图,△ABC 中,角平分线 BO 与 CO 的相交点 O,OE∥AB,OF∥AC,BC=10,求△OEF 的周长. A O B 7.等腰三角形上的高与一腰的夹角为 30°,则其顶角的度数为 A E B 8.如图, 在△ABC 中, AB=AC, AD=AE, ∠BAD=30°, ∠EDC 是 9.如图,△ABC 中,AB=AC, ∠BAC=90°,BD=AB, ∠ABD=30°求证:AD=DC。 D C E F C

20

【经典题型 2】等边三角形 1、定义:三边都相等的三角形叫做等边三角形。 2、性质:等边三角形的三边相等;三个角都相等,每一个内角等于 60°。 3、判定: (1)定义法:三边都相等的三角形是等边三角形; (2)三个角都相等的三角形是等边三角形。 (3)有一个角是 60°的三角形是等边三角形。 (一)等边三角形的性质 【例1】如图所示,在等边△ABC 中,点 D、E 分别在边 BC、AB 上,且 BD=AE,AD 与 CE 交于点 F, 则∠DFC 的度数为

练习:1.如图,已知等边△ABC 中,BD=CE,AD 与 BE 相交于点 P,则∠APE 的度数为

2.如图,△ABD,△ACE 都是正三角形,BE 和 CD 交于 O 点,则∠BOC=

度.

3.(2009?泸州)如图,已知△ABC 为等边三角形,点 D、E 分别在 BC、AC 边上,且 AE=CD,AD 与 BE 相交于点 F. (1)求证:△ABE≌△CAD; (2)求∠BFD 的度数.

21

【例2】 (2008?日照)如左下图,C 为线段 AE 上一动点(不与点 A,E 重合) ,在 AE 同侧分别作 正三角形 ABC 和正三角形 CDE,AD 与 BE 交于点 O,AD 与 BC 交于点 P,BE 与 CD 交于点 Q,连接 PQ.以下五个结论:①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60度. 恒成立的结论有 (把你认为正确的序号都填上)

练习:1.如图,A、C、B 三点在同一条直线上,△DAC 和△EBC 都是等边三角形,AE、BD 分别与 CD、CE 交于点 M、N,有如下结论:①△ACE≌△DCB;②CM=CN;③AC=DN.其中,正确结论的个

数是 2.如图,已知△ABC 和△BDE 均为等边三角形,连接 AD、CE,若∠BAD=39°,

那么∠BCE=

度.

【例3】如图,D 为等边三角形 ABC 内一点,AD=BD,BP=AB,∠DBP=∠DBC, 则∠BPD 为多少度?

练习:如图:△ABC 和△ADE 是等边三角形.证明:BD=CE.

22

(二)等边三角形的判定 【例1】已知∠AOB=30°,点 P 在∠AOB 内部,P1与 P 关于 OB 对称,P2与 P 关于 OA 对称,则 P1, O,P2三点所构成的三角形是( ) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 练习: 1.一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线, 则对这个三角形最准确的判断是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形 2.如图, P、 Q 是△ABC 的边 BC 上的两点, 且 BP=PQ=QC=AP=AQ, 则∠ABC 的大小等于 度.

【例 2】 1.△ABC 为等边三角形, D、 E、 F 分别在边 BC、 CA、 AB 上, 且 AE=CD=BF, 则△DEF 为 角形.



2.已知: 如图, 在等边三角形 ABC 的 AC 边上取中点 D, BC 的延长线上取一点 E, 使 CE = CD. 求 证:BD = DE.

练习:1.如图,△ABC 是等边三角形,P 为△ABC 内部一点,将△ABP 绕点 A 逆时针旋转后,能 与△ACPˊ重合,如果 AP=3,求 PPˊ的长. A P′ P B C

23

2.( 2011 ?赤 峰 )如 图 , AD 是 △ ABC 的 中 线 ,∠ ADC=60 °, BC=6 ,把 △ ABC 沿 直 线 AD 折 叠 , 点 C 落 在 C ′ 处 , 连 接 BC ′ , 那 么 BC ′ 的 长 为

【经典题型 3】含 30 度角的直角三角形 【例 1】 (2012?深圳)如图,已知:∠MON=30°,点 A1、A2、A3?在射线 ON 上,点 B1、B2、B3? 在射线 OM 上, △A1B1A2、 △A2B2A3、 △A3B3A4?均为等边三角形, 若 OA1=1, 则△A6B6A7 的边长为 ( )

练习:如图,CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的高,将△BCD 沿 CD 折叠,B 点恰好落在 AB 的中点 E 处, 则∠A 等于

【例 2】 (2011?贵阳)如图,△ABC 中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,点 P 是 BC 边上的动点, 则 AP 长不可能是( ) A.3.5 B.4.2 C.5.8 D.7

例2图

例3图

【例3】 (2011?丹东)如图,在 Rt△ACB 中,∠C=90°,BE 平分∠ABC,ED 垂直平分 AB 于 D.若 AC=9,则 AE 的值是( ) A. 6 3 B. 4 3 C.6 D.4

24

练习:如图,△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,AB 的垂直平分线交 AC 于 D,交 AB 于 E,CD=2,

则 AC=



【例4】1.(2010?河源)Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=60°,AC=2.按以下步骤作图: ①以 A 为圆心,以小于 AC 长为半径画弧,分别交 AC、AB 于点 E、D ②分别以 D、E 为圆心,以大于

1 DE 长为半径画弧,两弧相交于点 P 2

③连接 AP 交 BC 于点 F.那么: (1)AB 的长等于 ; (直接填写答案) (2)∠CAF= 度. (直接填写答案) . 2.如图所示, ∠AOP=∠BOP=15°, PC∥OA 交 OB 于 C, PD⊥OA 于 D, 若 PC=4, 则 PD 等于 .

第四节 知识点:角平分线

角平分线

1、角平分线的定义 从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的角平分 线。 2、角平分线的性质 1)角平分线性质定理:角平分线上的一点到角的两边距离相等。 2)角平分线性质定理逆定理:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 3、作法 ①以点 O 为圆心,以任意长为半径画弧,两弧交角 AOB 两边于点 M,N, ②分别以点 M,N 为圆心,以大于

1 MN 的长度为半径画弧,两弧交于点 P, 2

③作射线 OP 则 OP 即为所求 4、三角心的内心:三角形三边的角平分线交于一点,它到三角形三边的距离相等,这个点就叫 做三角形的内心.

25

【经典题型 1】角平分线的性质 回顾练习: 1. ( 1 )如图 1 ,∠ A=70 °, BP 、 CP 分别平分∠ ABC 和∠ ACB ,则∠ P 的度数是 ______________。

(2)如图 2,∠A=70°,BP、CP 分别平分∠EBC 和∠FCD,则∠P 的度数是_____________。 (3)如图 3,∠A=70°,BP、CP 分别平分∠ABC 和∠ACD,求∠P 的度数_____________。

2.如图:将一张矩形纸片 ABCD 的角 C 沿着 GF 折叠(F 在 BC 边上,不与 B、C 重合)使得 C 点 落在矩形 ABCD 内部的 E 处,FH 平分∠BFE,则∠GFH 的度数α 满足( ) A.90°<α <180° B.α =90° C.0°<α <90° D.α 随着折痕位置的变化而变化

【例 1】( 2013 ?遂 宁 )如 图 ,在 △ ABC 中 ,∠ C=90 °,∠ B=30 °,以 A 为 圆 心 ,任 意 长 为 半 径 画 弧 分 别 交 AB 、 AC 于 点 M 和 N , 再 分 别 以 M 、 N 为 圆 心 , 大 于 1/2MN 的 长 为 半 径 画 弧 ,两 弧 交 于 点 P ,连 结 AP 并 延 长 交 BC 于 点 D ,则 下 列 说 法 中 正 确 的 个 数 是 ① AD 是 ∠ BAC 的 平 分 线 ② ∠ ADC=60 °③ 点 D 在 AB 的 中 垂 线 上 ;④ S △ D A C :S △ A B C =1 :3 .

26

练 习 : 1. ( 2013?朝 阳 ) 如 图 , 三 角 形 ABC 中 , ∠ A 的 平 分 线 交 BC 于 点 D , 过 点 D 作 DE⊥ AC, DF⊥ AB, 垂 足 分 别 为 E , F , 下 面 四 个 结 论 : ① ∠ AFE=∠ AEF; ② AD 垂 直 平 分 EF ;
其中正确的是

④ EF 一 定 平 行 BC .

2.如图,Rt△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的高,角平分线 AE 交 CD 于 H,EF⊥AB 于 F,则下列结论
中不正确的是( )

A.∠ACD=∠B

B.CH=CE=EF

C.AC=AF

D.CH=HD

【例 2】有 公 路 l 1 同 侧 、 l 2 异 侧 的 两 个 村 庄 A , B ,如 图 .高 速 公 路 管 理 处 要 建 一 处 服 务 区 ,
按 照 设 计 要 求 ,服 务 区 到 两 个 村 庄 A , B 的 距 离 必 须 相 等 ,到 两 条 公 路 l 1 , l 2 的 距 离 也 必 须 相等,符合条件的服务区 C 有 处.

练习:1.(2011?衢州)如图,OP 平分∠MON,PA⊥ON 于点 A,点 Q 是射线 OM 上的一个动点, 若 PA=2,则 PQ 的最小值为

2.(2012?贵阳)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AB 的垂直平分线 DE 交于 BC 的延长线于 F, 若∠F=30°,DE=1,则 EF 的长是

27

【例 3】(2011?恩施州)如图,AD 是△ABC 的角平分线,DF⊥AB,垂足为 F,DE=DG,△ADG 和 △AED 的面积分别为 50 和 39,则△EDF 的面积为______。

练习:如图,已知 BE⊥AC 于 E,CF⊥AB 于 F,BE、CF 相交于点 D,若 BD=CD. 求证:AD 平分∠BAC.

【巩固练习】 1.到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的( ) A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三条边的垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点 2.如图所示,AB//CD,O 为∠A、∠C 的平分线的交点,OE⊥AC 于 E,且 OE=2,则 AB 与 CD 之间 的距离等于___________。

2 题图 3 题图 3.如图,△ABC 的三边 AB,BC,CA 长分别是20,30,40,其三条角平分线将△ABC 分为三个三 角形,则 S△ABO:S△BCO:S△CAO 等于( ) A.1:1:1 B.1:2:3 C.2:3:4 D.3:4:5 4.如图:在△ABC 中,AD⊥BC,AE 平分∠BAC,∠B=70°,∠C=34度.求∠DAE 的度数.

28

【经典题型 2】角平分线的判定 【例 1】PB,PC 分别是△ABC 的外角平分线且相交于 P.求证:P 在∠A 的平分线上(如图).

练习:1.如图,BP 是△ABC 的外角平分线,点 P 在∠BAC 的角平分线上.求证:CP 是△ABC 的外 角平分线.

2.△ABC 的外角∠CBD,∠BCE 的角平分线交于点 F,求证:AF 平分∠BAC

2.如图,在△ABC 中,∠B、∠C 的平分线交于点 O,求证:O 也在∠A 的平分线上.

【例 2】已知:如图,锐角△ABC 的两条高 BD、CE 相交于点 O,且 OB=OC,(1)求证:△ABC 是等腰三角形;(2)判断点 O 是否在∠BAC 的角平分线上,并说明理由。

29

【例 3】如图,在△ABC 中,D 是 BC 的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是 E,F,BE=CF. 求证:AD 是△ABC 的角平分线.

练习:1.如图 10,已知在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB⊥BC,E 为 BC 中点,连接 AE、DE,DE 平分∠ADC,求证:AE 平分∠BAD.

2. ( 2011?河 南 三 模 ) ( 1 )填 空 :如 图 ,Rt△ ABC 中 ,∠ C=90°,∠ B=45°,AD 是 △ ABC 的 角 平 分 线 , 过 点 D 作 辅 助 线 DE⊥ AB 于 点 E , 则 可 以 得 到 AC 、 CD 、 AB 三 条 线 段 之 间的数量关系为 ( 2 ) 如 图 ,若 将( 1 )中 条 件 “ Rt△ ABC 中 ,∠ C=90°,∠ B=45°” 改 为 “ △ ABC 中 , ∠ C=2∠ B” 请 问 ( 1 ) 中 的 结 论 是 否 仍 然 成 立 ? 证 明 你 的 猜 想 .

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