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高三一轮复习变化率与导数、导数的计算


第二章

基本初等函数、导数及其应用

第11课时 变化率与导数、导数的 计算

第二章

基本初等函数、导数及其应用

1.导数的概念 (1)函数 y=f(x)在 x= x0 处的导数 称函数 y= f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 Δy f( x0+Δx)-f(x0) lim Δ x→ 0 Δx 为函数 y= f(x)在 x lim =__________ Δx→0 Δx Δy = x0 处的导数,记作 f′(x0)或 y′|x=x0 ,即 f′(x0)= lim = Δx→0Δx f(x0+Δx)-f(x0) lim Δx→ 0 Δx ___________________________.
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基本初等函数、导数及其应用

(2)导数的几何意义 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y= f(x)上

P(x0,y0) 处的____________( 切线的斜率 瞬时速度就是位移函数 s(t)对 点 __________ y-y0=f′(x0)(x-x0) . 时间 t 的导数 ).相应地,切线方程为____________________
(3)函数 f(x)的导函数
f(x+Δx)-f(x) lim Δ x→ 0 Δx 称函数 f′(x)= ______________________ 为 f(x)的导函数.

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基本初等函数、导数及其应用

温馨提醒:在对导数的概念进行理解时,特别要注意f′(x0)与 (f(x0))′是不一样的,f′(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值, 不一定为0;而(f(x0))′是函数值f(x0)的导数,而函数值f(x0)是 一个常量,其导数一定为0,即(f(x0))′=0.

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基本初等函数、导数及其应用

2.几种常见函数的导数 (1)说出xα、sinx、cos x的导数是什么? 提示: (xα)′=αxα-1(α∈Q);(sin x)′=cos x;(cos x)′=-sin x

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(2) 原函数 f(x)=ax f(x)=ex f(x)=logax f(x)=ln x 导函数
xln a a f′(x)=________

ex f′(x)=________
1 xln a f′(x)=________ 1 f′(x)=________ x

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3.导数的运算法则

f′(x)±g′(x) ; (1)[f(x)± g(x)]′= ______________

f′(x)g(x)+f(x)· g′(x) ; (2)[f(x)· g(x)]′= ____________________

f′(x)g(x)-f(x)g′(x) f( x) ? 2 ? [ g ( x ) ] (3)? ′ = ______________________________( g(x)≠0). ? g ( x ) ? ? 4.复合函数的导数

复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的导数间 yu′·ux′ y对 u 的关系为 y ′=____________ , 即 y 对 x 的导数等于________
x

u对x 的导数与__________ 的导数的乘积.
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基本初等函数、导数及其应用

1 3 1. (教材习题改编)f′(x)是函数 f(x)= x +2x+1 的导函数, 3 则 f′(- 1)的值为( B ) A. 0 B.3 C. 4 7 D.- 3

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基本初等函数、导数及其应用

3 2.有一机器人的运动方程为 s= t + (t 是时间, s 是位移), t
2

则该机器人在时刻 t=2 时的瞬时速度为( D ) 19 A. 4 15 C. 4 17 B. 4 13 D. 4

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3.函数 y= xcos x- sin x 的导数为( B ) A. xsin x C. xcos x B.- xsin x D.- xcos x

x2 1 4.已知曲线 y= - 3ln x 的一条切线的斜率为 ,则切点的 4 2

3 横坐标为 ________ .
4 5.(2014· 河南洛阳市统考)曲线 y= x 在点(0,2)处的切线 e +1 x+y-2=0 方程为___________________ .

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导数的运算
求下列函数的导数: (1)y= (3x2- 4x)(2x+ 1);(2)y=x2sin x; ln x (3)y= 3 e - 2 + e; (4)y= 2 ; x +1
x x x

(5)y= ln(2x-5).

[课堂笔记]

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【解】 (1)∵ y= (3x2- 4x)(2x+ 1) = 6x3+ 3x2-8x2-4x= 6x3- 5x2-4x,∴ y′=18x2- 10x- 4. (2)y′= (x2)′sin x+ x2(sin x)′=2xsin x+x2cos x. (3)y′= (3xex)′- (2x)′+ e′= (3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′ = 3xexln 3+3xex- 2xln 2 = (ln 3+ 1)· (3e)x- 2xln 2.

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( ln x) ′( x2+1)- ln x( x2+ 1) ′ (4)y′= = ( x2+1)2 1 ( x2+1)- 2xln x x ( x2+1)2 x2+1- 2x2ln x = 2 2 . x(x + 1) 1 2 (5)令 u= 2x-5,y= ln u,则 y′= (ln u)′u′= · 2= , 2x- 5 2x- 5 2 即 y′= . 2x- 5

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基本初等函数、导数及其应用

(1)求导之前, 应利用代数、 三角恒等式等变形对函数进行化 简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少 差错; (2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式, 但在求导前利 用代数或三角恒等变形将函数先化简,然后进行求导,有时 可以避免使用商的求导法则,减少运算量; (3)复合函数的求导, 要正确分析函数的复合层次, 通过设中 间变量,确定复合过程,然后求导.
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1.求下列函数的导数: cos x (1)y=x e ;(2)y= ;(3)y= exln x; sin x
n x

(4)y=(1+sin x)2.
【解】 (1)y′= nxn 1ex+xnex= xn 1ex(n+x). - sin2x-cos2x 1 (2)y′= =- 2 . sin2x sin x x x1 x?1 (3)y′= e ln x+ e ·= e ?x+ ln x ? ?. x (4)y′= 2(1+ sin x)· (1+ sin x)′= 2(1+ sin x)· cos x.
- -
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导数的几何意义
(1)(2014· 云南昆明市调研 )若曲线 f(x)= acos x 与曲 线 g(x)=x2+ bx+ 1 在交点(0, m)处有公切线,则 a-b= ( C ) A.- 1 C. 1 B.0 D. 2

(2)曲线 f(x)=x3- 3x2+2x 过原点的切线方程为
1 y=2x 或 y=- x 4 . __________________

[课堂笔记]
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基本初等函数、导数及其应用

【解析】(1)依题意得,f′(x)=- asin x,g′(x)= 2x+ b,于是 有 f′(0)=g′(0),即-asin 0= 2×0+ b,b=0,m= f(0)=g(0), 即 m=a= 1,因此 a- b=1. (2)f′(x)= 3x2- 6x+2.设切线的斜率为 k. (a)当切点是原点时,k= f′(0)= 2,所以所求曲线的切线方程 为 y=2x. (b)当切点不是原点时,设切点是(x0, y0),

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2 2 则有 y0=x3 0- 3x0+ 2x0, k= f′(x0)= 3x0- 6x0+2,①

y0 又 k= = x2 0- 3x0+2,② x0 3 y0 1 由①②得 x0= (x0= 0 舍 ), k= =- . 2 4 x0 1 ∴所求曲线的切线方程为 y=- x. 4

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(1)求曲线切线方程的步骤: ①求出函数 y= f(x)在点 x= x0 处的导数, 即曲线 y= f(x)在点 P(x0, f(x0))处切线的斜率; ②由点斜式方程求得切线方程为 y- y0= f′(x0)· (x-x0). (2)求曲线的切线方程需注意两点: ①当曲线 y= f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线平行于 y 轴 (此时 导数不存在 )时,切线方程为 x= x0; ②当切点坐标不知道时,应首先设出切点坐标,再求解.
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2. (2012· 高考辽宁卷)已知 P, Q 为抛物线 x2=2y 上两点, 点 P,Q 的横坐标分别为 4,-2,过 P,Q 分别作抛物线的

-4 切线,两切线交于点 A,则点 A 的纵坐标为________ .

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1 2 【解析】因为 y= x ,所以 y′=x,易知 P(4,8),Q(- 2 2,2), 所以在 P、 Q 两点处切线的斜率的值为 4 或- 2. 所以这两条切线的方程为 l1:4x- y- 8= 0,l2:2x+ y + 2= 0, 将这两个方程联立方程组求得 y=- 4.

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导数与线性规划的交汇
(2013· 高考江苏卷)抛物线 y= x2 在 x=1 处的切线 与两坐标轴围成的三角形区域为 D( 包含三角形内部与边 界 ).若点 P(x,y)是区域 D 内的任意一点,则 x+ 2y 的取值

1 [- 2, ] 2 范围是_________________ .
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[解析 ] 由于 y′= 2x,所以抛物线在 x= 1 处的切线方程为 y- 1= 2(x- 1),即 y=2x- 1. 1 1 画出可行域 (如图).设 x+ 2y= z,则 y=- x+ z,可知当 2 2 1 1 1 直线 y=- x+ z 经过点 A( , 0), 2 2 2 B(0,- 1)时, z 分别取到最大值和 1 最小值,此时最大值 zmax= ,最小 2 1 值 zmin=- 2,故取值范围是 [- 2, ]. 2
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(1)本题以 y=x2 在 x=1 处的切线问题为条件,利用导数的 几何意义求得切线方程, 构造出求 x+ 2y 的取值范围的可行 域,充分体现了导数与线性规划的交汇. (2)利用导函数的特性,在求解有关奇(偶)函数问题中,发挥 出奇妙的作用.

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π π 若 f(x)=asin(x+ )+ bsin(x- )(ab≠0)是偶函数,则实数 a, 4 4

a+b=0 . b 应满足________
π π 【解析】 f′(x)= acos(x+ )+bcos(x- ),因为函数 f(x)是偶 4 4 函数,所以导数 f′(x)是奇函数,所以 f′(0)=0, π π 即 acos +bcos = 0,从而得 a+b=0. 4 4

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