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2014届江西省红色六校高三第一次联考理科数学试卷(带解析)


2014 届江西省红色六校高三第一次联考理科数学试卷(带解析) 一、选择题 1.设集合 M={y|y= 2 x ,x<0},N= ? x | y ? lg A. (1,+∞) C. ? B. (0,1) D. (0,1)∪(1,+∞)

? ?

1? x ? ? ,则 M∩N=( x ?

)

2.在复平面内,复数 A.(0,-1)

1 ? 2i 对应的点的坐标为( ) 2?i 4 3 4 3 B.(0,1) C. ( , ? ) D. ( , ) 5 5 5 5

3 . 已 知 数 列 ?an ? 是 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 , a1 ? a2 =1 , a3 ? a4 =4 , 则

a5 ? a6 ? a7 ? a=( 8
A.20 B.32 C.80

) D.

255 3

4.投掷红、蓝两个骰子,事件 A=“红骰子出现 4 点” ,事件 B=“蓝骰子出现的点数是 偶数” ,则 P(A|B)=( A. ) D.

1 6

B.

1 1 C. 3 12
2

1 2

x2 y2 5.已知抛物线 y ? 2 px (p>0)的焦点 F 恰好是双曲线 2 ? 2 ? 1 的右焦点,且两条 a b
曲线的交点的连线过 F,则该双曲线的离心率为( A. 2 B.2 C. )

2 +1

D.

2 -1
S 2013 S 2011 =2,则 S 2012 =( ? 2013 2011
)

6.设等差数列{ an }的前 n 项和为 s n ,已知 a1 =-2012, A.-2013 B.2013 C.-2012 D. 2012

7.函数 f(x)=sin ?x +ACos ?x ( ? >0)的图像关于 M( 最小值,则 a ? ? 的一个可能取值是( ) A.0 B.3 C.6 D. 9

? ? ,0)对称,且在 x ? 处函数有 3 6

1 ? 2 ?| x ? |, x ? 0 8.设函数 f ( x) ? ? ,g(x)= ? f ( x ) ? +b f ( x) +C,如果函数 g(x)有 5 个不 x ?0, x ? 0 ?
同的零点,则( A. b<-2 且 C>0 C. b<-2 且 C=0 9. 设函数 f ( x) ? ? ) B. b>-2 且 C<0 D. b≥-2 且 C>0

?(3 ? a ) x ? 3, x ? 7 ?a
x ?6

,x ?7

, 数列 ?an ? 满足 an ? f (n)(n ? N ) ,且数列 ?an ?
*

为递增数列,则实数 A 的取值范围为(

)

A.(2,3) B.(1,3) C.(1,+ ? ) D. (2, + ? ) 10.一电子广告,背景是由固定的一系列下顶点相接的正三角形组成,这列正三解形的
试卷第 1 页,总 3 页

底边在同一直线上, 正三角形的内切圆由第一个正三角形的 O 点沿三角形列的底边匀速 向前滚动 (如图) 设滚动中的圆与系列正三角形的重叠部分 , (如图中的阴影) 的面积 S 关于时间 t 的函数为 S ? f (t ) ,则下列图中与函数 S ? f (t ) 图像最近似的是( ) .

二、填空题 11.

?

2

0

4 ? x2 dx ? _____________

12. 设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且是以 4 为周期的周期函数, x∈ 当 [0,2] 时,

3 15 )与 b=f( )的大小关系为____________. 2 2 ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? 13.在边长为 1 的正三角形 ABC 中,BD =x BA ,CE =y CA ,x>0,y>0,且 x+y=1,
f(x)=2x-Cosx,则 A=f(则 CD · BE 的最大值为_____________ 14.命题: “存在实数 x,满足不等式 (m ? 1) x ? mx ? m ? 1 ? 0 ”是假命题,则实数 m 的
2

??? ?

??? ?

取值范围是__________. 15. (1)在极坐标系中,定点 A(2, 则线段 AB 的最短长度为

?
2

) ,点 B 在直线 ? cos ? ? 3? sin ? ? 0 上运动,
. .

(2) 已知不等式 | x ? 1| ? | x ? 2 |? a 有实数解, 则实数 a 的取值范围是

三、解答题 16.在⊿ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 A,b,C,且满足(2A-C)CosB=bCosC. (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)已知函数 f(A,C)=Cos2 A+sin2 C,求 f(A,C)的最大值。 17.已知 A,B,C,D 四个城市,它们各自有一个著名的旅游点,依次记为 A,b,C,D,把 A,B,C,D 和 A,b,C,D 分别写成左、右两列.现在一名旅游爱好者随机用 4 条线把城市与 旅游点全部连接起来, 构成 “一一对应” .规定某城市与自身的旅游点相连称为 “连对” , 否则称为“连错”,连对一条得 2 分,连错一条得 0 分.
试卷第 2 页,总 3 页

(Ⅰ)求该旅游爱好者得 2 分的概率. (Ⅱ)求所得分数 ? 的分布列和数学期望. 18.已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,PD⊥底面 ABCD,PD=AD.
P

F D C E B A

(Ⅰ)求证:BC∥平面 PAD; (Ⅱ)若 E、F 分别为 PB,AD 的中点,求证:EF⊥BC; (Ⅲ)求二面角 C-PA-D 的余弦值. 19. (理)已知函数 f(x)=

x2 -lnx,x∈[1,3]. 8

(Ⅰ)求 f(x)的最大值与最小值; (Ⅱ)若 f(x)<4-At 对于任意的 x∈[1,3],t∈[0,2]恒成立,求实数 A 的取值范围. 20.已知椭圆:

y 2 x2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,离心率为 ,焦点 F1 ? 0, ?c ? , F2 ? 0, c ? 过 F1 2 2 a b

的直线交椭圆于 M , N 两点,且 ? F2 MN 的周长为 4. (Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ) 直线 l 与 y 轴交于点 P(0,m)(m ? 0),与椭圆 C 交于相异两点 A,B 且 AP ? ? PB .若

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? OA ? ? OB ? 4OP ,求 m 的取值范围。
21. 对于任意的 n ? N ( n 不超过数列的项数) 若数列的前 n 项和等于该数列的前 n 项 ,
*

之积,则称该数列为 S 型数列。 (1)若数列 ?an ? 是首项 a1 ? 2 的 S 型数列,求 a3 的值; (2)证明:任何项数不小于 3 的递增的正整数列都不是 S 型数列; (3)若数列 ?

?1? ? 是 S 型数列,且 0 ? a1 ? 1, 试求 an ?1 与 an 的递推关系, 并证明 ? an ?

0 ? an ? 1 对 n ? N * 恒成立。

试卷第 3 页,总 3 页

2014 届江西省红色六校高三第一次联考理科数学试卷(带解析)参考答案 1.B 【解析】 试题分析:M={y|y= 2 x ,x<0}= ?y | 0 ? y ? 1 ?,N= ? x | y ? lg N=(0,1) . 考点:对 数 函 数 的 值 域 与 最 值 ;交 集 及 其 运 算 ;指 数 函 数 的 定 义 、 解 析 式 、 定 义 域和值域. 2.A 【解析】 试题分析:?

? ?

1? x ? ? = ?x | 0 ? x ? 1 ? ,则 M∩ x ?

1 ? 2i (1 ? 2i )( 2 ? i ) = ? ?i ,∴复数在复平面上对应的点的坐标是(0,-1) 2?i (2 ? i )( 2 ? i )

考点:复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念. 3.C 【解析】 试题分析:由等比数列的定义及性质可得, a1 ? a2 , a3 ? a4 , a5 ? a6 , a7 ? a8 也成等比 数列. 又 a1 ? a2 =1, a3 ? a4 =4 故有 a5 ? a6 =16, a7 ? a8 =64, ∴ a5 ? a6 ? a7 ? a8 =16+64=80, 故选 A. 考点:等比数列的性质. 4.A 【解析】 试题分析:? A、B 相互独立,?P(AB)=P(A)P(B).P(A|B)= 考点:条 件 概 率 与 独 立 事 件 . 5.C 【解析】 试题分析:如图所示, ,∵两条曲线交点的连线过点F,∴两条曲线交点为(

1 P ( AB ) P ( A) P ( B ) = =P(A)= 6 P( B) P( B)

p ,? p ) ,代 2

p2 c2 c2 p p2 4 2 2 4 入双曲线方程得 42 ? 2 ? 1,又 ? c ,? 2 ? 4 ? 2 ? 1, 化简得 c ? 6a c ? a ? 0 , a b 2 a b
? e 4 ? 6e 2 ? 1 ? 0 ,?e 2 ? 3 ? 2 2 ? (1 ? 2 ) 2 ,?e ? 2 ? 1 ,故选 C.

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考点:抛物线的简单性质;双曲线的简单性质. 6.C 【解析】

S 2013 S a ? a2013 a ? a2011 就是前 2013 项的平均数,即 1 ,同理, 2011 = 1 ,两 2013 2011 2 2 a ? a2011 2012 (2012 ? 1) ? 2 式 相 减 得 2013 ? 2 , ? d=2 , 最 后 S 2012 =2012 a1 + 2 2
试题分析:? =2012x(-2012)+2012x2011=-2012 考点:等 差 数 列 的 性 质 7.D 【解析】 试题分析:根据题意:相邻对称点与最小值之间可以相差

?
3

?

?
6



1 3 T , 也可以是 T , 不妨设为: 4 4 3 , (n ? )T 4

T?

? 2? 2? ?? ? ? 3(4n ? 3), ? f ( ) ? 0, ?sin(4n ? 3)? ? a cos(4n ? 3)? ? ?a, 3 T 3( 4n ? 3)

?a ? 0, ? a ? ? ? 3(4n ? 3). ?? 可以为9,故选 D.
考点:三 角 函 数 的 最 值 ;正 弦 函 数 的 对 称 性 . 8.C 【解析】 试题分析: 如图所示, x ? 0 时,f ( x) ? x ? 当

1 则 ? 2, 在图像上反映 f (x) 有四个根, g (x) x

此时有4个零点;当 x ? 0 时, f ( x) ? 0, 在图像上反映 f (x) 有一个根,则 g (x) 此时必须 产 生 1 个 零 点 , 则 g (0) ? 0, 即

? f (0)?2 ? bf (0) ? c ? 0,

得 到 c?0 ; 综 上

g ( x) ? f ( x)? f ( x) ? b? ? 0, 得 f ( x) ? 0 或 f ( x) ? ?b, 则 ? b ? x ?

1 ?2. x

答案第 2 页,总 10 页

考点:函数的零点,分段函数的图像. 9.A 【解析】 试题分析:根据题意, an ? f ( n) ? ?

?(3 ? a )n ? 3, n ? 7 ?a
n ?6

,n ? 7

;要使数列 ?an ? 为递增数列,结合分

?3 ? a ? 0 ? 段函数的单调性的判断方法,必有 ?a ? 1 ;解得 2 ? a ? 3 ;故选 A. ?(3 ? a) ? 7 ? 3 ? a 8?6 ?
考点:数 列 的 函 数 特 性 . 10.B 【解析】 试题分析:三角形呈周期性排列,圆在滚动时由对称性知重叠面积呈周期性变化.函数图像 应具有以下特征:周期变化,函数值不为 0,从初始位开始函数是先减少的,且为非线性变 化.故选 B 考点:函数图像的性质. 11. ? 【解析】 试题分析:令 y ? 所示的四分之一

4 ? x 2 , 则求原积分转化为求 x 2 ? y 2 ? 4(0 ? x ? 2, y ? 0) 的面积,如图

答案第 3 页,总 10 页

圆的面积,则

?

2

0

1 4 ? x2 dx ? S= ? ? 2 2 ? ? . 4

考点:定积分的运算. 12.A>b 【解析】

3 3 3 3 3 )=f( )=2 ? - cos =3- cos , 2 2 2 2 2 15 15 1 1 又是 f(x)以 4 为周期的周期函数,则 b=f( )= f ( ? 4 ? 2 )= f (? ) ? f ( ) =2 2 2 2 2 1 1 1 3 1 ? ? cos = 1? cos ,A-b=2- (cos ? cos ) ,而余弦函数 cos x 在 ?0, ? ? 上单调递减, 2 2 2 2 2 1 3 3 1 3 1 ? ? (0, ? ), 所以 cos ? cos , (cos ? cos ) <0,则 A-b>2>0,故 A>b. 2 2 2 2 2 2
试题分析: 函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,?A=f(? 考点:函数的奇偶性和周期性. 13. ?

3 8

【解析】 试题分析:由题意, CD · BE =( CB + BD ) ? ( BC + CE )∵ BD =x BA , CE = y CA , ∴ CD · +y CA )= ? 1 ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? BE =( CB + BD ) ? ( BC + CE )=( CB + x BA ) ? ( BC

1 x ? y ? xy ∵ x > 0 , y > 0 , 且 x+y=1 ∴ xy ≤ , ∴ 4 2 1 1 x ? y ? xy 1 ? xy 3 ?1 ? ? ? . 当且 仅当 x=y= = ?1 ? 时, 取等号 ∴当 x=y= 时, 2 2 2 2 8 ??? ? ??? ? 3 CD · BE 的最大值为 ? . 8
2 3 3

??? ?

考点:向量的运算,不等式的性质. 14.m>

【解析】 试题分析:依题意, “对任意的实数 x,都满足不等式 (m ? 1) x ? mx ? m ? 1 ? 0 ”是真命题,
2

答案第 4 页,总 10 页

则必须满足 ?

?m ? 1 ? 0 ?? ? (? m) ? 4(m ? 1)( m ? 1) ? 0
2

,解得 m>

2 3 . 3

考点:命题的真假. 15.(1) 3 (2) 【解析】 试 题 分 析 : (1) 利 用 ρ Cos θ =x , ρ sin θ =y , ρ
2

? ??, 3?
=x +y , 进 行 代 换 , 直 线
2 2

?cos ? ?

(0, , 2) 3 s i ? 的直角坐标方程为:x ? 3 y ? 0, 定点 A(2, ) 的直角坐标 ? ? n 0 2

?

它到直线的距离:

d?

0?2 3 2

? 3 .故答案为: 3 .

(2)当 x ? 2 时, x ? 1 ? x ? 2 =3; ? 1 ? x ? 2 时,x ? 1 ? x ? 2 = 2 x ? 1 ? 3 ; x ? ?1 当 当 时,x ? 1 ? x ? 2 =-3; x ? 1 ? x ? 2 的最大值为3, ∴ 则要使不等式 | x ? 1| ? | x ? 2 |? a 有实数解,只需 a ? 3 即可.故实数 a 的取值范围是 ? ??, 3 ? . 考点:简 单 曲 线 的 极 坐 标 方 程 ;函 数 的 最 值 及 其 几 何 意 义 . 16.(Ⅰ)

3 ? ;(Ⅱ)1+ . 2 3

【解析】 试题分析: (1)利用正弦定理,结合 A、B 的范围求出求角 B 的大小;(Ⅱ)把 C 用 A 来表示, 在 sin(2 A ?

?
3

) =1时取最大值.
(2A-C)CosB=bCosC ∴ 由 正 弦 定 理 得

试 题 解 析 : ( Ⅰ ) ∵

2sin A cos B ? sin ? B ? C ? ? sin A
又∵ A ? ? 0, ? ? ∴ cos B ?

? 1 ?B ? 3 2
? 2? ? ? A? ? 3 ?

(Ⅱ) f ( A, C ) ? cos 2 A ? sin 2 C ? cos 2 A ? sin 2 ?

? 1?

3 ? sin(2 A ? ) 2 3
3 2

f ( A, C ) min ? 1 ?

考点:1、正 弦 定 理 的 应 用 ;2、三 角 函 数 的 最 值 .

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17.(Ⅰ)

1 ;(Ⅱ) 2. 3

【解析】 试题分析: (Ⅰ)设答对题的个数为 y, 得分为ξ ,若 4 条线中连对 1 条, 则ξ 的取值为 2;(Ⅱ) 若 4 条线都连错,则ξ 的取值为 0;若 4 条线中连对 1 条,则ξ 的取值为 2;若 4 条线中连 对 2 条,则ξ 的取值为 4;若 4 条线中连对 4 条,则ξ 的取值为 8,然后分别求出ξ =0,2, 4,8 的概率,列出分布列,再利用期望公式代入计算即可. 试题解析:(Ⅰ)设答对题的个数为 y,得分为ξ ,若 4 条线中连对 1 条,则ξ 的取值为 2;
1 C4 ? 2 1 = 4 A4 3

p?

(Ⅱ)若 4 条线都连错,则ξ 的取值为 0;若 4 条线中连对 1 条,则ξ 的取值为 2;若 4 条线 中连对 2 条, 则ξ 的取值为 4; 4 条线中连对 4 条, 若 则ξ 的取值为 8, 则分别求出ξ =0, 2, 4,8 的概率,列出分布列如下:

?
p 数学期望 E ? =2 .

0

2

4

8

3 8

1 3

1 4

1 24

考点:1、离 散 型 随 机 变 量 及 其 分 布 列 ;2、离 散 型 随 机 变 量 的 期 望 与 方 差 . 18.(Ⅰ)见解析; (Ⅱ) 见解析;(Ⅲ)

3 . 3

【解析】 试题分析: (Ⅰ)证明 BC∥AD,利用线面平行的判定,证明 BC∥平面 PAD; (Ⅱ)利用线面垂直的判定证明 BC⊥面 EFG,即可证明 EF⊥BC; (Ⅲ)设 PA 的中点为 N,连结 DN,NC,证明∠CND 是所求二面角的平面角,从而可求二面 角 C-PA-D 的余弦值. 试题解析: (Ⅰ)证明:因为 ABCD 是正方形,所以 BC∥AD. 因为 AD?平面 PAD,BC ? 平面 PAD, 所以 BC∥平面 PAD.?(4 分) (Ⅱ)证明:因为 PD⊥底面 ABCD,且 ABCD 是正方形,所以 PC⊥BC. 设 BC 的中点为 G,连结 EG,FG,则 EG∥PC,FG∥DC. 所以 BC⊥EG,BC⊥FG.?(6 分) 因为 EG∩FG=G,所以 BC⊥面 EFG. 因为 EF?面 EFG,所以 EF⊥BC.?(8 分) (Ⅲ)解:设 PA 的中点为 N,连结 DN,NC,

答案第 6 页,总 10 页

因为 PD=AD,N 为中点,所以 DN⊥PA. 又△PAC 中,PC=AC,N 为中点,所以 NC⊥PA. 所以∠CND 是所求二面角的平面角.?(10 分) 依条件,有 CD⊥PD,CD⊥AD, 因为 PD∩AD=D,所以 CD⊥面 PAD. 因为 DN?面 PAD,所以 CD⊥DN. 在 Rt△CND 中,DN=

2 6 ND 3 ,NC= .于是 Cos∠CND= .?(13 分) ? 2 2 NC 3

考点:1、用 空 间 向 量 求 平 面 间 的 夹 角 ;2、直 线 与 平 面 平 行 的 判 定 ;3、二 面 角 的 平面角及求法. 19.(Ⅰ)求 f(x)的最大值为 , 最小值为 【解析】 试题分析: (1)直接求出函数的导数,通过导数为 0,求出函数的极值点,判断函数的单调 性,利用最值定理求出 f(x)的最大值与最小值; (2)利用(1)的结论,f(x)<4-At 于任意的 x∈[1,3],t∈[0,2]恒成立,转化为 4-At

1 8

31 1 ? ln 2 ;(Ⅱ)A< . 16 2

31 ? ? g ( 0) ? 8 1 ? > 对任意 t∈[0,2]恒成立,通过 ? 8 ? g ( 2) ? 31 ? 8 ?
试题解析: (1)因为函数 f(x)= 所以 f′(x)= 因为 x∈[1,3], ﹣lnx,

求实数 A 的取值范围.

,令 f′(x)=0 得 x=±2,

当 1<x<2 时 f′(x)<0;当 2<x<3 时,f′(x)>0; ∴f(x)在(1,2)上单调减函数,在(2,3)上单调增函数, ∴f(x)在 x=2 处取得极小值 f(2)= ﹣ln2; 又 f(1)= ,f(3)= ,

答案第 7 页,总 10 页

∵ln3>1∴ ∴f(1)>f(3) , ∴x=1 时 f(x)的最大值为 , x=2 时函数取得最小值为 ﹣ln2. (2)由(1)知当 x∈[1,3]时,f(x) ,

故对任意 x∈[1,3],f(x)<4﹣At 恒成立, 只要 4﹣At> 对任意 t∈[0,2]恒成立,即 At 记 g(t)=At,t∈[0,2] 恒成立



,解得 A



∴实数 A 的取值范围是(﹣∞,

) .

考点:1、利 用 导 数 求 闭 区 间 上 函 数 的 最 值 ;2、利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 . 20.(Ⅰ) y 2 ? 2 x 2 ? 1 ;(Ⅱ) m ? (?1, ? ) ? ( ,1) 【解析】 试题分析: (1)设 C:

1 2

1 2

y2 x2 2 c 2 ? 2 ? 1 (A>b>0) ,由条件知 A-C= , ? 由此能导出 C 2 2 a 2 a b
?y ? kx? m
2 2 ?2 x ? y ? 1

的方程.(Ⅱ)由题意可知λ =3 或 O 点与 P 点重合.当 O 点与 P 点重合时,m=0.当λ =3 时, 直线 l 与 y 轴相交,设 l 与椭圆 C 交点为 A(x1 ,y1 ) ,B(x2 ,y2 ) ? , 得

(k 2 ? 2) x 2 ? 2kmx ? (m 2 ? 1) ? 0, 再由根的判别式和韦达定理进行求解.

y2 x2 2 2 2 2 试题解析: (1) C: 2 ? 2 ? 1(A>b>0) 设 C>0,c ? a ? b , 设 , 由条件知 A-C= , 2 a b
c 2 2 2 2 ? ,∴A=1,b=C= ,故 C 的方程为: y ? 2 x ? 1 ; a 2 2
(Ⅱ)设 l 与椭圆 C 的交点为 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 )。将 y=kx+m 代入 y ? 2 x ? 1
2 2

得 (k ? 2) x ? 2kmx ? m ? 1 ? 0 ,所以 ? ? 4(k ? 2m ? 2) ? 0 ①,
2 2 2 2 2

x1 ? x2 ?

??? ? ??? ? ?2km m2 ? 1 2 , x1 x2 ? 2 .因为 AP ? 3PB ,所以 x1 ? x2 ? ?2 x2 , x1 x2 ? ?3 x2 , 2 k ?2 k ?2
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消去 x2 得 3( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 0 ,所以 3( 即 4k 2 m2 ? 2m2 ? k 2 ? 2 ? 0 ,当 m 2 ? 所以 m 2 ?

?2km 2 m2 ? 1 ) ? 4( 2 )?0, k2 ? 2 k ?2

1 时, 4k 2 m2 ? 2m2 ? k 2 ? 2 ? 0 4

1 2 2 ? 2m 2 1 1 ,k ? 由①得 k 2 ? 2m2 ? 2 ,解得 m ? (?1, ? ) ? ( ,1) 2 4m ? 1 4 2 2

考点:1、直 线 与 圆 锥 曲 线 的 综 合 问 题 ;2、向 量 在 几 何 中 的 应 用 . 21. (1)

?1 ? an , n ? 1, 4 (2)证明如下 (3) an ?1 ? ? 2 ,证明如下. 3 ?an ? an ? 1, n ? 2.

【解析】 试题分析: (1)新信息题的解答严格按照给的信息作答; (2)构造任意一个递增的正整数数 列 1 ? b1 ? b2 ? ? ? ? ? bk (k ? 3) 来解决; (3)按照 S 型数列的定义来做. 试 题 解 析 : ( 1 ) 由 题 意 可 得 a1 ? a2 ? a1a2 , 即 2 ? a2 ? 2a2 , 所 以 a2 ? 2. 又

4 a1 ? a2 ? a3 ? a1a2 a3 , 即2+2+ a3 =4 a3 ,所以 a3 = . 3
(2)设任意一个递增 的正整数数列 1 ? b1 ? b2 ? ? ? ? ? bk (k ? 3), 若 b1 ? 1, 则由题意可得

b1 ? b2 ? b1b2 , 即 1 ? b2 ? b2 , 该 等 式 不 成 立 , 所 以 b1 ? 1. 所 以 b1 ? 2. 即
2 ? b ? b2 ? ? ? ? ? bk ( k ? 3). 1
因 为

b1 , b2 ,? ? ?, bk ? N * , 所以 b1b2 ? ? ? bk ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? bk ? k!?bk ? k ? bk ? b1 ? b2 ? ? ? ? ? bk 对一切的

k ? 3 成立.
因此任何项数不小于 3 的递增的正整数列都不是 S 型数列;

(3) 因为数列 ?

?1? ? 是 S 型数列,所以 ? an ?

n n ?1 1 1 1 n ?1 1 ? ? (n ? 1), ①. 于是 ? ? ? , ? a i ?1 a i ?1 i i ?1 ai i ?1 ai i n

②. 两式相减,得

n n ?1 1 1 1 1 1 1 ?( ? 1)? (n ? 1), ③.则 ? ( ? 1)? ? 0(n ? 2), ④. an ?1 an ?1 an an i ?1 ai i ?1 ai

1 1 1 ( ? 1) a a an 2 (n ? 2). 整 理 , 得 an ?1 ? an ? an ? 1(n ? 2). 因 为 两 式 相 除 , 得 n ?1 ? n ?1 1 1 ?1 an an
1 1 1 1 ? ? ? , 所 以 a2 ? 1 ? a1. 综 上 所 述 , an?1 与 a n 的 递 推 关 系 为 a1 a2 a1 a2
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?1 ? an , n ? 1, 因 为 0 ? a1 ? 1, 所 以 a2 ? 1 ? a1 ? (0,1). 当 n ? 2 时 , an ?1 ? ? 2 ?an ? an ? 1, n ? 2.

1 3 3 2 an?1 ? an ? an ? 1 ? (an ? ) 2 ? . 若 an ? (0,1), 则 an?1 ? ( ,1) ? (0,1). 所 以 0 ? an ? 1 对 2 4 4
n ? N * 恒成立.
考点:1、新信息题中对信息的把握能力,2、数列的相关知识及其应用.

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