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高一数学必修四 1.3(2)三角函数的诱导公式


1.3 正弦、余弦的诱导公式(2)

诱导公式
公式一:
sin(α+2kπ) = sinα 公式三:

cos(α+2kπ) = cosα
tan(α+2kπ) = tanα

sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan(α) = -tanα
公式四:

其中 k∈Z
公式二: sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tan(π+α) = tanα

sin(π -α) = sinα cos(π -α) = -cosα tan(π -α) = -tanα

诱导公式小结:
公式一、二、三、四都叫做诱导公式. 概括如下: ? ? 2k? ? k ? Z? , ?? , ? ? ? 的三角函数值,等于? 的同名函数值,前面

加上一个把 ? 看成锐角时原函数值的符号.

口诀: “函数名不变,符号看象限”.

2.对形如π-α、π+α的角的 三角函数可以转化为α角的三角 函数。
对形如
?
? ?、 ? ? 2 2

?

的角的三角函数与

α角的三角函数,是否也存在着某种关 系,需要我们作进一步的探究.

给定一个角 ?,终边与角? 的终边关于直线 y ? x 对 称的角与角 ? 有什么关系?它们的三角函数之间又有 什么关系?能否说明?

角 2
y?x

?

??

的终边与角 ? 的终边关于直线

对称

给定一个角 ?,终边与角? 的终边关于直线 y ? x 对 称的角与角 ? 有什么关系?它们的三角函数之间又有 什么关系?能否说明?
sin(

?
2

? ? ) ? cos?
? ?? 2
O

公式 五

cos( ? ? ) ? sin ? 2

?

y

P( x, y)
p4 ( y , x )

p5 ( ? y , x )

?

A(1,0)

? ?? 2

x

? 如何求 ? ? 的三角函数值? 2
?
?? ? ? ( - ?) 2 2

?

诱导公式(六)
? ?? ?? ?? ? 因 为si n ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? 公式 4 sin ? ? ? 2 ? ? ?2 ?? ?

cos?
公式 六

? ? ? 公式 5 si n ? ?? ? ?2 ?

sin( ? ? ) ? cos? 2 cos( ? ? ) ? ? sin? 2

?

?

公式 五
sin(

公式 六
sin(

?
2

? ? ) ? cos?

?
2

? ? ) ? cos?

cos( ? ? ) ? sin ? 2

?

cos( ? ? ) ? ? sin ? 2

?

!!!记忆规律:

?

2 2 等于?的余弦(正弦)函数值,

? ?,

?

? ?的正弦(余弦)函数值,

前面加一个把?看成锐角时原函数值的 符号

3? 3? 例1. 证明:(1)sin( ? ? ) ? ? cos ? ; (2)cos( ? ? ) ? ?sin? . 2 2 3? ? 证明:(1)sin( ? ? ) ? sin[? ? ( ? ? )] 2 2 ? ? ? sin( ? ? ) ? ? cos ? ; 2 3? ? (2)cos( ? ? ) ? cos[? ? ( ? ? )] 2 2 ? ? ? cos( ? ? ) ? ? sin ? . 2 由(1) (2)还可以得到: 3? 3? sin( ? ? ) ? sin[ ? ( ?? )] ? ? cos( ?? ) ? ? cos ? ; 2 2 3? 3? cos( ? ? ) ? cos[ ? ( ?? )] ? ? sin( ?? ) ? sin ? . 2 2

公式 五
sin(

公式 六
sin(

?
2

? ? ) ? cos ? ? ? ) ? sin?

?
2

? ? ) ? cos ? ? ? ) ? ?sin?

cos(

?
2

cos(

?
2

公式五 ~ 公式六可以实现正弦函数与余弦函数的互化.

k? ? ? ( k ? Z ) 思考: 诱导公式可统一为 2

的三角函数与α的三角函数之间的关系, 你有什么办法记住这些公式? “奇变偶不变,符号看象限”.

诱导公式总结: 口诀:奇变偶不变,符号看象限
意义:

? k ? ?? (k ? Z)的三角函数值 2 1)当k 为偶数时,等于?的同名三角函数值,前面加上 一个把? 看作锐角时原三角函数值的符号; 2)当k 为奇数时,等于?的异名三角函数值,前面加上 一个把? 看作锐角时原三角函数值的符号;

诱导公式
公式一:
sin(α+2kπ) = sinα 公式三:

cos(α+2kπ) = cosα
tan(α+2kπ) = tanα

sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan(α) = -tanα
公式四:

其中 k∈Z
公式二: sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tan(π+α) = tanα

sin(π -α) = sinα cos(π -α) = -cosα tan(π -α) = -tanα

公式五:
sin(

公式六:
sin(

?
2

? ? ) ? cos ? ? ? ) ? sin?

?
2

? ? ) ? cos ? ? ? ) ? ?sin?

cos(

?
2

cos(

?
2

公式七:
3? sin( ? ? ) ? ? cos ? 2 3? cos( ? ? ) ? ?sin? 2

公式八:
3? sin( ? ? ) ? ? cos ? 2 3? cos( ? ? ) ? ? sin? 2

利用诱导公式把任意角的三角函数转化为 锐角三角函数,一般步骤: 任意负角的三角函数 用公式三或一 任意正角的三角函数 用公式一

0 ~ 2π角的三角函数
用公式二或四、五、六、七、八 锐角的三角函数

例2.化简: 解: 原式 ?

11? sin(2? ? ? )cos(? ? ? )cos( ? ? )cos( ??) 2 2 . 9? cos(? ? ? )sin(3? ? ? )sin( ?? ? ? )sin( ??) 2 ( ? sin ? )( ? cos ? )( ? sin ? )cos[5? ? (

?

?
2

? ? )]

( ? cos ? )sin(? ? ? )[? sin(? ? ? )]sin[4? ? ( ? sin ? cos ? [? cos( ? ? )] 2
2

?
2

? ? )]

?

?

( ? cos ? )sin ? [?( ? sin ? )]sin(

?

sin ? ? ? tan ? . ?? cos ?

2

??)

? π? 3 π 3π 例3 已知 cos?α+ 6 ?= , ≤α≤ , 5 2 2 ? ? ? 2π? 求 sin?α+ 3 ?的值. ? ?

π? 2π ? ? ? π 解 ∵α+ =?α+6 ?+ , 3 ? ? 2 ?? ? ? π? π? 2π ? π? ?? ? ? 3 ∴sin(α+ )=sin??α+6?+2?=cos?α+6 ?= . 3 ? ? ? 5 ?? ?
小结 利用诱导公式五和诱导公式六求值时,要注意沟 π 通已知条件中的角和问题结论中角之间的联系,注意 6 π π π +α 与 -α , -α 与 +α 等互余角关系的识别 3 4 4 和应用.

已知?是第三象限角且 f (? ) ? sin(5? ? ? ) ? cos(? ? 3? ) ? cos(? ? ? ) 2 .

3? ? sin(? ? ) ? cos(? ? ) ? t an( ? ? 3? ) 2 2 3? 1 (1)化简f (? ); (2)若 cos( ? ? ) ? , 求f (? )的值。 2 5

sin ? ? sin ? ? (? cos? ) 解: (1)由题得f (? ) ? ? cos? . cos? ? (? sin ? ) ? tan? 3? 1 1 (2)由cos( ? ? ) ? , 得 sin ? ? ? , 2 5 5 2 6 而?是第三象限角, ? cos? ? ? , 5 2 6 从而f (? ) ? ? . 5


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